2020年广东中考高分突破课件：专题训练 第33讲阅读专题

∴BD2+AD2=AB2，
∴sin2A+cos2A=1．
3 （2）∵sinA= 5 ，sin2A+cos2A=1，∠A 为锐角，
∴cosA=
．
★随堂检测★
1.（2013 凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题： 材料：将二次函数 y=-x2+2x+3 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位， 求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）． 解：在抛物线 y=-x2+2x+3 图象上任取两点 A（0，3）、B（1，4），由题意知： 点 A 向左平移 1 个单位得到 A′（-1，3），再向下平移 2 个单位得到 A″（-1， 1）；点 B 向左平移 1 个单位得到 B′（0，4），再向下平移 2 个单位得到 B″ （0，2）． 设平移后的抛物线的解析式为 y=-x2+bx+c．则点 A″（-1，1），B″（0，2）
sinA= BD ， cosA= AD ， 则 sin2A+cos2A=
AB
AB
BD2+AD2=AB2，从而证明 sin2A+cos2A=1；
，再根据勾股定理得到
3 （2）利用关系式 sin2A+cos2A=1，结合已知条件 cosA＞0 且 sinA= 5 ，进行
求解．
3.解：∵sin30°=
1 2
（1）求 y 关于 x 的函数关系式（写出自变量 x 的取值范围）；
（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．
2.解：（1）∵汽车在每小时 70～110 公里之间行驶时（含 70 公
里和 110 公里），每公里耗油（ ）升．
∴y=x×（ ）= （70≤x≤110）；
2
则 1+3+32+33+34+…+3n= 1 （3n+1-1）．
2
2.（2013 珠海）阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形 式． 解：由分母为-x2+1，可设-x4-x2+3=（-x2+1）（x2+a）+b 则-x4-x2+3=（-x2+1）（x2+a）+b=-x4-ax2+x2+a+b=-x4-（a-1）x2+（a+b）
思路点拨：（1）设 S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以 2 后得到关系式，与已 知等式相减，变形即可求出所求式子的值； （2）同理即可得到所求式子的值．
1.解：（1）设 S=1+2+22+23+24+…+210， 将等式两边同时乘以 2 得 2S=2+22+23+24+…+210+211， 将下式减去上式得：2S-S=211-1，即 S=211-1， 则 1+2+22+23+24+…+210=211-1； （2）设 S=1+3+32+33+34+…+3n， 两边乘以 3 得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1， 下式减去上式得：3S-S=3n+1-1，即 S= 1 （3n+1-1），
2
2Байду номын сангаас
sin45°= 2 ，cos45°= 2 ，则 sin245°+cos245°=
2
2
sin60°=
3 2
，cos60°=
1 2
，则
sin260°+cos260°=
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A=
；① ；② ．③
．④
（1）如图，在锐角三角形 ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠
照题意，求出 a 和 b 的值，即可把分式 子为整数）的和的形式；
拆分成一个整式与一个分式（分
（2）对于 x2+7+ 当 x=0 时，这两个式子的和有最小值，最小值为 8，于
是求出
的最小值．
2.解：（1）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=（-x2+1）（x2+a）+b 则-x4-6x2+8=（-x2+1）（x2+a）+b=-x4-ax2+x2+a+b=-x4-（a-1）x2+（a+b）
在抛物线上．可得：
，解得： ．所以平移后的抛物线的解析式
为：y=-x2+2．
根据以上信息解答下列问题：
将直线 y=2x-3 向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，求平移后的直线的解
析式．
1.解：在直线 y=2x-3 上任取一点 A（0，-3），由题意知 A 向右 平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位得到 A′（3，-2）， 设平移后的解析式为 y=2x+b， 则 A′（3，-2）在 y=2x+b 的解析式上， -2=2×3+b， 解得：b=-8， 所以平移后的直线的解析式为 y=2x-8．
3 2
）2+（
1 2
）2=
3 4
+
1 4
=1．③
观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A=1．④
（1）如图，过点 B 作 BD⊥AC 于 D，则∠ADB=90°．
∵sinA=
BD AB
，cosA=
AD AB
，
∴sin2A+cos2A=（
BD AB
）2+（
AD AB
）2=
，
∵∠ADB=90°，
第四部分 专题训练
第33讲 阅读专题
★课堂精讲★
1.（2013 张家界）阅读材料：求 1+2+22+23+24+…+22013 的值． 解：设 S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以 2 得：
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得 2S-S=22014-1 即 S=22014-1 即 1+2+22+23+24+…+22013=22014-1. 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+210； （2）1+3+32+33+34+…+3n（其中 n 为正整数）．
∵对应任意 x，上述等式均成立，∴
，∴a=2，b=1
∴ 这样，分式
被拆分成了一个整式 x2+2 与一个分式 的和．
解答：
（1）将分式 的和的形式．
拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）
（2）试说明
的最小值为 8．
思路点拨：（1）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=（-x2+1）（x2+a）+b，按
解：y=2x+ x ≥2
=4．当且仅当 2x= x ，即 x=1 时，“=”成立．
当 x=1 时，函数取得最小值，y 最小=4．
问题解决：
汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时 70～110 公里之间
行驶时（含 70 公里和 110 公里），每公里耗油（
）升．若该汽车以每小时
x 公里的速度匀速行驶，1 小时的耗油量为 y 升．
A 证明你的猜想； （2）已知：∠A 为锐角（cosA＞0）且 sinA= 3 ，求 cosA．
5
思路点拨：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； ④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A=1； （1）过点 B 作 BD⊥AC 于 D，则∠ADB=90°．利用锐角三角函数的定义得出
（2）根据材料得：当 解得：x=90
时有最小值，
∴该汽车的经济时速为 90 千米/小时；
当 x=90 时百公里耗油量为 100×（
）≈11.1 升，
2.（2013 济宁）阅读材料：
若 a，b 都是非负实数，则 a+b≥2 ab ．当且仅当 a=b 时，“=”成立．
证明：∵（ a - b ）2≥0，∴a-2 ab +b≥0．
∴a+b≥2 ab ．当且仅当 a=b 时，“=”成立．
举例应用：
2 已知 x＞0，求函数 y=2x+ x 的最小值．
2
2
∵对应任意 x，上述等式均成立，∴
，∴a=7，b=1，
∴ 这样，分式被拆分成了
一个整式 x2+7 与一个分式
的和．
（2）由
=x2+7+
知，
对于 x2+7+ 当 x=0 时，这两个式子的和有最小值，最小值为 8，
即
的最小值为 8．
3.（2013 湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°= 1 ，cos30°= 3 ，则 sin230°+cos230°=
，cos30°=
3
2，
∴sin230°+cos230°=（ 1 ）2+（ 3 ）2= 1 + 3 =1；①
2
2
44
∵sin45°=
2 2
，cos45°=
2 2
，
∴sin245°+cos245°=（
2 2
）2+（
2 2
）2=
1 2
+
1 2
=1；②
∵sin60°=
3 2
，cos60°=
1 2
，
∴sin260°+cos260°=（