注重数学思想方法的渗透促进学生思维发展

注重数学思想方法的渗透促进学生思维发展
摘要针对初中数学教育中重数学知识的掌握，轻数学思想方法的形成，学生的数学思维难以有效发展的现状，笔者结合新课程标准中所提要求，根据自己的教学实践，通过对初中数学教学中具体实例的分析，提出一种在传授数学知识的过程中渗透数学思想方法的教育模式，希望藉此培养和提高学生的数学思维能力。

关键词初中数学教育数学知识数学思想方法数学思维能力
一、问题的提出
数学作为一门基础性的工具学科，数学知识的学习和数学思想方法的掌握都十分重要。

也许中学里所学的绝大多数形式化的数学知识在生活中运用到的地方不多，但通过学习数学知识而形成的数学思想和方法，却深刻影响着学生未来的工作和生活，成为他们终身受用的东西。

而从教育的角度来看，学生对数学思想方法的掌握程度，不仅反映了学生运用数学知识解决问题的能力，还体现了学生观察、认识、思考问题的能力，这是学生综合素质的体现。

因此，唯有在数学教育中充分重视对学生数学思想方法的培养，才能为学生的可持续发展奠定坚实的基础。

体现二期课改理念的《上海市中小学数学课程标准》》对初中阶段学生“数学思想方法”方面的素质提出了明确的要求：知道数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，通过有关数学知识和技能的学习，逐步领会字母“代”数的思想、化归思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、分解与组合思想、数学建模思想、图形运动思想等基本数学思想，掌握待定系数法、消元法、换元法、配方法等基本数学方法。

但是从目前教学现状来看，因为受到应试教育的影响，数学知识的传授已经受到足够的重视，教师在教学过程中搞题海战术，对学生的要求偏重于知识结果、解题技能的掌握，而很多数学思想方法的教学却遭到忽视；又由于数学
思想方法比数学基础知识更抽象、更概括，具有隐蔽性，所以学生较难以从教材中直接获取，这大大制约了学生的数学思维的有效发展。

因此，教师应转变观念，对数学思想方法的教学应予以高度重视，通过认真钻研教材，挖掘出蕴含在数学知识之中的数学思想方法，在教学中不随机应变，为学生创设适宜环境，让他们与潜移默化中领会和掌握基本的数学思想方法，提高自身的数学思维能力。

中国科学院院士、著名数学家李大潜教授认为：数学教育本质上是一种素质教育，使学生不仅知道许多重要的数学概念、方法和结论，而且领会到数学的精神实质和思想方法，这应该是数学教育努力追求的目标，也是衡量数学教学的成效与优劣的最根本的依据。

笔者通过多年的教学实践也感到，唯有让学生在学习数学知识的同时掌握基本的数学思想方法，才能为他们的自主学习和主动探究创造有利的条件。

在教学过程中，学生是主体，教师要有意识地在教学中进行数学思想方法的渗透，以引导学生领会基本的数学思想方法。

学生一旦掌握了基本的数学思想方法，则可在较高层次主动探求新知，学生的数学素质和思维能力才能得到稳步提高，才能为他们的后续学习打下坚实的基础。

二、数学教育渗透数学思想方法，促进学生思维能力发展
（一）认真钻研教材，加强对数学思想方法的认识
对于数学思想方法的含义，钱佩玲教授认为：所谓数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复利用，带有普遍指导意义，是用数学解决问题的指导思想。

数学方法是指在提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等。

数学思想和数学方法是紧密联系的，一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。

从《上海市中小学数学课程标准》的分析中，我们可以看到中学数学教材本身就是由两条主线组成，一条是数学知识，另一条就是数学思想方法，每一章、单元乃至每一节，都体现着两条主线的融合。

数学知识和数学思想方法是构成教材的有机组成部分，掌握了思想方法可产生和获得知识，而知识中又蕴藏着思想方法，两者密不可分、缺一不可。

正是由于这种辨证统一的关系，决定了教师的教学过程中，在传授知识的同时还得突出思想方法的教学。

在教学
的每一个环节，如概念讲解、定理证明、例题解答，都蕴涵大量的数学思想方法，作为教师要善于挖掘，在知识教学的同时始终渗透数学思想方法，引导同学们在数学学习的过程中重视数学思想方法的应用和体验。

以预备年级“三角形”章节为例，其中主要渗透着以下基本的数学思想方法：
1、剪拼法（转化思想）
课本中用剪拼的方法（如图１）直观地得到三角形内角和为１８０°，其实质是将不共顶点的三个内角，转化成共顶点的三个角，利用“平角等于１８０°”这个已知的结论，得到了三角形的内角和等于１８０°.
图1
“转化”在数学问题的解决中无所不在，无时不用。

小学里求平行四边形的面积，是用“剪拼法”将它转化成一个矩形（如图２）；还有判断两直线平行的问题，可以转化成判断两个角相等；平面内的点可以转化为坐标等等。

图２
2、分割法（化归思想）
学生们通过学习懂得用连结一条对角线的方法，将四边形分割成两个三角
形，从而得到四边形的内角和为３６０°，这其中的数学方法就是将未知的四
边形内角和化归
．．为已知的三角形内角和。

其实化归的本质就是转化。

请看下例：
例１如图３，Ｏ是正三角形ＡＢＣ内任意一点，ＯＥ、ＯＦ、ＯＧ是三边上的垂线段，ＡＤ是ＢＣ上的高，怎样说明ＯＥ＋ＯＦ＋ＯＧ＝ＡＤ？
分析：连结ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ，△ＡＢＣ被分割成三个小三角形，而这三个小三角形面积之和等于原△ＡＢＣ的面积．由（ＡＢ·ＯＥ＋ＢＣ·ＯＦ＋ＡＣ·ＯＧ）＝ＢＣ·ＡＤ，ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，可得ＯＥ＋ＯＦ＋ＯＧ＝ＡＤ．
图3
点评：用分割法将线段关系化归为面积关系，化归思想是解决此题的关键。

3、代数法（方程思想）
课本中出现了较多的求未知角的度数问题。

这类问题是用方程的知识解几何题，可称之为代数法。

例２一个多边形的内角和与四边形内角和之比为５：２，求多边形的边数。

分析：设多边形的边数为ｎ，由已知条件列方程（ｎ－２）×１８０：３６０＝５：２，可解得ｎ＝７．
点评：凡有比例条件的几何计算题，往往可用方程思想求解。

4、归纳法（由特殊到一般）
由特殊的四边形、五边形、六边形……的内角和，推得一般的ｎ边形的内角和的方法，称之为归纳法。

归纳法是打开智慧大门，发现一般规律的钥匙：
例３如图４，ＡＢ∥ＣＤ，∠１、∠２、∠３……∠８、∠９九个角有什么关系？
图4
分析：先考虑简单的特殊情形：图5中，可推证得∠１＋∠３＝∠２；图６中可推证得∠１＋∠３＋∠５＝∠２＋∠４；由此猜想得图４中∠１＋∠３＋∠５＋∠７＋∠９＝∠２＋∠４＋∠６＋∠８．
图５
图６
点评：（１）如果类似图４，有２ｎ＋１个角，同样可得：奇数角之和等于偶数角之和，即∠１＋∠３＋…＋∠（２ｎ＋１）＝∠２＋∠４＋…＋∠２ｎ．
（２）图５中，欲得∠１＋∠３＝∠２有十几种方法。

教学时放手让同学去思考、探索，并展示他们的结果，可让同学充分领略“化归思想”在求解过程中的作用，从而激活他们的数学思维。

因此教师备课一定要“吃透”教材，用两条主线去分析教材，把数学思想方法和基础知识同时纳入数学目标、教材分析中去，体会在教学数学知识的同时还渗透了哪些数学思想方法。

教师要做到心中有数，这样在平时教学中才能有意识地引导同学去揭示规律、方法，运用所掌握的思想方法去探究未知的数学知识，在此基础上方可提高其数学素养，培养其良好的数学思维能力。

（二）在尝试探索数学知识形成过程中，渗透数学思想方法
数学教学的过程是引导学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，这个过程不是只教会学生做几道数学题，而是让学生学会运用数学思想和方法去思考与探究。

因此，在数学教学中，要结合教材内容，根据学生实际情况，渗透数学思想，领会数学方法，促进学生思维能力发展和数学素质的提高。

在二期课改理念下，教师大都已改变传统的灌输式教学方法，学生的学习方式也由被动地接受知识转变为把模仿学习和体验式学习相结合。

教学过程中教师尽量让学生尝试探索、体验知识产生的过程，在学生获取知识的同时，要让学生主动运用数学思想方法来解决问题。

比如在在学过一元一次方程的解法后，可让学生尝试求解二元、三元一次方程组的方法，用消元法把三元转化为二元、再把二元转化为一元一次方程来求解，初步体会化归思想。

在让学生探索寻求不等式性质和一元一次不等式（组）的解法时，不要孤立地只得到不等式性质和不等式（组）的求解方法，而要引导同学把它们和已学过等式的性质及一元一次方程解法进行类比，运用类比思想，从类比中找出两者的相同点和不同点，这样有利于同学整体构建不等式和方程的有关知识体系，为同学的后续学习夯实基础。

在解决组合图形的面积、体积的计算问题时，要让同学体会分解与组合思想。

在学习列方程解应用题知识时，让学生经历利用方程解决实际问题的过程，切实体会方程是刻画现实世界中一类数量关系和探求未知量的有效的数学模型，以增强其分析判断能力，领悟建立数学模型的思想。

基础知识的学习中要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。

在“四边形”章节的学习过程中，要让同学不断探索和寻找平行四边形、矩形、菱形、正方形的特殊性质和判定方法。

而有的教师往往罗列很多条有关定理让同学熟记熟背，这样同学可能会孤立地记忆这些定理，难以达到将知识综合联系、融会贯通的目的。

其实我们可以整理出一条有关这几种四边形的图形关系脉络图：
→
正方形
这其实是让学生体验从一般到特殊的研究过程，使之发现并归纳这几种四边形的内在联系，从而体会图形运动和集合思想。

只有通过展现解决各四边形问题的思路分析，并同时系统而有条理地展示各四边形的形成线索，才能把这些思想方法明确地呈现在学生的眼前，学生才能从中领悟到当初数学家的创造
思维进程，这对激发学生的创造思维，形成数学思想，掌握数学方法，提高思维能力是大有裨益的。

反之亦然，从研究解析式为y=ax2 、y=a(x+m) 2 、y=ax2+h 到y=a(x+m) 2+h再到一般式y=ax2 +bx+c(a ≠0)的二次函数的图象和性质中，同学的思维经历了从特殊到一般的数学研究过程。

在此教学过程中，还渗透数形结合思想。

结合二次函数图象去分析二次函数性质，可使学生充分领略图形运动、变换思想和分解与组合的思想策略。

教学过程中引导学生注重知识在教学整体结构中的内在联系，揭示数学思想方法在知识的互相联系、互相沟通中的纽带作用。

如函数、方程、不等式的关系：对于一个函数解析式，当函数值等于、大于或小于某一常数时，分别可得方程、不等式，联想函数图象可提供方程、不等式的解的几何意义。

运用转化、数形结合的思想，这三块知识可相互为用。

例如在分析二次函数y=(x-2) 2-1的性质时，可以画出这个函数的图象，从图
象上看出这个函数的性质，知道这条抛物线与x轴交点
坐标为（1，0），（3，0），也即知道方程(x-2)2-1=0的
解是x=3或x=1；进入高中后同学们要学习求解一元二
次不等式(x-2) 2-1>0的解集，就会想到利用图象，并把
这条抛物线可分成三段，找到其中函数值大于0的两
段，很容易得到所求解集为：x>3或x<1。

这样，学生不仅学得更轻松，而且理解得更深刻。

在教学中时时注意总结蕴含在数学知识体系中的数学思想方法，揭示思想方法对形成科学的系统的知识结构、深化知识理解的指导作用，将能大大帮助学生提高分析解决问题的思维能力。

（三）领悟数学思想方法，加强对数学概念的理解
对于抽象的数学概念的教学，要关注概念的形成过程，结合具体的教学内容，让学生领悟隐含的数学思想方法，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。

当数的范围扩展到“实数”时，要求同学们建立实数与数轴上的点的一一对应关系，体会数形结合思想，体验坐标思想，更好地理解实数概念，这将有助于今后不断扩大范围的数的学习。

在学习“代数式”概念时，通过列代数式，掌握文字语言与符号语言、图
形语言表述之间的转换，领悟字母“代”数的数学思想，提高同学的数学语言表达能力。

可以让同学把用文字表述“x与y的平方和”列成代数式“x2+y2”；表示半径为x的圆的面积是∏x2；反之请同学用文字语言叙述代数式“（x+y）2”的含义,应是“x与y的和的平方”，也可看成表示边长为（x+y）的正方形的面积等等。

通过举一反三，提高学生列代数式的能力，加深对代数式概念的理解，为将来学习列方程、列函数解析式作好铺垫。

又比如“函数”概念的学习，不应该只关注其解析式、自变量和函数值的讨论，而应选取具体实例，使学生体会函数能够反映实际事物的变化规律，感悟函数思想，提高用函数知识解决实际问题的能力。

同样，像平方差公式、完全平方公式、勾股定理的教学，教师除进行运算指导外，还可以让同学利用数形结合思想，利用图形面积来加以理解。

（四）运用数学思想方法，进行发现、创新
教学过程中，要创造一切可能条件，鼓励学生运用所学基础知识和数学思想方法，去尝试解决一些问题，注意分析探求解题思路时数学思想方法的运用。

解题的过程就是在数学思想的指导下，调用一定数学方法加工、处理题设条件及相关知识，逐步缩小题设与题断间的差异的过程，也可以说就是运用化归思想的过程。

解题思路的寻求自然就是运用思想方法分析来解决问题的过程。

例如，学生学了有理数运算后，在数学提优中给出问题：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1/2的矩形，接着把面积为1/2的矩形等分成面积为1/4的矩形，再把面积为1/42的矩形等分成两个面积为1/8的矩形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：1/2+1/4+1/8+1/16+1/64+1/128+1/256+1/512的值。

有些学生能告诉我答案，说是在小学奥数班学习时，老师告诉他们把最后
一个分数的分子改为比分母小1的数即511/512。

问他为什么，说不出理由，这样的学习，是机械的记忆，知其然，不知其所以然。

我在教学时引导他们运用整体思想、分解与组合思想，利用图形给出的规律，再用字母x表示要计算的式子的整体，即设1/2+1/4+1/8+1/16+1/64+1/128+1/256+1/512 = x 。

则x + 1/512 = 1，得x = 511/512。

这样的教学，能使学生触类旁通，学会计算一系列类似算式的值。

也使学生真切体会到数学的妙趣和美感，激发学生学习数学的兴趣。

运用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，对同一数学问题的多角度的审视引发不同联想，可培养学生思维的发散性、灵活性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，可培养学生思维的严谨性、批判性。

丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解，数学思想方法的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，这正是提高数学思维能力的必由之路。

（五）抓住单元复习契机，提炼数学思想方法
在初中数学教材中，基本的数学思想方法分布在许多不同的知识点中，呈多次螺旋式地出现，因此，在单元复习时教师要整理出数学思想方法的结构体系，将统领知识的数学思想和方法概括提炼出来，增强学生对数学思想方法的应用意识，从而令学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析问题、解决问题的能力，这是锻炼学生“会学”能力很重要的学习方法。

如在初三年级教学“解方程”内容进行单元复习时，对于分式方程、无理方程、高次方程和各类复合方程，它们形式不同，解法各异，但这些方程的求解过程却体现了同一种数学思想———转化（化归）思想，把高次方程转化为低次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，最终皆要转化为一元一次方程求解。

在教学中，教师如果透过这些不同类型方程具体解法，提炼总结出蕴藏在这些知识中的思想方法，学生的数学思维能力将会有显著的提高。

数学家乔治·波利亚说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。

”很多知识的有效性是短暂的，思想的有效性却是长期的，能使人“受益终生”。

因此，就数学教学而言，“知识诚可贵，思想价更高”。

教
学中要重视改进教学方法，以数学知识为主线，以挖掘、展现由其反映出来的数学思想方法为羽翼，坚持启发式和讨论式，师生双方密切合作，交流互动，教学中不仅要让学生掌握数学知识，而且要揭示获取知识的思维过程。

“授之以鱼，不如授之以渔”，只有把知识与思想的种子播种在学生的心田，使学生自然领悟和掌握数学思想方法，才能从根本上培养其认知能力和创造能力。

数学是一种文化，它既是诸多门类学科的基础与工具，又是一种思想方法。

数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

当然在进行阶段性教学过程中，教师也不能无限制地挖掘数学思想方法，任意拔高要求，而应在符合学生的认知规律的前提下，在进行数学知识教学过程中，注重数学思想方法的渗透，促进学生思维发展，全面提高学生的数学素养，为学生整体素质的提高打下坚实的基础。

参考文献
1.《数学思想方法与中学数学》钱佩玲邵光华编者北京师范大学出版社1999年
2.《中学数学教与学》期刊中国人民大学书报资料中心2003年第12期
3．《中国中学生报》第1158期。