第2章地震信号频谱分析

用频率特征和时间特征描述系统的性质。
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第三节 地震波频谱的特征和应用
用频率特征和时间特征描述系统的性质。
1)频率特征
H () H () e j ( )
H () 为振幅特性和θ(ω)为相位特性
2)时间特征
观察系统对脉冲作用δ(t)的反应，用h(t)表示。
1 h(t ) 2



fs f
2
f s 时，有
fa f fs
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第三节 地震波频谱的特征和应用
四、线性时不变系统
在信号的传递过程中，所涉及的是一个信号系统，多 数情况下，以知道信号的激发(输入)和接收(输出)，中 间过程是未知的。 这个系统实质是一个滤波系统。
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第三节 地震波频谱的特征和应用
线性时不变系统具有如下的特点：
掌握干扰波出现的规律，在野外采集时选择仪器上合适的滤 波档，将其拒之门外。在室内处理时，有针对性地设计滤波 器，将其滤除，提高信噪比s/n。
三、采样定理和假频问题
1、采样定理
若采样频率为fs时，信号频率为f，则满足这样的条 件，即当采样频率fs大于信号频率f的2倍时，采集到的 离散信号才能完全恢复原来的连续信号。
二、线性叠加定理
设有N个函数 u1 (t ),u2 (t ),u N (t )
S1 (), S 2 (), S N () 分别是 u1 (t ), u 2 (t )u N (t ) 的频谱。
a1u1 (t ) a2 u 2 (t ) a N u N a1 S1 ( ) a2 S 2 ( ) a N S N ( )
第二章 地震信号的频谱分析
第一节 频谱分析概述
所谓频谱分析，就是利用付立叶方法来对振动信号进行分解并 进而对它进行研究和处理的一种过程。
一、频谱的基本概念 1、频谱(Spectrum):
一个复杂的振动信号，可以 看成是由许多简谐分量叠加 而成；那许多简谐分量及其 各自的振幅、频率和初相， 就叫做复杂振动的频谱。
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第一节 频谱分析概述
二、频谱的特征
付立叶分析理论，满足狄利克莱条件的任意周期函数，都 可以展成付立叶级数，也就是展成许多谐振动函数的和。
u (t ) u (t nT )
u (t ) an cos(n0t ) bn sin(n0t )
n 0
2 0 T
an u(t ) cosntdt
u(t ) S ( )e jt
五、褶积定理
u1 (t ) S1 ()
则有
u2 (t ) S2 ( )
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u1 (t ) * u2 (t ) S1 () S 2 ()

其中，褶积定义为：
u1 (t ) * u 2 (t ) u1 ( )u 2 (t )d
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第一节 频谱分析概述
将波(振动)以频谱方式表示称为频谱分析，频谱分析 在信号处理中是十分重要的工具。 振幅谱是以频率为横坐标、各频率谐波的振幅为纵坐 标绘出的曲线；相位谱则以各频率谐波的相位为纵坐 标绘出的图形。
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第一节 频谱分析概述
非周期函数的连续谱
当周期函数u(t)的周期T越大，基频ω减小，ω趋于零时 成为非周期函数，对应的频谱为谱。
H ( )e j ( ) d
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第三节 地震波频谱的特征和应用
滤波方程
若输入信号和相应的频谱为： 系统的时间响应和频率响应为：
x(t ) X ( ) h(t ) H ( )
通过系统后输出信号和相应的频谱为：
y(t ) Y ( )
则有
y(t ) x(t ) h(t ) Y ( ) X ( ) H ( )
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第三节 地震波频谱的特征和应用
五、频率滤波参数的选择
有效波与干扰波频谱不重叠时，滤波器中心频率应与 有效波主频相同； 通频带越窄，选择性越好，但分辨能力降低，只适用 于厚层的研究，反之亦成立； 地层变深，地震波主频降低，因此应采取时变滤波器； 应首先对地震资料进行频谱分析，做频率扫描，了解 有效波和干扰波的频谱规律，通过试验选取合适的滤 波器。
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地震勘探原理
第二章 地震信号的频谱分析
第一节 频谱分析概述 第二节 傅立叶展式的重要性质 第三节 地震波频谱的特征和应用
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信号的合成和分解
一个复杂的信号可以分解成不同 频率的正弦信号。
不是所有的信号都可以分解（哪 怕无限多个）简谐振动的。数学 上确立了确切的条件，即狄利克 莱（Dirichlet)条件。
如果u(t)是一个满足狄利克莱条件的非周期函数，它还 是可以表示为许多谐振分量的叠加。这些谐振动分量 的频率是连续分布的，得到的展开式不是级数，而是 积分，通常写成
1 u (t ) S ( )e jt d 2

S ( ) u(t )e jt dt


—付立叶变换
bn u(t ) sin ntdt
T 2 T 2
T 2 T 2
An cos(n0t n )
n 0

n
jn0t C e n
2 2
An a n bn
a bn Cn n 2
2
2
Cn Cn e
jn
n arctg(
bn ) an
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第一节 频谱分析概述
振幅谱的意义： —频率成分 —每个频率分量的幅度大小
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第一节 频谱分析概述 三、获取频谱的方法
用解析式给出，通过傅立叶变换求出。 已知图形，但不知具体函数f(t): （1）模拟信号—频谱分析仪 （2）数字信号——离散傅立叶变换或FFT 实际应用(地震)—根据需要开时窗，做FFT。

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第二章 地震信号的频谱分析
第三节 地震波频谱的特征和应用
一、各种地震波频谱的特征
1、与地震勘探有关的一些波的频谱特点
面波频率低（10-30Hz）； 反射波主频（30-50Hz），深层反射频率更低； 声波频率较高，大于100Hz； 工业交流电为50Hz左右的窄带。
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第三节 地震波频谱的特征和应用
1) 设输入 x1(t) 产生的输出为 y1(t) 。输入 x2(t) 产生的输出 为y2(t)，a、b为任意常数。如果输入a x1 (t)+b x2 (t)，恒 有输出为a y1(t) +b y2(t)则称这个系统是线性的。
2)设输入x(t) 产生的输出为 y(t)．如果对于任意 τ 值，输 入 x(t+τ) 所产生的输出为 y(t+τ) ，则称这个系统是时不 变的。
2、激发条件对地震波频谱的影响
药量大，频谱向低频方向移动； 岩石致密，频谱向高频方向移动。
3、不同类型的反射波频谱有差异
同一界面的反射纵波比反射横波频率较高，原因主要是横波 高频成分被吸收严重。
4、相同类型的反射波随传播 距离增加，频率降低
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第三节 地震波频谱的特征和应用
二、地震勘探中频谱的应用
a1 , a2 ,a N 为N个常数（可以是实数，也可以是复数）
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第二节 傅立叶展式的重要性质 三、时标变换定理
设
则
u(t ) S ( )
u(t / a) a S (a)
或
u(at) 1 S ( / a) a
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第二节 傅立叶展式的重要性质
四、时延定理
设τ是一个实值常量，而 则有 u(t ) S ()
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第一节 频谱分析概述 4、频谱的参数
主频ω0
——频谱极大值所对应的频率。
频宽Δω= ω2-ω1
——振幅谱等于最大值的0.707倍处的两个频率
值之间的宽度。
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第二章 地震信号的频谱分析
第二节 傅立叶展式的重要性质
一、唯一性定理
所谓唯一性是说u(t)和S(ω)是一一对应的。 用符号表示: u(t ) S ()
fs 2 f
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第三节 地震波频谱的特征和应用
2、假频(Alias) 某一频率的连续信号，在离散采样时，由于采样 频率小于信号频率的两倍，于是在连续信号的每一个 周期内取样不足两个，取样后变成另一种频率的新信 号，这就是假频。 假频的频率fa同采样频率为fs、信号频率为f之间 的关系是： 1
当
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