第十七章 群 北京大学计算机系离散数学讲义(ppt版)

(1) | a | 1 或 2 a a1 (2) | a || a1 |, | ab || ba |, | a || bab1 | (3) | a | r | at | r
(t,r) (4) | a | n,| b | m,ab ba | ab | |[n, m],
若(n, m) 1, | ab | nm
G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个.由于 1 阶元只有 单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证. 分析：|x|=|x-1|,
Байду номын сангаасx2=e x=x-1
2020/6/30
关于群性质的证明题（续）
例 4 G 为群，aG， |a|=r, 证明|at|= r/(t,r) 证 令|at|=s,
(t,r)=d t=dp,r=dq r/(t,r)=r/d=q
|yxy-1|=|x|=2 yxy-1 =x yx =xy 分析： |yxy-1|=|x|
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关于群性质的证明题（续）
例 3 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元. 证 若xG,|x|>2，则 xx-1
由于|x|=|x-1|, 大于 2 阶的元素成对出现，总数 有偶数个.
解： x2y=yx yx2y=x (yx2y)(yx2y)=x2 yx4y=x2 =yxy x4=x x3=e
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群的性质（续）
G 为群，aG, 且|a|=r, 则 （1）ak =e r | k （2）|a|=|a-1| （3）若|G| = n, 则 rn. 证 （1）充分性. ak = arl =(ar)l=el = e
必要性. k=rl+i, lZ, i{0,1,…,r-1} e = ak = arl+i = ai i=0 r | k
证明留作思考题.
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关于群性质的证明题（续）
证明元素的阶相等或求元素的阶的方法 证|x|=|y|： 令|x|=r, |y|=s, 验证(x)s=e r|s , 验证(y)r=e s|r 求|x|： 找到 xn =e, 分析 n 的因子.
证明群的一些基本性质的方法 工具---幂运算规则、结合律、消去律、群方程的解
说明：证明用到逆元的定义和唯一性； 等式 3 和 4 的证明使用归纳法并加以讨论 等式 2 可以推广到有限个元素之积.
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群的性质（续）
方程 ax=b 和 ya=b 在群 G 中有解且有唯一解. 证: a-1b 是 ax=b 的解.
假设 c 为解，则 c = ec = (a-1a)c =a-1(ac) = a-1b
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群的性质（续）
有限群 G 的运算表中每行、每列都是 G 的置换. aG=G 和 Ga=G
说明 运算表的行列构成置换的不一定是群，反例：
思考： 3 元集上的不同的二元运算有多少个？ 3 元集上二元运算表有多少个，使得每行每列能够构成置换？ 3 元集上有多少个不同的运算表代表群？ 3 元集上同构的群有多少个？
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关于群性质的证明题（续）
例 1 设 G 为群，若xG x2 =e, 则 G 为 Abel 群。 证 x,yG, xy = (xy)-1 = y-1x-1 =yx 分析： x2=e x=x-1
幂运算规则
例 2 若群 G 中只有唯一 2 阶元，则这个元素与 G 中所 有元素可交换。 证 设 2 阶元为 x, yG,
n0 n0 m n, n 0
元素 a 的阶 |a|：使得 ak=e 成立的最小正整数 k 说明：有限群的元素都是有限阶，为群的阶的因子；
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反之，元素都是有限阶的群不一定是有限群.
群的性质
幂运算规则 (a-1)-1=a (ab)-1=b-1a-1 anam=an+m (an)m=anm 若 G 为 Abel 群，则(ab)n=anbn
aG, 方程 ax=e 有解，得到 a 的右逆元.
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群的性质（续）
消去律 ab= ac b=c, ba = ca b=a 说明：消去律也可以定义群 设 G 是有限半群，且不含零元.若 G 中成立消去律，则 G 是群. 证：设 G={a1=e,a2,…,an}，任取 aiG，
aiG ={aiaj |j=1,2,…,n} 由封闭性, aiGG, 假设|aiG|<n, 则存在 j,k 使得 aiaj=aiak, 根据消去律，aj=ak, 矛盾. 所以 aiG=G. 任取 ai,aj, ai,ajG ajaiG 方程 aix=aj 有解 同理，方程 yai=aj 有解.G 是群. 注：<Z5,>不是群，因为有 0；<Z+,>也不是群，无限.
只要证 s=q (at)q=(at)r/d=(ar)t/d=ep=e
s|q (at)s=e ats=e r|ts q|ps
q|s （p,q 互素） 分析：相互整除
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|a|=r, ak=e 当且仅当 r|k
关于群性质的证明题（续）
例 5 设 G 为有限群，x,yG, y 为 2 阶元，xe, 且 x2y=yx, 求|x|
（2）(a-1)r=e |a-1| 存在, 令|a-1|=t, 则 t|r. 同理 r|t. （3）假设 r>n, 令 G’={e,a,a2, …, ar-1}, 则 G’中元素两两不同，
否则与|a|=r 矛盾. 从而|G’|>n，与 G’G 矛盾.
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关于群性质的证明题
关于阶的几个重要结果
说明：此性质可以用于定义群. 设 G 是半群，如果对任意 a,bG，方程 ax=b 和 ya=b 在 G 中有 解，则 G 为群. 证：找右单位元和任意元素的右逆元.
任取 bG,方程 bx=b 的解记为 e. aG,yb=a 的解记为 c,即 cb = a.
ae = (cb)e = c(be) = cb =a e 为右单位元。
第十七章 群
主要内容
群的定义与性质
子群
循环群
变换群和置换群
群的分解
正规子群和商群
群的同态与同构
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群的直积
群的术语
平凡群：只含单位元的群 {e} 交换群：Abel 群 有限群与无限群
群 G 的阶：G 的基数，通常有限群记为|G| 元素 a 的 n 次幂
e
an
a
n1a
(a1 )m