控制理论专题：时滞相关鲁棒控制的自由权矩阵方法

时滞相关鲁棒控制的自由权矩阵方法
许多工程系统，如机械传动系统，流体传输系统，冶金工业过程以及网络控制系统，都存在着时滞现象，而且时滞常常是造成系统不稳定的一个重要原因。

近年来，时滞系统的研究得到了许多学者的关注，主要包括时滞无关和时滞相关两类条件。

时滞无关的结论因为适用于任意大小的时滞，当时滞有界或者时滞比较小时，是相当保守的。

因此，考虑了时滞大小对系统稳定性和性能影响的时滞相关条件研究具有更重要的意义。

确定模型变换是近年来时滞相关研究的主要方法之一，其基本思想是通过牛顿－莱布尼茨公式对时滞项进行替换，将一个具有离散时滞的系统转化为一个具有分布时滞的新系统，再对这个新系统进行讨论。

最主要的模型变换方法有基于Park 和Moon 不等式的模型变换以及广义模型变换。

但是，这些模型变换等价于将一些具有固定权矩阵的基于牛顿－莱布尼茨公式的零式如
⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎰-t h t d T
ds s x h t x t x PA t x )()()()(2 , 加入到Lyapunov 泛函的导数中，具有很大保守性。

事实上，作为牛顿－莱布尼茨公式中各项的相互关系，用权矩阵来描述时应该有一个最优的选择，但在已有的方法中由于采用固定权矩阵(如上式中)(t x 这一项的权矩阵就是P A d ，而)(h t x -的权矩阵是0)，没有提供一个有效的选择方法。

我们通过引入自由权矩阵来表示牛顿－莱布尼茨公式中各项的相互关系[1]，也就是说，在基于牛顿－莱布尼茨公式的零式中，)(t x 和)(h t x - 等项的权矩阵用待定的自由权矩阵，即对于任意的合适维数的矩阵N 1 和N 2有：
[]
0)()()()()(221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⋅-+⎰-t h t T T ds s x h t x t x N h t x N t x , 将该项左边加入到Lyapunov 泛函的导数中。

由于N 1和N 2是自由的，其最优值可以通过线性矩阵不等式(LMI) 的解来获得。

因而，自由权矩阵方法相比采用确定模型变换的固定权矩阵方法，其意义在于：
1．使用自由权矩阵替代固定权矩阵，其最优值可通过LMI 的解来获得；
2．避免使用任何模型变换；
3．避免使用对Lyapunov 泛函的导数进行放大的任何不等式。

利用自由权矩阵方法，我们获得了具有时变时滞系统的时滞相关稳定条件，理论证明了利用确定模型变换的结论为其特殊情形[2]。

同时，利用表示系统方程相互关系的自由权矩阵方法，讨论了基于参数依赖Lyapunov 泛函的具有多项式
型不确定系统的鲁棒稳定条件[3]。

基于自由权矩阵方法，提出了在Lyapunov泛函中增广时滞项和积分项的方法，得到具有更低保守性的稳定性和镇定结论[4]。

更进一步，对于具有区间时变时滞的系统，通过保留在Lyapunov泛函导数中被忽略的信息，利用改进的自由权矩阵方法，得到了相应的稳定条件，并可推广到鲁棒镇定控制器的设计[5]。

但是，对于时滞控制系统，特别是具有时变时滞的控制系统，还没有有效的方法来获得其稳定或镇定的充分必要条件，而目前基于Lyapunov泛函的方法一般只能获得相应的充分条件。

虽然自由权矩阵方法对于一般Lyapunov泛函的导数几乎不经过放大处理，但是怎样寻找合适的Lyapunov泛函、从而获得相应系统的稳定或镇定的充分必要条件是目前控制界的一个难题，也是未来关于时滞控制系统研究的一个重要方向。

参考文献：
[1]He Y., Wu M. She J.H., Liu G.P. Delay-dependent robust stability criteria for
uncertain neutral systems with mixed delays. Systems & Control Letters, 2004, 51(1):57-65.
[2]Wu M., He Y., She J.H., Liu G.P. Delay-dependent criteria for robust stability of
time-varying delay systems. Automatica, 2004, 40 (8):1435-1439.
[3]He Y, Wu M, She JH, Liu GP. Parameter-dependent Lyapunov functional for
stability of time-delay systems with polytopic type uncertainties. IEEE Transactions on Automatic Control, 2004, 49 (5): 828-832.
[4]Wu M., He Y., She J.H. New delay-dependent stability criteria and stabilizing
method for neutral systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 2004, 49(12):2266-2271.
[5]He Y., Wang Q.G., Lin C., Wu M. Delay-range-dependent stability for systems
with time-varying delay. Automatica, 2007, 43 (2): 371-376.。