浅析《实变函数》课程的知识体系

浅析《 实变函数》 课程的知识体 系
周仙 耕
（ 德师范学院 宁 数学 系， 建 福 宁德 ３２０ ） ５ １ ０
摘要 ： 《 变 函数 》 高 校 数 学 专 业 开 设 的一 门重 要 的 课 程 ， 对 《 函 分 析 》 《 率 论 》 后 续 课 程 学 习 实 是 它 泛 、概 等 起着 十 分 重要 的作 用． 少 学 生 未 能 学 好 《 变 函数 》 其 中 一 个 重 要 原 因 是 对 该 课 程 的 知 识 体 系 理 解 不 透 ． 不 实 ， 试 图分 析 《 变 函数 》 程 的 知 识 体 系 ， 实 课 以帮 助 学 生 更 好 的 理解 及 学 好 本 课 程 ． 关键 词 ： 《 变 函 数 》 知 识 体 系 ； Ｌ ｂｓｕ 积 分 ； Ｒ ｅ ａ ｎ积 分 实 ； ｅ ｅｇｅ ｉｍ ｎ
ｆｂ ｒｂ
（） １ 积分与极限交换的条件太严． 若 ∽） ａ ］ 在【ｂ 一致收敛时， ｉ （） ＝ｉ （） 能成 ， ｌ ｍ ｘｄ ｌ Ｉ ｘｄ ｌ ｘ ｍ ｘ
立． 上述必须对 ）加上一致 收敛的条件可以保证极 限函数 Ｒｅ ａｎ 即： ） ｉ ｎ 可积 ， ｍ 但实际应用过程中 ， 一
第２ ３卷 第 ３期
２ １年 ８ 月 ０１
宁德 师 范 学 院 学 报（ 自然 科 学 版 ） Ｊｕ ａ ｏ ｉｇｅ Ｎ ｒ ｌ Ｕ ｉ ｒｉ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ） ｏｒ ｌ ｆＮ ｎｄ ｏｍａ ｎ ｅｓｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｎ ｖ ｔ ｅ
Ｖ Ｉ３ ｏ ． Ｎｏ３ ２ ． Ａｕ ． ２ １ ｇ ０ １
致 收敛 的条 件太强 ．
（ 积 与 数 换 条 太 ．当 ） ｂ卜致 敛 ， Ｊ ） ∑ Ｊ ）． ２ 分 级 交 的 件 严即 ） ６．收 时有 。 ： ） 在 ∑
ｎ＝１ ｎ１
， ｘ
。
（） ３ 积分运算不完全是微分的逆运算． Ｒｅ ａｎ可积函数 ） 任一 ｉ ｎ ｍ 的不定积分 ） ｆ ＝ｆ ） 在 ） 的
函数是 Ｒ ｍ ｎ 可积的． Ｄｒｈ ｔ ｉ ａｎ ｅ 但 ｉ ｌ 函数 Ｄ ）｛ ｉｅ ｃ ＝
ｆ， ∈ １【， １ ９ ３０１ １ ＂
在【 １ ０ 】 Ｒｅ ａｎ ，就不 ｉ ｎ 可积． ｍ
【， ∈Ｑ ｎ【， Ｊ ０ ０ｌ 像 Ｄｒ ｈｅ 这 么 简单 的 函数 都不 Ｒｅ ａ ｎ可积 ， 很 多 物理 的实 验表 明 Ｄ 的积 分 为 ０理论 与 实 ｉｃ ｌ ｉ ｔ ｉｍ ｎ 但 ） ．
系， 以帮 助学 生更好 的理 解 及学 好 本课 程 ． 文所 考 虑 的 函数 或 函数 列 等都 定 义在 Ｒ 上 ， 实 变 函数 》 本 《 课 程 可参考 江泽 坚 ， 智泉 所 编 的《 变 函数论》 吴 实 课程 ．
１ Ｒｅ ｎ ｉ ｍａ ｎ积 分 的 局 限 性
《 变 函数 》 实 课程 的教 学 ， 得不 提起 Ｒｅ ａ ｎ积分． ｉ ｎ 分是对 定 义域进 行 分割 的一种 积分 ， 不 ｉ ｎ ｍ Ｒ ｅ ｎ积 ｍａ 它对 数 学 的发展起 了十分重 要 的作 用 ， 但也 有很 多的局 限性 ． 如 以下 几 个方 面． 例
收 稿 日期 ：２ １－ ｌ １ ０ ＩＯ一２
通 讯 作 者 ：周 仙 耕 （９ ８ ）男 ， 师． Ｅ ｍ ｉ ｘ２ ８ ４ ＠ｙｈｏ ｏ ． １７ － ， 讲 － ａ ：ｚｇ ３９ ６ ａｏ ． ｍｃ ｌ ｃ ｎ
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宁德 师 范 学 院学 报 （ 自然 科 学 版）
践 是不 矛盾 的 ， ｉ ａ ｎ积 分 经过 几百 年 的发 展 ， 的理 论 体 系绝 对 没 问题 ， 只能 说 明 它有 自身 的局 Ｒｅ ｎ ｍ 它 那 限 性． 于 上述 的种 种缺 陷 ，９ １ 法 国数学 家 Ｌ ｂ ｓｕ 鉴 １０ 年 ｅｅｇ ｅ引入 了一种新 积分 Ｌ ｂ ｓｕ ｅｅｇ ｅ积分 ， 克服 了上面 的种种 困难 ， 以至今 天 已成 功地 成 为分析 学 中不 可 或缺 的工 具．
能学 好 它 ， 因有 许 多 ， 实变 函数》 程 的概 念性 强 、 度抽 象 、 理 过程 往往 采用 构造 法 等 ， 中还 原 如《 课 高 推 其
一
个重 要 的 原 因是 学 生对 该 课 程 的知 识 体 系理 解 不透 ． 因此 ， 者 试 图分 析《 变 函数 》 程 的 知识 体 笔 实 课
中 图分 类 号 ： Ｇ ４ ３０ ２． ４ 文献标码 ： Ａ 文章 编 号 ： ２ ９ － ４ １（０ １ ０ － ２７ ０ ０ ５ ２ ８ ２ １） ３ ０ ９ － ３
１ ０ 年 ４月 ２ ９１ ９日， ｅ ｅｇ ｅ积 分 以标题 《 Ｌ ｂｓｕ 论定 积分 的一 种推 广 》 的短 文形 式 出现在 法 国科学 院通 报 上 ， 志 着 Ｌ ｂｓｕ 标 ｅ ｅｇ ｅ测 度与 Ｌ ｂ ｓｕ ｅ ｅｇ ｅ积分诞 生 ． ｅｓｕ 分在 各方 面 的影 响不 胜枚举 ， ２ 纪数 学 Ｌ ｅｇ ｅ积 在 Ｏ世 泛 函分 析和 概率论 两 个 领域 ， 了决 定 性 的作用 ． 《 变 函数 》 程 中心 内容 是 Ｌ ｂ ｓｕ 分 ， 此它 起 而 实 课 ｅ ｅｇ ｅ积 因 对 学 好 《 变 函数 》 程 有着 十 分 重要 的作 用． 者在 近几 年 的《 变 函数 》 程教 学 中发 现 很多 学 生未 实 课 笔 实 课
所 有 连续 点 都有 （ ）＝ ） 言 之 ， ． 换 积分 之后 再微 分就 还 原． 另 一方 面 ， ｏ ｅｒ 举 例说 明 ： 个 可微 但 Ｖ ｈ ｒａ 一 函数 ） 的导 函数 ） 即便 有界 也不 一定 是 Ｒｅ ａ ｎ可积 的． ｉｍ ｎ （ ）Ｒｅ ｎ ４ ｉ ｍａ ｎ可积 函数要 求 太严 ． 区 间上连 续 函数 、 调有 界 、 界 的 只有 有 限个 间断 点 ， 三类 闭 单 有 这