北京大学数学物理方法经典课件第三章——幂级数展开共93页

3.2 幂级数 （一） 定义
幂级数：通项为幂函数的级数:
a k (z z0 )k a 0 a 1 (z z0 ) a 2 (z z0 )2 L
k 0
这是一种特殊形式的常用函数项级数。
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（二）幂级数的敛散性
由于发散的幂级数没有多大用处，故重点研究幂级数的敛 散性。
1. 阿贝尔定理
如果级数 ak z 在a zk0点收敛，那么在以a点为圆心， k 0
（二）复变函数项（简称函数项）级数：
设复变函数列wk(z)定义在区域B上，则由wk(z)构 成的级数称函数项级数
w k(z)w 1(z)w 2(z)Lw k(z)L,
k 0
当选定z的一个确定值时，函数项级数变成一个 复数项级数。
由于函数项级数定义在区域 B(或曲线l)上，所
以它的收敛的概念是相对于定义域B(或曲线l)而言的。
lwk(z)dzlwk(z)dz
k0
k0
性质 3： 若 wk z 在闭区域 B 内单值解析，且 wk (z) 在 B
k 0
内一致收敛，则级数和 w z wk (z) 也是 B 内的单值解析函
k 0
数， w z 的各阶导数可以由 wk (z) 逐项求导得出，即
k 0
w(n) (z) wk(n) (z) (z B,n 0,1, 2,) ，
为半径的圆内绝对收敛，而 za 上z0一a致收敛。
z0 a
如果级数 ak z在 za1点k 发散，则在 k 0
za内处z处1 发a散。
2.求收敛圆半径R的公式
ak (z z0 )k绝对收敛是指 ak (z z0)k 收敛，后者为正项
级k 0数，因此可用正项级数的k 0比值判别法和根式判别法确
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学习要求与内容提要
目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤 立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。
重点： 函数展开成泰勒级数与洛朗级数 难点： 函数展开成洛朗级数
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无穷级数：一无穷多个数构成的数列w1，w2，w3， wn， 写成w1+w2+w3+ wn+ 就称为无穷级数。这仅是一种形 式上的相加。这种加法是不是具有‘和数’呢？这个‘和数’ 的确切意义是什么？
例1 1级 数 1(1i)是 否 收 敛 ？
n n 1 n
解
因为 un
n1
n1
1 发散; n
所以原级数发散.
vn
n1
n1
1 n2
收敛.
(2)级 数 n 1n 12(1n i)是 否 收 敛 ？
因为 un
n1
1 n1n2
收敛;
所以原级数收敛.
vn
n1
1 n1 n3
收敛.
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(3) 绝对收敛定义
若
wk
u2 k
vk2
收敛，则称
wk
绝对收敛
k0
k0
k0
注1： 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不
改变其绝对收敛性,亦不改变其和.
注2： 级数 w k 绝对收敛的充分必要条件是实数项级数
k0
u k 与 v k 都绝对收敛。
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k0
Baidu Nhomakorabeak0
注3：两个绝对收敛级数的和，积，仍绝对收敛。
若复数列{sn}(n=1,2,…,)没有极限,则称级数(3.1) 为发散.
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散 性的基本方法是:
利 用 极 限n li m sns.
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例1 分析级数 zn 的敛散性.
n0
s n 1 z z 2 z n -111zzn (z1),
由于 z当 1时 , ln i msn
nin,
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根据{sn}极限存在的充要 : 条件
{n}和{n}的极限 , 存在
于是 级数 un 和 vn 都收敛.
n1
n1
说明 复数项级数的审敛问题
(定理)
实数项级数的审敛问题
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(2) 柯西判据：对于任一小的正数 ，必存在一 N
使得 n>N 时有 n p sp 1 w n 1 w n 2 Lw n p w k k n 1 式中 p 为任意正整数.
k 0
而且 wk(n) (z) 在 B 内一致收敛。
k 0
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绝对一致收敛
对于复函数序列 {wk (z)} ，存在正数列{mk} ，使对区域 B
内的一切 z，有| wk (z) | mk (k 0,1, 2,) ，而正项级数 mk k 0
收敛，则复函数项级数 wk (z) 绝对一致收敛. k 0
lim1zn n1z
1
1
z
,
所以z当 1时级数. 收敛
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3.复数项级数收敛的条件
(1) 定理 级数 wn (un ivn ) 收敛的充要条件
n1
n1
un 和 vn 都收敛.
n1
n1
证 因为 snw 1w 2Lw n
( u 1 u 2 L u n ) i ( v 1 v 2 L v n )
和函数w(z)也是B内的连续函数。
k0
这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收 敛级数可以逐项求极限。
zl im z0k0wk(z)k0zl im z0wk(z)
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性质2： 若级数 在w 区k ( z域) B内的分段光滑曲线l上一致收敛， k0
且wk(z)为l上的连续函数，则级数可沿l逐项积分：
为什么要研究级数？ (1) 级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具； (2) 常微分方程的级数解。
研究级数需关心的问题： (1) 级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据； (2) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。
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3.1 复数项级数
本节内容与实数项级数类似，只作扼要介绍。
(一)复数项级数
1 定义 设{wn}(n=1,2,…)为一复数列,表达式 wkw0w1LwkL, k0
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1.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件
定义：任给ε > 0，存在一个与z无关的自然数N (ε)，当
n p
n > N (ε)时，对B(或l)上所有z，均有： wk ( z) k n1
(p为任意自然数)，则称在B(或l)一致收敛。
一致收敛级数的性质
性质1： 若wk(z) 在B内连续，函数级数 在w kB( 内z ) 一致收敛，则
的称为复数项级数，其中 wk uk是复ivk数。
2 部分和 级数前面n项的和
n
n
n
sn wk uki vk
k0
k0
k0
若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)有复数极限s
(3.1)
即若
lni msn s()
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则称复数项级数(3.1)收敛于s,且称s为(3.1)的和,写成
s wn n1