高等代数多项式考研复习题

第一章 多项式考研复习题

1.设p 是素数,求证p x pa x pa x pa x x f n n n n +++++=---12211)( 在有理数域上不可约.

2.设m 为正整数,k 为整数,证明144++m m kx x 在有理数域上不可约.

3.设p 是奇素数，试证121++++--x x x p p 在有理数域上不可约.

4.设)(x f 是首项系数为1的次数为)0(>n n 整系数多项式.若存在n 互不相同的整数n a a a ,,,21 ,使得1)(-=i a f ,则)(x f 在整数环上不可约.

5. 设)(x f 是次数为)0(>n n 整系数多项式,)(x f 在多于n 个不同整数处取值为1或-1.则)(x f 在有理数域上不可约.

6.设整系数多项式)(x f 对无限多个整数i x 取值均为素数,证明)(x f 在有理数域上不可约.

7.设)(x f 是整系数多项式,且)1(),0(f f 都是奇数,则)(x f 没有有理根.

8.设)(x f 是整系数多项式,其首项系数与常数项均为奇数,且)1(),1(f f -中至少有一个是奇数,则)(x f 没有有理根.

9. 设)(x f 是整系数多项式,如果存在一个偶数a 和奇数b 使得),(a f

)(b f 都是奇数,则)(x f 没有整数根.

10.若)(|)(n x f x f ,则)(x f 的根只能是零或单位根.

11.设)(x f 是首项系数为1的实系数多项式,若对任意的实数c 有0)(≥c f ,证明存在实系数多项式)(),(x h x g ,使得)()()(22x h x g x f +=.

12.设)(),(x g x f 是两个复系数多项式,若m 次多项式)(x f 有m 个不同的复根,且)(|)(x f x g ,求证))(')('),(())('),((x g x f x g x f x g =.

13.设m 为正奇数,且1≠m .求)1)(1)(1)(1()(42+++-=x x x x x x g 与

x x x f m m -=)()(的最大公因式.

14.设)(,),(),(21x f x f x f s 有公共根1,证明对任意多项式,),(),(21 x g x g )(x g s ,有

)()()()()()(|)1(221112n s s n n n x f x g x f x g x f x g x x x +++++++- .

15.求2313324|1++++++s n m x x x x x 的条件.

16.求4次多项式)(x f ,使得1)(|1,)(|1232++++x f x x x f x .

17.设)(x p 是有理数域上不可约多项式,)(x f 为有理系数多项式,如果

)(x p 与)(x f 有公共复根α,那么在有理数域上)(|)(x f x p . 18. 假设多项式][)(),(),(x R x h x g x f ∈满足：

),()()()()()(2x h c x x g b x x f a x +=+++ ),()()()()()(2x h c x x g b x x f a x +=-+-

期中b a c R c b a ≠≠∈.0,,,,则)(|)(),(|)(22x g c x x f c x ++.

19. 设n n n n n a x a x pa x a x x f +++++=---12211)( 无重根,求证:)(x f 与

)('x f 根之差的倒数之和为0. 20.n d ,为正整数,证明1|1--n d x x 的充要条件为n d |. 21.)(|)()(|)(x g x f x g x f k k ⇔,k 为正整数. 22. 试确定A ，B ，使得x —1是多项式1()1(1)n n f x Ax Bx n +=++>的二重

因式.

23. 试求7次多项式()f x ，使得()1f x +能被4(1)x -整除，而()1f x -能被

4(1)x +整除.