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变差函数的概念与计算
谷跃民编写
在地质统计学随机模拟工作中，统计归纳区域变量的分布和变差函数，是
用好随机模拟技术最关键的两项工作，其中区域变量分布统计比较容易理解，
变差函数计算过程相对复杂，影响了解释人员对它的直观理解，为了使解释生
产人员快速了解变差函数，准确使用相关工具软件，并能依据现有的资料和对
工区地质情况的先验信息，统计归纳出合乎实际的变差函数，作者在学习相关
知识的基础上，对学习材料进行了初步总结，试图用通俗的方式，对变差函数
的概念和统计归纳方法与大家共同进行探讨。

一、变差函数的基本概念
在地质统计学中，变差函数是最基本与最重要的模拟工具，它用于描述数
据值的空间互相关，数据点在空间上相距越远，相关性就变得越小，变差函数
就是模拟这种现象的数学函数，通常用一张图来展示，用X轴表示滞后距离，
用Y轴表示方差，可以从区域变量
抽取的样本值中计算归纳出来，
见图1，它通过变程来反映变量
的影响范围，V(h)为变差函数值，
Lag(h)为滞后距。

变差函数可以用四个参数来描
述：
1、变差函数类型：决定了随着滞图1 变差函数图示
后距的增加变差（方差）变化的快慢，
在JASON STATMOD MC中，使用GAUSSIAN和EXPONENTIAL曲线类型；
2、变程a：指的是在超过这个距离后，数据点之间就不再有明显的相关性，也称作影响距离；
3、块金效应C0：表示在距离为0时的方差值，用来表示相距很近的两点的样品变化情况；
4、先验方差：Sill=C+C0也叫基台值，它反映变量的变化幅度。

二、变差函数的估算与拟合
1、变差函数的计算公式与估算
变差函数的定义是：区域化变量Z(x)和Z(x+h)两点之差的方差之半，定义为Z(x)的变差函数，数学定义如下：
h为滞后距。

如果有了区域化变量Z(x)的一部分采样，就可以估算该区域化变量的Z(x)变差函数，具体计算公式如下：
i为样本序号。

2、变差函数的估算示例
为了能更直观、更深刻地体会它的具体意义，下面举两个计算实例，各具体计算两个变差函数值，通过具体计算过程，就会知道什么样的资料可以满足变差函数估算的要求，具体在资料条件会出现怎样的异常，这两个实例分别为两种区域变量类型，一个是垂向区域变量类型，可以理解为井曲线等，一个是平面区域变量类型，可以理解为孔隙度平面变化等。

（1）垂向区域变量类型变差函数值计算示例。

右图为一口井的孔隙度曲线，纵向
采样间隔为1米，右侧为其数值，首先
根据公式1-2，求取h=1米时，v(1)
的数值，步骤如下：
①将数据下移1米，与原始数据对齐；
见图3a；
②找到对应数据对，求得各数据对的差
值，分别为：0.75、-2.75……、1等， 图2 孔隙度曲线
共26个数值；
③求取以上个数值的平方，再求和，得
0.752+(-2.75)2+……+12=27.625；
④由于共有26个数据对，因此，N=26,
所以，v(1)= 27.625/(2×26)=0.53125。

同理可以根据公式1-2，求取h=2米
时，v(2)的数值，步骤如下：
①将数据下移2米，与原始数据对齐；
见图3b ；
a
b
②找到对应数据对，求得各数据对的差
图3 v(1)和v(2)数据对
值，分别为：-2、-4……、1等，共组成了25个数据对，因此共有25个数值；
③求取以上个数值的平方，再求和，得(-2)2+(-4)2+……+12=43.6875；
④由于共有25个数据对，因此，N=25,所以，v(2)=
43.6875/(2×25)
=0.87375。

（2）平面区域变量类型变差函数值计算示例。

右图4为一假设的平面地质属性数据，其南北和东西间距都为1，
假定这一地质属性具有各向异性
特征，就应当计算它不同方向的
变差函数值，那么，这时滞后距
图4 平面地质属性数据
h 是指向某方向移动的距离，计算时，在指定方向上，对指定的h ，搜索所有相
距h 的点对[Z(x i ), [Z(x i +h)]，并统计点对个数N ，其它步骤与前述垂向区域变量
类型变差函数值计算步骤是相同的，以下是不同方向两个滞后距的计算结果。

东西方向移动1个单位距离，共组成6个数据对，因此，N=6，变差函数
值为：
东西方向移动2个单位距离，共组成3个数据对，因此，N=3，变差函数
值为：
北
西北
东北
南北方向移动1个单位距离，共组成6个数据对，因此，N=6，变差函数值为：
南北方向移动2个单位距离，共组成3个数据对，因此，N=3，变差函数值为：
从北东向南西方向移动个单位距离，共组成4个数据对，因此，N=4，变差函数值为：
从北东向南西方向移动2 个单位距离，共组成1个数据对，因此，N=1，变差函数值为：
从北西向南东方向移动个单位距离，共组成4个数据对，因此，N=4，变差函数值为：
从北西向南东方向移动2 个单位距离，共组成1个数据对，因此，N=1，变差函数值为：
如果确信变差值与方向无关，也可以将这些计算结果，放到一张变差函数图上，来拟合确定一个变差函数。

3、变差函数的拟合
在统计模拟中，变差函数采用的是一个解析函数，因此，计算出样本值的
不同滞后距h的变差值V(h)
后，还必须拟合出一个解
析函数，变差函数的拟合
有很多种方法，比如，在
指定出函数类型后，可以
使用加权最小二乘法、线
性规划法、遗传算法等确
定出函数的常数项，得到图5 几种常用变差函数类型
变差函数的解析式；由于实际样本中，数量可能有限，或许分布代表性较差，常常采用交互式拟合方法，交互拟合既可以选择出更适合本区实际的函数类型，又可以添加上本人对本区地质规律的先验知识，解决由于样本值少参数不好确定的普遍问题。

选用哪种函数拟合，一方面取决于样本数据，另一方面，也取决于对实际规律的掌握程度，常用的函数有三种，分别是球状模型、高斯模型和指数模型，它们的具体特点如图5所示：
球状模型的标准化形式是：
变程a球型=a,由曲线可以看出，近距离相关性变化很快，接近变程时相关性变化小。

高斯模型的标准化形式是：
变程a高斯= ,由曲线可以看出，在变程中部距离相关性变化很快，接近变程时和近距离相关性变化慢。

指数模型的标准化形式是：
变程a指数=3 a,由曲线可以看出，在近距离相关性变化很快，远距离相关性变化慢。

了解了这些特点，就可以根据实际选取更合适的拟合函数类型了。

在实际应用中，为了更好地与样本值计算
的变差值拟合和更符合实际情况，还常用这几
种函数与Nugget（一个等概率随机型函数）线
性组合。

Nugget这个随机函数就是块金常数c0，
它的大小可反映区域化变量随机性的大小，随机图6 等概率随机型函数
性大这个数值就大。

变差函数的变程大小，不仅能反映某个区域变量在某一方向上变化的大小，同时还能从总体上反
映出区域变量的载体
(如砂岩)在某个方向
的平均尺度，从而可
利用变程来预测砂体
的某个方向的延仲尺
度，以实现预测砂体图7 变程的意义图示
规模为目的。

变差值的具体意义还可以做如下理解，以一个孔隙度区域变量为实例，将区域变量孔隙度样本值错开h距离后，
选取重合的点，做出右图所示交会
图，可以最佳拟合出一条直线，见
图，求取每一个点与这条直线的距
离di,再求取这些距离的平方和，用
总点数取平均，就是滞后距h时的变差值。

图8 变差函数值的意义
因此，v(h)值越大，表明这张交会图的点子越分散，相反，v(h)值越小，这些散带点在这条直线两侧就越集中；也可以如下理解，Porosity(x)与Porosity(x+h)相关性越好，v(h)值越小，关性越差，v(h)值越大。