自动控制原理总复习资料(完美)

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总复

第一章的概念

典型的反馈控制系统基本组成框图如下：

输出量串连补偿放大执行元被控对元件元件件象－－反馈补偿元件测量元件

自动控制系统有三种基本控制方式：反馈控制方式、开环控制方式和复合控制方式。基本要求可以归结为稳定性（长期稳定性）、准确性（精度）和快速性（相对稳定性）。

第二章要求：

1.掌握运用拉普拉斯变换解微分方程的方法。

2.牢固掌握传递函数的概念、定义和性质。

3.明确传递函数与微分方程之间的关系。

4.能熟练地进行结构图等效变换。

5.明确结构图与信号流图之间的关系。

6.熟练运用梅森公式求系统的传递函数。

例1：某一个控制系统动态结构图如下，求系统的传递函数。

C1(s)C2(s)C(s)C1(s)G1(s)G2(s)G3(s)

R1(s)R2(s)R1(s)R2(s)

传递函数为：C(s) = G1(s)C1(s) / [1 -

G1(s)G2(s)G3(s)R1(s)R2(s)]

例2：某一个控制系统动态结构图如下，求系统的传递函数。

C(s)C(s)E(s)E(s)

R(s)N(s)R(s)N(s)

C(s)G1(s)G2(s)-G2(s)

传递函数为：C(s) = G1(s)C(s) / [1 + G1(s)G2(s)H(s)N(s)]

例3：

i1(t)R1 i2(t)R2

R(s)+

u1(t) c1(t)C1 C2 r(t)

I1(s)+

U1(s)112+

I2(s)

将上图汇总得到：R1I1(s)U1(s)

C1s r(t)-u(t) = i(t) R U1(s)

u(t) = [i(t) - i(t)]dt C

u(t) - c(t) = i(t)

R

c(t) = i(t)dt

C

I2(s)

R2Ka

C(s)1C2s(b)C(s) R(s)+

R1C1s

R2C2s

1

Ui(s)1/R11/C1s

IC(s)1/R21/C2s

10rad/s，试求系统的传递函数、特征方程、极点位置以及阻尼比和固有频率的物理意义。

解：传递函数为

G(s)=ωn^2/(s^2+2ξωns+ωn^2)=10^2/(s^2+10s+10^2)，特征方程为s^2+2ξωns+ωn^2=0，极点位置为s=-ξωn±ωn√(ξ^2-1)，阻尼比和固有频率的物理意义分别为系统的阻尼程度和系统的振动频率。

4(弧度/秒)当输入信号为单位阶跃信号时，试求系统的动态性能指标。

解：当输入信号为单位阶跃信号时，系统的动态性能指标包括超调量、峰值时间、上升时间、调节时间和稳态误差等。

首先，根据超调量公式β=arctg(1-ξ^2/ξ)，代入ξ=0.5，得β=60°=1.05(弧度)。

其次，根据公式ωd=ωn√(1-ξ^2)，代入ξ=0.5和ωn=4，得ωd=3.46.

然后，根据公式tr=π-β/ωd，代入β=1.05和ωd=3.46，得tr=0.60(秒)。再根据公式ts=4.5/(ξωn)，代入ξ=0.5和ωn=4，得ts=1.57(秒)。调节时间为2.14(秒)。

最后，根据公式σ%=e/(1+e)×100%，代入e=0.05，得σ%=4.76%。

例2已知某控制系统方框图如图所示，要求该系统的单位阶跃响应c(t)具有超调量σp=16.3%和峰值时间tp=1秒，试确定前置放大器的增益K及内反馈系数τ之值。

解：根据已知的超调量和峰值时间，可以计算出二阶系统C(s)的参数ξ和ωn。具体而言，根据公式σp=e/(1+e)×100%，代入σp=16.3%，得ξ=0.5.根据公式tp=π/(ωn√(1-ξ^2))，代入

tp=1和ξ=0.5，得ωn=3.63.

然后，根据系统方框图，可以得到闭环传递函数

C(s)/R(s)=G(s)K/(1+G(s)Kτs)，其中G(s)=10K/(s^2+s+10)。将

G(s)K代入闭环传递函数，得C(s)/R(s)=10K/(s^2+s+(10+Kτ)K)。

将C(s)/R(s)化为标准形式，得

C(s)/R(s)=ωn^2/(s^2+2ξωns+ωn^2)，其中ωn^2=10K/(10+Kτ)K，2ξωn=1+Kτ/10.

根据已知的超调量和峰值时间，可以得到系统的调节时间和上升时间。具体而言，根据公式tr=π/ωd，代入ωd=ωn√(1-

ξ^2)，得tr=0.73秒。根据公式ts=4/(ξωn)，代入ξ=0.5和

ωn=3.63，得ts=1.4秒。因此，可以确定K和τ的值，从而满

足要求的超调量和峰值时间。

例3已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。

解：根据系统动态结构图，可以得到系统的闭环传递函数为Φ(s)=K/(s(Tm+1)+K)。将K=5和Tm=0.2代入，得

Φ(s)=5/(0.2s+6)。

将Φ(s)化为标准形式，得Φ(s)=ωn^2/(s^2+2ξωns+ωn^2)，

其中ωn^2=K/Tm=25，2ξωn=1/Tm=5.

根据标准形式，可以计算出系统的超调量和峰值时间。具体而言，根据公式σ%=e/(1+e)×100%，代入e=0.05，得

σ%=4.76%。根据公式tp=π/(ωn√(1-ξ^2))，代入ωn=5和ξ=0.5，得tp=0.486秒。

例4某控制系统动态结构图如下，要求系统阻尼比ξ=0.6，确定K值；并计算单位阶跃函数输入时闭环系统响应的σ%、

ts（5%）。

解：根据系统动态结构图，可以得到系统的闭环传递函数为Φ(s)=K/(s^2+2ξωns+ωn^2)，其中ξ=0.6.

根据要求的阻尼比和标准形式，可以得到2ξωn=1/Tm=5，从而得到ωn=5/1.2=4.17.

根据系统的闭环传递函数，可以得到系统的单位阶跃响应为c(t)=1/K(1-0.6e^(-2.5t)sin(3.96t))。根据公式

σ%=e/(1+e)×100%，代入e=0.05，得σ%=4.76%。根据公式

ts=3.5/(ξωn)，代入ξ=0.6和ωn=4.17，得ts=1.57秒。因此，K 的值可以通过试错法得到，满足要求的超调量和调节时间。

根据公式，系统的K值为0.56.同时，根据公式t=3.5/ωn 和ξωn=1+5K，可得ξ=0.34和ωn=6.25.因此，该控制系统的开环传递函数为G(s)=2s+1.56s+10.

在解题之前，先列出特征方程：s^4+2s^3+s^2+4s+5=0.根据劳斯表，可以得出该系统不稳定，因为右半平面有两个特征根。

该控制系统的开环传递函数为

G(s)=0.025s/(s^2+0.35s+0.025)，要求系统闭环稳定的K值范围为(0,14)。根据劳斯表，可以得出该系统的特征方程为

s^3+0.35s^2+(0.025K+1)s+0.025K=0.根据劳斯表的规则，当特征方程中第一列元素无符号变化时，说明该系统特征方程没有正实部根，因此该系统稳定。因此，K的范围为(0,14)。

静态误差系数是用来衡量系统输出与输入之间的误差的，包括阶跃输入、斜坡输入和加速度输入。对于一个单位负反馈

控制系统，静态误差系数分别为Kp、Kv和Ka。其中，Kp表

示阶跃输入时系统的稳态误差系数，Kv表示斜坡输入时系统

的稳态误差系数，Ka表示加速度输入时系统的稳态误差系数。对于这三种输入，稳态误差系数均为RK，其中R为输入信号

的幅值。

根轨迹是用来描述系统特征根随着参数变化的轨迹，其方程为m*K(s-zj)/(s-pi)=0，其中m和n分别表示零点和极点的

个数，K表示增益，zj和pi分别表示零点和极点的位置。根

轨迹的绘制需要遵循一定的基本法则，如实轴上根的个数等于零点个数减极点个数的差，根轨迹始于极点，终于零点等等。此外，还有广义根轨迹，包括参数根轨迹和零度根轨迹。

以某单位反馈系统为例，其开环传递函数为

G(s)=K/(s(s+1)(s+2))。根据题目要求，起点为p1=0，p2=-1，

p3=-2，实轴根轨迹在(-2,-∞)和(0,-1)之间，渐近线有3条，夹

角为σ=-1，交点为(-1.5,0)，分离点为d1=-2，d2=-1，d3=-0.25.

已知负反馈系统闭环特征方程为D(s)=s^3+3s^2+2s+K，

要求绘制以K为可变参数的根轨迹图，并确定系统临界稳定

时的K值。

首先，解特征方程D(s)=s^3+3s^2+2s+K=0，得到根轨迹

方程为2*3-3w+K=-w，即2w=w^3-3w+K。根据根轨迹的定义，将根轨迹方程表示为复平面上的点，即w=x+jy，则有2y=y^3-

3x+K，即y^3-2y+3x-K=0.

接下来，根据根轨迹的性质，绘制根轨迹图。根轨迹的起点为实轴上的一个零点，即p1=-0.5，终点为无穷远（因为没

有开环有限零点）。根轨迹共有3支，连续且对称于实轴。根轨迹的渐近线有3条，分别与实轴的夹角为60度、180度和300度，交点为-0.33.实轴上的根轨迹为[-0.5,-∞)。

接着，求解分离点。分离点满足方程1/2pi*sum(1,n)(p-i)-

z=±j，其中p-i表示极点，z表示零点，n为极点个数。代入已

知参数，得到分离点为d=-0.17.

最后，求解与虚轴的交点。将s=jw代入特征方程，得到

实部方程为2w=-w^2+K，虚部方程为-w+2w=0.解方程，得到

w=±0.5，K=1.因此，系统临界稳定时的K值为1.

根据上述分析，可以绘制出系统的概略根轨迹图。

令s=jω代入，可以求得实部方程为10ω^2-K*，虚部方程为ω^3-24ω。解得ω=±4.9，舍去负值，K=240，临界稳定时的K为240.

第五章要求：

1.正确理解频率特性的基本概念。

如果设ui(t)=ASinωt，则Ui(s)=Aω/(s^2+ω^2)，

Uo(s)=AωT/(2Ts+1)(s^2+ω^2)，其中稳态分量为u(t)=e^(-

t/T)+A/(1+ω^2T^2)Sin(ωt-arctg(ωT))，

Uos=A/(1+ω^2T^2)Sin(ωt-arctg(ωT))=A(ω)sin[ωt+φ(ω)]，其中A(ω)=1/(1+ω^2T^2)，φ(ω)=-arctg(ωT)，

C s(t)=AG(jω)sin[ωt+φ+∠G(jω)]，A(ω)=G(jω)/jφ(ω)，

φ(ω)=∠G(jω)。

2.掌握开环频率特性曲线的绘制。

1) 开环幅相曲线的绘制方法：

1）确定开环幅相曲线的起点和终点为ω=0和ω→∞；

2）确定开环幅相曲线与实轴的交点(ωx,0)，满足

Im[G(jωx)H(jωx)]=0或φ(ωx)=∠G(jωx)H(jωx)=kπ，其中

k=0,±1,±2，G(jω)=A(ω)ejφ(ω)，ωx为穿越频率，开环幅相曲线曲线与实轴交点为Re[G(jx)H(jx)]=G(jx)H(jx)；

3）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）。

2) 开环对数频率特性曲线：

1）开环传递函数典型环节分解；

2）确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的轴上；

3）绘制低频段渐近特性线：低频特性的斜率取决于K/，还需确定该直线上的一点，可以采用以下三种方法：方法一：在ω<ωmin范围内，任选一点，计算La(ω)=20lgK-20lgω；方法二：取频率为特定值ω=1，则La(1)=20lgK；方法三：取

La()为特殊值，则有K，即ω=Kv/ω=1；

4）每两个相邻交接频率之间为直线，在每个交接频率点处，斜率发生变化，变化规律取决于该交接频率对应的典型环节的种类，如下表所示。

3.熟练运用频率域稳定判据。

XXX判据：反馈控制系统稳定的充分必要条件是闭合曲线Γ包围临界点(-1,j0)点的圈数R等于开环GH传递函数的正实部极点数P。

本文介绍了掌握稳定裕度概念的方法，其中相角裕度指系统开环频率特性上幅值为1时所对应的角频率。定义相位裕度为Ks(Ts+1)/[ω(Z-P)]，其中Z=P-2N，同时给出了Nyquist图

的绘制方法。接着，给出了三个例子的解析过程。其中第一个例子是G(s)=K/(s(1+jTω))，第二个例子是

G(s)=K/(s^2(1+jT1ω)(1+jT2ω))，第三个例子是

G(s)=K(T1s+1)/(s(T2s+1))，最后还给出了两个负反馈控制系统的开环传递函数。

1) G(jω) = 10/(0.01ω^2 + 14ω + 122)。phase = -arctg(0.1ω) - arctg(2ω)

To plot the amplitude and phase frequency response。we can first find the frequency at which the system crosses the negative real axis。denoted as ωx。Then。we can XXX ωx。denoted as Ax。Finally。we can plot the amplitude and phase response using these values.

ωx = 3.5.Ax = 0.2

XXX。the amplitudeXXX.

2) G(jω) = 2j(ω-2ω^3)/(ω(ω^2+14ω^2+1))。phase = -90-arctg(ω)-arctg(2ω)

To plot the amplitude and phase frequency response。we can follow the same steps as in (1).

ωx = 2.Ax = 1.33

XXX。the amplitudeXXX.

For the two systems in example 5:

1) G(jω) = 50/(jω(5jω+1))。phase = -90-arctg(5ω)

XXX。we need to check if the Nyquist plot encircles the point (-1,0) XXX not encircle this point。the system is stable.

2) G(jω) = 4j(ω-2ω)/(ω(ω^2+14ω^2+1))。phase = -90-

arctg(ω)-arctg(2ω)

XXX。we need to check if the Nyquist plot encircles the point (-1,0) XXX not encircle this point。the system is stable.

In example 3.the transfer n of the minimum phase control system can be found by using the given logarithmic frequency response。From the plot。we can see that the system has a gain of 100 at ω = 1.Therefore。the transfer n can be written as G(s) =

K(s/(0.25s+1))/((s^2)(0.01s+1))。

In example 4.the transfer n of the minimum phase control system can be found by using the given logarithmic frequency response。From the plot。we can see that the system has a gain of 1000 at ω = 0.1.Therefore。the transfer n can be written as G(s) =

K(0.1s+1)/(s^2(0.25s+1)(0.01s+1))。To find the steady-state error for a unit ramp input。we can use the final value theorem。The steady-state error is given by ess = 1/Kv。where Kv is the velocity error constant。Kv can be found by taking the limit as s approaches 0 of G(s) times s。After n。we get Kv = 0.4.Therefore。ess = 2.5.

In chapter 6.XXX: series n。feedback n。XXX is the focus

of this chapter。and the methods for XXX method depends on the specific n.

本章要求：了解非线性系统的特点，掌握描述函数法研究非线性系统。

描述函数法是一种基于频域分析和非线性特性谐波线性化的图解分析方法。下面举例说明如何使用描述函数法判断非线性系统的稳定性。

例1：给定一个非线性控制系统结构图，其中非线性特性

部分用描述函数代替。如果N（A）和G（j）曲线分别为（a）、（b）、（c），请判断其稳定性，同时判断曲线（c）

中A、B两点哪个是自振点。

首先，我们需要将非线性特性部分用描述函数代替。然后，我们观察曲线（a）和曲线（b）。由于曲线（a）和曲线（b）均未穿过实轴，因此该系统是稳定的。

接下来，我们观察曲线（c）。从曲线（c）中可以看出，当A点是自振点时，系统不稳定；而当B点是自振点时，系

统是稳定的。因此，我们需要选择B点作为自振点，以确保

系统的稳定性。