电磁感应定律

i
(v
B)
dl
d i
(vv
v B)
v dl
i
(v B) dl
L
结论：动生电动势的本质是洛伦兹力, 洛伦兹力是形成动生电动势的非静电力
二 动生电动势的计算
例11.3 在匀强磁场 B 中，长 R 的铜棒绕其一端 O 在垂直于 B 的
平面内转动，角速度为
求 棒上的电动势 解 动生电动势
4. 一矩型线框长为 a 宽为 b ，置于均匀磁场中，线
框饶 00’轴，以匀角速度 旋转 （如图所示），设 t
= 0 时，线框平面处于纸面内，则任一时刻感应电
动势为： abB cost .
b0
d d [BS cos( t)]
dt dt
2
a
B
Bab d sin t
dt
0’
abB cost
v
Ñ D
dsv
q0
位移电流和传导电流以相 同的规律激发磁场
v
Ñ B
dsv
0
Ñ v
ÑL E
r H
L
v dl
r dl
v
S
B t
dsv
v
S
jc
v D t
v dS
vv
D E
vv
HB
vv
j E
一、选择题
1．用线圈的自感系数L来表示载流线圈磁场的能量 公式
Wm
1 2
LI 2
（A）只适用于无限长密绕螺线管； （B）只适用单匝线圈； （C）只适用一个匝数很多，且密绕的螺线环； （D）适用于自感系数L一定的任意线圈。
解 设长直导线通电流 I
b
I
dΦ
B
ds
I
ldx
2π x
d
o x dx
l Φ db I ldx d 2π x
x
Il ln(b d )
2π d
2020/5/18
M Φ l ln(b d )
I 2π d
§11-5 磁场能量与磁场能量密度 一 磁场能量
磁场能量密度
1 wm 2 BH
B H
第十一章 电磁感应
• 电磁感应的基本规律（重点） • 动生电动势（重点） • 感生电动势 （重点） 涡旋电场 • 自感与互感 • 磁场能量与磁场能量密度 • 位移电流 麦克斯韦方程组
2020/5/18
§11-1 电磁感应的基本规律 一 电磁感应现象
1 电磁感应现象
当一闭合回路所包围的面 积内的磁通量发生变化时，回 路中就产生电流，这种电流被 称为感应电流，这一现象被称 为电磁感应现象
/
2)
OD
DC
CO
DC
hL dB 2 dt
§11-4 自感与互感 一 自感
自感系数 I(t) B(t) (t)
m N LI
m B I
B
L—自感系数 与线圈大小、
形状、周围介质的磁导率有关；
I
与线圈是否通电流无关
线圈反抗电流变化的能力, 一种电惯性的表现
3、 自感电动势 B I
例11-12 一由 N 匝线圈绕成的螺绕环，通有电流 I ，其中充有
均匀磁介质
I
Leabharlann Baidu求 磁场能量Wm
解 根据安培环路定理,螺绕环内
H NI 2π r
B 0r NI
2π r
R2 • R1 O
wm
1 BH 2
1 2
0r N 2I 2
4π 2r 2
取体积元
dV 2π rhdr
h
Wm
V wmdV
N匝相同线圈串联组成回路,若通过
每个线圈的磁通量相同
B
N d dN
dt
dt
NΦ 称为线圈的磁通链数
若闭合回路中电阻为R
Ii
R
NdΦ Rdt
dqi dt
产生的
感应电荷
qi
t2 t1
Iidt
Φ2 N dΦ R Φ1
N
Φ1 Φ2
/R
三 法拉第电磁感应定律的应用
例11-1 直导线通交流电 置于磁导率为 的介质中,已知:
Ñ v
H
L
v dl
Is
Ic
d D
dt
安培环路定理
注意：
H dl
L
(
s
jc
D t
)
ds
传导电流 位 移 电 流
（1）全电流是连续的；
密度
密度
（2）位移电流和传导电流一样激发磁场；
（3）传导电流产生焦耳热，位移电流不产生焦耳热.
3 麦克斯韦方程组的积分形式
（Maxwell equations）
[ D]
3. 一铜条置于均匀磁场中，铜条中电子流的方向如 图所示，试问下述哪一种情况将会发生？ （A）在铜条上 ab 两点产生一小电势差，且Ua > Ub， （B）在铜条上 ab 两点产生一小电势差，且Ua < Ub， （C）在铜条上产生涡流，
（D）电子受到洛伦兹力而减速。
[A ]
a
b
B F洛
a
b
2π l
dx
dΦ dt
0 Ib
2π
dl / l
dt a
dl
/ l
dt
（方向顺时针方向）
0Iabv
2πl0 (l0 a)
电动势
I
定义
将单位正电荷从电源负极推向电源
正极的过程中，非静电力所作的功
A B FK
AK
q
电源
• 表征了电源非静电力作功本领的大小 uAB uA uB
• 反映电源将其它形式的能量转化为电 能本领的大小
R2 R1
0r
8π
N 2I 2r 2
2
2π
rhdr
N 2I
4π
2h
ln
R2 R1
§11-6 位移电流
麦克斯韦假设 电场中某一点位移电流密度
等于该点电位移矢量对时间的变化率.
位移电流密度 位移电流 Id
jd
S
v jd
D t
dsv
S
v D t
dsv
d D
dt
-
Id
+ +
-+
- + Ic
全电流 Is Ic Id
I
N
S
2 楞次定律
回路中感应电流的方向， 总是使感应电流所激发的磁 场来阻止或补偿引起感应电 流的磁通量的变化。
二 法拉第电磁感应定律
导体回路中感应电动势 的大小与 穿过回路的磁通量的变化率成正比
i
d dt
i
k
d dt
式中 k 是比例常数，在(SI)制中 k =1
I
N S
I
N S
dΦ
n
dt
求管外的感应电场。
rR
i L Ek dl Ek 2π r
B πR2cos0 t
Ek
R2 2r
B t
(r R)
r
O R
例11-7 一被限制在半径为 R 的无限长圆柱内的均匀磁场 B ， B
均匀增加，B 的方向如图所示。
求 导体棒ON、CD的感生电动势 解 方法一(用感生电场计算):
B Ek
t
nˆB
12-19 如图，一金属棒弯成一圆环，但留有空隙，在 环内一均匀磁场局限在半径为的区域，并垂直纸面向 里，磁感应强度随时间均匀增大，空隙处静电场强度
的方向为_P______Q_，空隙处感应电场强度的方向为 _P______Q_。
-+
• 练习11-3，4，5，6，8，9，10，11，13， 16，19，20，22，27，28，29，35，36， 37，44
2
l
例11-2 在无限长直载流导线的磁场中，有一运动的导体线框， 导体线框与载流导线共面，求线框运动到距导线距离
为 l0 时的电动势。 解 通过面积元的磁通量
dΦ BdS 0 I bdx
2π x
Φ dΦ la 0 I bdx l 2π x
I l
x
a v b
0 Ib ln l a
设内一部个磁半场径强为度R为的B长，直若载流B/螺t 为线大管于，零
的恒量。求管内、外的感应电场。
解：
L
Ek
dl
S
B
dS
t
rR
r
i L Ek dl
Ek
dl
L
O R
Ek 2π r
Bπ r2 cos0
t
B πr 2 t
Ek
r 2
B t
(r R)
r B
Ek
2
t
(r R)
Φ
0
（1）负号表示感应电流的效果总是 反 抗引起感应电流的原因 —— 楞次定律
n Φ 0
N
+
L
dΦ 0 0
dt
N+
L
dΦ 0 dt
0
（2） Φ 是通过回路的磁通量，dΦ代表的意义？
rr
与 dm B dS 有何区别？
* 只要闭合导体回路磁通量发生变化就有感应电动势。
（2）N匝线圈串联时的法拉第电磁感应定律
i
A(v
B)
dl
O
B v
O l dl A
R
R
vBdl
R
lBdl
O
O
BR2
2
方向 A O
例11-4 如图金属杆AB以速度v 平行于长直载流导线 运动。 已知导线中的电流强度为I .
求：金属杆AB中的动生电动势。
解：d i
(vv
v B)
dxv
vBdx
B 0I
I
v
2x
x
i L di L Bvdx
L
dm dt
d LI
dt
L
L
dI dt
(1)式中的负号表示自感电流反抗线圈中电流变化
(2)L越大对同样的电流变化自感电流就越大即回路 中电流越难改变
4、 自感系数的计算 假设电路中流有电流 I , IB ，再计算 L= /I
例11-8求单层密绕长直螺线管的自感
已知 l、 N、S、
解: 设回路中通有电流 I
0Iv dL dx
2 d x
i
0Iv ln 2
d
d
L
d
dx
L
X
作业：P103 11-3,4,5
§11-3 感生电动势 涡旋电场
一 感生电动势
感生电场（涡旋电场） *麦克斯韦的假设：变化磁场在其周围激发一种电场， 这种电场就称为感生电场
i L E感 dl S
B
dS
t
例11-6 求轴对称分布的变化磁场产生的感应电场
I I0 sin t , 其中 I0 和 是大于零的常数
求：与其共面的矩形回路中的感应电动势
解：
rr
B dS Bds
S
S
la
l
I bdx 2 x
Ib 2
ln
l
l
a
x
I
l
L
ds
b
a
I0b sint ln l a
2
l
o
x
i
d dt
0 r I0b cos t ln l a
O dl N
r dB Ek 2 dt (r R)
Nr r
ON O Ek dl 0
R rh
C
D
CD
D C Ek dl
D
C Ekcosdl
L r dB h dl hL dB o 2 dt r 2 dt
方法二(用法拉第电磁感应定律): (补顺时针回路 ODCO)
i
CD
ddΦt hLddB(BLdth 2 dt
B nI
Ψ m NBS
n N l
I
Ψm
N2 l
SI
L Ψ m N 2 S n2V
I
l
L仅与回路、介质有关
二 互感
线圈1内电流的变化，引起线圈2内的电动势
I1 t B1 t 21 t 21
21 B1 I1
12
互感电动势
N 221 M21I1 N112 M12 I2
21
麦
电场
LE
dl
S
B t
dS
变化磁场可以 激发涡旋电场
克 斯
rr
Ñ S D dS qi i
电场是有源场
韦 方 程
H dl
L
(
s
jc
D ) t
ds
传导电流和 变化电场可 以激发磁场
组 磁场
B dS 0 S
磁感线是闭合的
第十一章 小结
一、法拉第电磁感应定律
i
N
dΦ dt
一. 动生电动势
i
dΦ dt
Blv
B
+
e v
l
f
-
直导线在均匀场中运动，三者相互垂直。
电子受洛伦兹力
f
e(v
B)
——
非静电力
FK
• 动生电动势的一般情况
+
1）非静电场强
v Fk
qvv
v B
r
r Ek
Fk q
B
Ek
v
r rr Fm qv B
2）动生电动势 Ek v B -
i EK dl
该式说明：变Er化i 的的方磁向场和激发Btr 感的应方电向场成左手旋关系
感生电动势的计算方法
i
d m
dt
Br r
i Ei dl A
四、自感应、互感应
L
N I
线圈周围没有铁磁质时其自感系数是常 数，仅取决于线圈自身的结构和介质。
L
L
dI dt
εL的方向总是阻碍原电流的变化
M N22 N11
非静电性场强
A
AK
B
FK
dl
EK
A
FK
/
q B EK dl
q
A
B EK dl
对闭 合电路EK dl
§11-2 动生电动势
两种不同机制
• 相对于实验室参照系，若磁场不变，而导体回路运动
（切割磁场线）— 动生电动势
•相对于实验室参照系，若导体回路静止，磁场随时间变 化—感生电动势
I1
I2
互感线圈周围没有铁磁质时其互感系数是常数，仅
取决于线圈的结构、相对位置和磁介质。
2
M
dI1 dt
1
M
dI2 dt
M、L的单位：H
五、磁场的能量
自感磁能:
Wm
1 LI 2
2
磁场能量密度:
wm
B2
2
1 H
2
2
1 BH 2
磁场的能量:
Wm V wmdV
六、麦克斯韦的电磁场理论
感应电场：变化的磁场激发感应电场 两个基本假设 位移电流：变化的电场产生位移电流
M
21
dI1 dt
12
M 12
dI 2 dt
N1 N2
互感系数 M12 M 21 M
21 M
dI1 dt
12
M
dI 2 dt
例 11-11 在磁导率为 的均匀无限大的磁介质中，一
无限长直导线与一宽、长分别为b 和 l 的矩形线圈共
面，直导线与矩形线圈的一侧平行，且相距为 d.
求二者的互感系数.
0 与所选回路正方向相同。 0 与所选回路正方向相反。
方向判断：楞次定律
二、动生电动势
产生动生电动势的非静电力是洛仑兹力.
计算方法
i
d m
dt
i
b
(v
B)
dl
a
三、感生电动势 感应电场
产生感生电动势的非静电力是感应电场力.
Ñ L
r Ei
r dl
S
B
dS
t
该式可计算高度对 称分布的感应电场