4.2 二次函数的性质(北师大版)

[思路点拨]
[精解详析]
12 2 ∵y＝f(x)＝3x ＋2x＋1＝3(x＋3) ＋3.
2
1 2 1 (1)顶点坐标为(－3，3)，对称轴是直线 x＝－3； 2 1 1 (2)∵f(－3)＝1，又|0－(－3)|＝3， 2 1 1 |－3－(－3)|＝3， 2 所以结合二次函数的对称性可和 f(0)＝f(－3)＝1；
a的取值范围． (2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax的增区间为(－∞，2)，
求 实数a的值．
解：∵f(x)＝－(x－a)2＋a2，其函数图像开口向下，
对 称轴为x＝a.
(1)∵f(x)的增区间为(－∞，a]，
由题意(－∞，a]⊇(－∞，2)， ∴a≥2.即实数a的取值范围是：[2，＋∞)
1 4 2 3．本例条件不变，试比较 f(－1)与 f(3)，f(－3)与 f(3)， 5 f(－3)与 f(1)的大小关系，并归纳出一个使上述关系 式成立的式子．(不必证明)
[例2]
已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，
(1)当x∈[－2,0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2,3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)． [思路点拨] (1)、(2)可就f(x)＝(x－1)2＋2的对称轴与区
间的情况直接求最值，(3)可分析x＝1与区间[t，t＋1]的关系， 就x＝1是否落在区间[t，t＋1]内展开讨论．
x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，
又|－2－1|>|3－1|， ∴f(x)的最大值为f(－2)＝11；
(3)①当t>1时，
f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增，
解析：设公司获得的利润为y，在甲地销售了x辆，则在乙 地销售了(15－x)辆， 则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋ 30(0≤x≤15，x∈N)，
此二次函数的对称轴为x＝10.2，
∴当x＝10时，y有最大值为45.6(万元)．
答案：C
8．渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空
________，最大值是________． 32 7 解析：∵f(x)＝2x－2 －2在[－1,1]上为减函数，
∴当 x＝1 时，f(x)min＝－3；当 x＝－1 时，f(x)max＝9.
答案：－3 9
6．已知二次函数y＝f(x)＝x2－2ax＋a在区间[0,3]上的 最小值为－2，求a的值．
x 解：(1)由题意，知空闲率为(1－m)， x ∴y＝kx(1－m)(0<x<m)； k 2 k m 2 km (2)y＝－mx ＋kx＝－m(x－ 2 ) ＋ 4 ， k ∵－m<0 且 0<x<m， m km ∴当 x＝ 2 时，ymax＝ 4 ；
m km (3)∵当 x＝ 2 时，ymax＝ 4 ， 又实际养殖量不能达到最大养殖量， m km ∴此时，需要 2 ＋ 4 <m，解得 k<2. 又∵k>0，∴0<k<2.
故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝ 2.
③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(t)在[t，t＋1]上单调递减， 所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2， t2－2t＋3， t>1， 0≤t≤1， 综上得 g(t)＝2， t2＋2， t<0.
进而确定顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h.
2．比较两点函数值大小，可以先比较两点离对称轴的 距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的 大小关系，也可以将要比较的两个点转化到同一单调区间上， 再利用函数的单调性比较它们的大小．
1．下列区间中，使函数 y＝－2x2＋x 是增函数的是 ( A．R
[例3]
某企业生产的一种电器
的固定成本(即固定投资)为0.5万元，
每生产一台这种电器还需可变成本 (即另增加投资)25元，市场对这种 电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与 销售量(t)的关系用抛物线表示如图． (注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位： 万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01
1 C.4，＋∞
)
B．[2，＋∞)
1 D.－∞，4
2
解析：函数 y＝－2x
12 1 ＋x＝－2x－4 ＋8的图像的对称轴
1 1 是直线 x＝4， 图像的开口向下， 所以函数在对称轴 x＝4的 左边是增加的．
答案：D
2．(1)若f(x)＝－x2＋2ax在(－∞，2)上是增函数，求实 数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
a>0
图 像
a<0
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
(1)抛物线开口向 上 ， (1)抛物线开口向 下 ， 并向上无限延伸 性 质 并向下无限延伸
b － (2)对称轴是 x＝ 2a
1 1 1 解：∵|－1－(－3)|＝|3－(－3)|， 4 1 2 1 |－3－(－3)|＝|3－(－3)|，
5 1 1 1 |－3－(－3)|＝|1－(－3)|， 结合二次函数关于 x＝－3对称 可知 1 4 2 f(－1)＝f(3)，f(－3)＝f(3)， 5 f(－3)＝f(1)． 由上述等式的变量间的关系可归纳出一个恒等式： 1 1 f(－3＋x)＝f(－3－x)，x∈R.
[一点通]
求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值
的步骤： (1)配方，找对称轴； (2)判断对称轴与区间的关系； (3)求最值．若对称轴在区间外，则 f(x)在[m，n]上单 调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴 取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．
间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当 的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨 实际养殖量 和空闲率（1）的乘积成正比，比例系数为 最大养殖量 k(k>0)． (1)写出y关于x的函数关系式，并求出定义域； (2)求鱼群的年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k所应满足的条件．
顶点坐标是
b － ，(2)对称轴是 x＝ 2a ，
顶点坐标是
b 4ac－b (－2a， 4a )
2
b 4ac－b (－2a， 4a )
2
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
b (－∞，－2a] (3)在区间 b (－∞，－2a] (3)在区间
性 质
上是减函数，在区间 上是增函数，在区间 b b (－2a，+∞] 上是增函数 (－ ，+∞] 上是减函数 2a (4)抛物线有最低点，当 x＝ (4)抛物线有最高点， b － 时，y 有最小值，ymin 2a b 当 x＝－ 时， 有最大值， y 2a
[一点通] 解答实际问题的步骤为：
7．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：
万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为 销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆 车，则能获得的最大利润为 A．45.606万元 B．45.56元 ( )
C．45.6万元
D．45.51万元
12 2 (3)由 f(x)＝3(x＋3) ＋3知二次函数图像开口向上，且 1 对称轴为 x＝－3，所以离对称轴越近，函数值越小． 3 1 15 1 又|－4－(－3)|<| 4 －(－3)|， 3 15 ∴f(－4)<f( 4 )．
[一点通] 1．已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般 先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，
万元)
(1)写出如图的销售收入(k)与销售量(t)之间的函数关系 R＝f(t)； (2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益 与年生产量的函数关系式，并求年生产量是多少时纯收益
最大？
[思路点拨] 解答本题可先由图求出销售收入与销售量
之间的函数关系式，即R＝f(t)，然后建立纯收益与销售量之 间的函数关系式进而求出纯收益的最大值．
解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2，对称轴为 x＝a，按 a 是否在[0,3] 中分三种情况讨论． (1)当 a<0 时，ymin＝f(0)＝a＝－2，适合； (2)当 0≤a≤3 时， min＝f(a)＝a－a2＝－2， y 解得 a＝2 或－1， 但－1∉[0,3]，∴a＝2； (3)当 a>3 时，ymin＝f(3)＝9－5a＝－2， 11 11 解得 a＝ 5 ，但 5 <3，故舍去． 综上，a＝± 2.
4．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a
的取值范围是
A．0≤a≤1 C．－2≤a≤0 B．0≤a≤2
(
)
D．－1≤a≤0
解析：y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2. ∵函数在[0,1]上的最大值是a2，
∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.
答案：D
5．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是
[精解详析]
25 (1)由图可知：R＝a(t－5) ＋ 2 ，
2
1 由 t＝0 时，R＝0 得 a＝－2. 1 25 2 ∴R＝－2(t－5) ＋ 2 (0≤t≤5)． 12 1 1 2 19 (2)年纯收益 y＝－2t ＋5t－0.5－4t＝－2t ＋ 4 t－0.5， 19 当 t＝ 4 ＝4.75 时，y 取得最大值 10.78 万元． 故年产量为 475 台，纯收益取得最大值 10.78 万元．
[精解详析]
∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴
为x＝1，开口向上．
(1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是单调递减的，故当 x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11； 当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3； (2)当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上是先减后增的，故当
h <m
f(n)
f(m)
பைடு நூலகம்
h >n
f(m)
f(n)
对称轴 x＝h 与[m，n] 的位置关系 m＋n m≤h< 2 m≤h≤n m＋n h＝ 2 m＋n 2 <h≤n
最大值
最小值
f(n) f(m)或 f(n) f(m)
f(h) f(h) f(h)
点击下列图片进 入应用创新演练
1．已知二次函数在某区间上的单调性，求参数的取 值范围，应借助于函数的对称轴与区间的关系建立关于参 数的不等式，从而求解得出参数的取值范围．
2．二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上 的最值可作如下讨论，
对称轴x＝h与[m，n]
最大值 的位置关系 最小值
对于给定的二次函数y＝－2x2＋8x＋24. 问题1：将该二次函数化成顶点式． 提示：顶点式为y＝－2(x－2)2＋32. 问题2：该函数的单调区间是什么？ 提示：单调增区间为(－∞，2]，减区间为[2，＋∞)． 问题3：当自变量x取何值时，函数的图像达到最高点？
提示：当x＝2时，函数的图像达到最高点．
＝
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a ymax＝
配方法是研究二次函数最值及对称轴、顶点坐标 等的基本方法，在探究出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的对称轴后，其图像的对称性及单调性就会较直观地 反应在大脑中．
[例 1]
已知函数 y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.
(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； 2 (2)已知 f(－3)＝1，不计算函数值，求 f(0)； 3 15 (3)不直接计算函数值，试比较 f(－4)与 f( 4 )的大小．