函数的连续性的例题与习题

函数的连续性的例题与习题
函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。

第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。

下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。

还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。

要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？
一．函数的连续
例（例（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）
设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。

证明：()f x 在任意点x 处连续。

分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。

其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么
在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。

你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。

在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =∆，那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0
lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。

证明的思路就此产生！
证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。

（#）
对于固定的x （任意的！），若取y x =∆，有
()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆， （+）
在（+）式两边取0x ∆→的极限，那么
lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ∆→∆→∆→∆=+∆-=∆ ， （&）
由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0
lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=，代入（#）的结果，就有
lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ∆→∆→+∆=∆==，
但从（&）知，0
lim lim ()x x y f x ∆→∆→∆=∆，所以
lim 0x y ∆→∆=。

根据函数连续的定义E ，()f x 在任意点x 处连续。

你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。

很多同学的数学只会“代公式套题型”，所以做计算题还可能对付一下。

其实计算也并不轻松。

例（例（一））设常数0a ≠，212(1)1()lim 1
n n n n n x a x f x x ax +→∞+--=--，求()f x 的分段表达式，欲使()f x 连
续，试确定a 的值。

分析：首先要注意，函数()f x 不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形
式来表示一个函数。

所以它要求先写出()f x 的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定参数a 的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。

这里需要计算极限的基本功。

()f x 中出现了几个幂函数 221
,,n
n
n x x x
+，根据幂函数的性质，x 的大小对幂函数的变化趋势有
根本性的影响，所以要分为||1,||1,1,1x x x x <>==-进行讨论。

所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。

（1）||1x <： 221
,,n
n
n x x x
+都趋于零（当n →∞时），所以
1
()11
f x -==-。

（2）||1x >： 此时221
,,n
n
n x x x +都将趋于无穷大。

为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应
的部分，来简化函数()f x ：
2112122(1)
11()lim
11n n n n n n n a x x x f x x a x x
x +++→∞-⎛⎫++ ⎪
⎝⎭==⎛
⎫-- ⎪
⎝⎭。

（3）1x =： 11()a a
f x a a
--=
=
-； （4）1x =-： 1(1)(1)12(1)(1)()lim lim 1(1)1(1)n n
n n
n n a a f x a a →∞→∞-+----+--==-----， 极限不存在。

故得 ,11,1()1,||1,
1
x x a x f x a
x x x >⎧⎪-⎪=⎪
=⎨⎪<⎪<-⎪⎩。

欲使()f x 连续，即使()f x 在1x =连续，等价于11a a -=，故1
2
a =。

例 （例（一））证明连续函数的局部保号性：设()f x 在0x x =处连续，且0()0f x >，那么存在0δ>，
当0||x x δ-<时，()0f x >。

分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值也是正的，不会取负值。

这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。

证明的过程很容易很简单，其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。

证明：因为()f x 在0x x =处连续，所以对任给的0ε>，总存在0δ>，使得当0||x x δ-<时，恒有
0|()()|f x f x ε-<，也就是 0()()f x f x εε-<-<。

（+）
若取 0()0f x ε=>，在（+）式中取左边的那个不等式，就有 ()0f x >； 若取01()02f x ε=
>，那么就有 01
()()2
f x f x >。

（不过，此时的0||x x δ-<中的δ要变小） 当然，你也可以取不同的0ε>，当然δ要变。

如果我们只需要证实()f x 的值为正，那么取0()0f x ε=>就已经够了。

例（例（一）） 设()f x 在区间[,]a b 上连续并大于零，证明
1
()
f x 在[,]a b 也连续。

分析：我们需要证明的是：在[,]a b 上任取点0x ，对任给的0ε>，存在一个0δ>，使当0||x x δ-<时， 有
011
()()
f x f x ε-<。

直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！）：
002
000|()()|2|()()|11
()()()()()
f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<< 注意，上面第一个不等号是因为我们在例中，已经证明了在0x 的一个邻域中有01
()()2
f x f x >！ 至此，一个完整的证明思路就形成了。

证明：对任一0[,]x a b ∈，0()0f x >，0x 是()f x 的连续点。

由局部保号性，存在0x 的邻域01(,)N x δ，使得01
()()2
f x f x >。

所以在这个邻域中，
002
000|()()|2|()()|11
()()()()()
f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---=<； 由()f x 在区间[,]a b 上的连续性知，对于任给0ε>，存在20δ>，使得当02||x x δ-<时，有
200()
|()()|2
f x f x f x ε-<。

我们取12min(,)δδδ=，那么在这个更小的邻域中，（即0||x x δ-<）有
002000|()()|2|()()|11
()()()()()
f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<<， 则有函数的连续的定义知， 0x 是函数1()f x 的连续点；又由0x 的任意性，得1
()
f x 在区间[,]a b 也连续。

例 确定,a b 之值，使函数2
1,0()sin(),0
x e x f x ax b x -⎧⎪>=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续。

解：在0x >和0x ≤两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。

所以，要使()f x 在整个实数域中连续，只需确定在0x =的连续性条件。

()f x 在0x =有定义，所以我们只需考虑它在0x =的极限。

0
lim ()lim sin()sin x x f x ax b b --
→→=+= 2
2
2
11
1
1
1
lim ()lim lim 0lim x x x x x
x
x f x e e e +-
-
-
-
→→→→===
=；
由此得方程 sin 0b =， 容易解得： ,0,1,2,b k k π==±±L ，
而对参数a ，连续性条件对它没有任何限制，所以a 可取任何实数。

例 设,0(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩
，,
1()1
b x g x x <⎧⎪=≥，求,a b 之值，使()()f x g x +在实数域上
连续。

解：两个函数的定义域不同，所以它们之和()()f x g x +这个新函数的定义域需要加以明确。

显然，需要考虑3个区间：0,01,1x x x <≤<≥：
,0
()(),
01,1
x e b x f x g x a x b x a x x ⎧+<⎪
+=++≤<⎨+≥。

现在可以对2个分界点0,1x x ==处的连续性条件做研究了（定义问题已经解决）：
lim(()())lim()1x
x x f x g x e b b --
→→+=+=+， 0
lim(()())lim()x x f x g x a x b a b ++
→→+=++=+， 故有方程 1a b b +=+， （1） 又 1
1
lim(()())lim()1x x f x g x a x b a b --
→→+=++=++，
11
lim(()()))1x x f x g x a x +
→+
→+=+=+，
又有方程
11a b a ++=+， （2）
联立（1）（2），解得
1,a b ==。

练习题1 设()f x 满足条件：12,x x ∀，有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且()f x 在0x =处连续。

求证()
f x 在整个实数域连续。

练习题2 设,1(),1x x f x a x <⎧=⎨≥⎩，,0
()1,0
b x g x x x ≤⎧=⎨+>⎩，求,a b 之值，使()()f x g x +在实数域上连
续。

二．函数的间断点
这里的基本概念是间断点的类型和分类。

请自己整理整理的内容。

例 考察函数 1arctan ,0()0,
0x f x x
x ⎧
≠⎪
=⎨⎪=⎩ 的间断点，判别其类型。

解： 函数在0x =有定义，但是 (0)arctan()2
f π
+=+∞=
，(0)arctan()2
f π
-=-∞=-
，所以在0
x =的左，右极限虽然存在，但不相等，故属于跳跃间断点（第一类）。

例 考察函数11
sin ,0
()0,0x e x f x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 的间断点，判别其类型。

解：函数在0x =有定义，但1
1(0)lim sin x
x f e x +
+
→=不存在，这是因为1,1,2,n x n n π
==L 时，0n x +→，1
sin
n
x 不存在； 又101(0)lim sin 0x
x f e x --
→==，这是因为1sin x
在极限过程中是有界量，1
0lim lim 0u x
u x e e -→-∞→==。

所以 0x =是函数的第二类间断点。

例 求下列函数的间断点，确定其类型，瑞为可去间断点，则请补充定义，使它连续。

（1）2cos
2(1)x
y x x π
=-； （2）111111x x y x x
-
+=--。

解：（1） 0,1x x ==都是使函数y 没有定义的点，故是间断点。

由于 22000cos
cos
122lim lim lim (1)(1)x x x x x
x x x x π
π
→→→==-∞--，所以0x =是函数的无穷间断点（第二类）。

又 22111cos
sin
(1)
(1)
222lim lim lim (1)(1)(1)2
x x x x x x x x x x x π
π
π
π→→→--=-=-=----，
是个确定的值，极限存在，所以1x =是可移去间断点，加以补充定义：
2
cos 2,1(1),
12
x x x x y x ππ
⎧
⎪≠⎪-=⎨⎪-=⎪⎩
后函数在1x =连续。

但是要注意的是，0x =仍然是函数的无穷间断点（第二类），函数在0x =仍然间断。

（2）显然，1,0,1x =-+是使函数没有定义的点，所以是间断点。

111111
(1)(1)
1lim ()lim lim lim 11(1)(1)
1x x x x x x x x x f x x x x x x
→-→-→-→--
--+====∞++--， 故 1x =-是无穷间断点（第二类）。

000011
(1)(1)
1lim ()lim lim lim 111(1)(1)
1x x x x x x x x x f x x x x x x
→→→→-
--+====-++--， 故 0x = 是可去间断点（第一类），补充定义 (0)1f =-后，函数在0x =连续。

1
1
1(1)(1)
lim ()lim
lim 0(1)(1)
x x x x x x f x x x x →→→--===++， 可见 1x = 也是可去间断点（第一类），补充定义 (1)0f =后，函数在1x =连续。

例 讨论下列函数的间断点：
（1） 1111x
y e
-=
+； （2）23,0sin 3,0x x y x x x
⎧+<⎪
=⎨>⎪
⎩。

解：（1）1x = 使函数无定义（对
1
1x
-无定义，故函数本身也无定义），故为间断点。

1
1
11lim 01x x
e
-
→-=+， （因为 111
lim x
x e -
-→=∞）
11
11lim 11x x
e
+
→-=+， （因为1
11
lim 0x
x e e +
-∞-→=→）
左，右极限存在，却不相等，故1x =是跳跃型间断点（第一类）。

（2）0x =处没有定义，故为间断点。

2
lim lim(3)3x x y x --
→→=+=， 0
0sin 3sin 3lim lim lim 333x x x x x
y x x
++
+
→→→==⋅=， 可见，0x =处函数的左，右极限都存在，且相等，故0x =是可去间断点（第一类）。

例 根据,αβ的不同数值，讨论()f x 在0x =处的连续性，若间断，判别属于何种间断点：
1sin ,0
(),0
x x x f x x
e x α
β⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩。

解： 0
0,
01lim ()lim sin 0x x f x x x α
αα++
→→>⎧==⎨
≤⎩
不存在，， （请你讲出理由） 0
lim ()lim()1x
x x f x e ββ--
→→=+=+， 且 (0)1f β=+
所以，当0α>，且 1β=-时，()f x 在0x =的左，有极限存在且相等，并等于函数值，故函数在0x =连续；
当0α>，且1β≠-时，()f x 在0x =间断，左，右极限存在但不相等，故属于跳跃间断点； 当0α≤时，()f x 在0x =左连续，右间断，故0x =属于第二类间断点。

例 （1998年考研题数二）求函数 tan()
4
()(1)
x
x f x x π
-=+在区间(0,2)π内的间断点，并判别其类型。

解： 当3,
4
22x π
ππ
-
=
时，使tan()4
x π
-
成为无穷大，没有定义，故37,44
x ππ
=
是()f x 的间断点； 因为 34
lim
0tan()
4x x x ππ
→
=-， 故 34
lim ()1x f x π→
=；
74
lim
0tan()
4
x x x ππ
→
=-， 故 34
lim ()1x f x π→
=，
所以，在间断点37,44
x ππ
=，函数()f x 的极限存在，是第一类间断点。

又因当0,4x π
π-
=时，tan()04x π
-=，使得
tan()4
x x π-没有定义，从而函数()f x 在这些点没有定义，因此5,44
x ππ
=也是函数()f x 的间断点。

4
lim
tan()
4
x x x π
π
→
=∞-， 故 4
lim ()x f x π
→
=∞；
54
lim
tan()
4
x x x ππ
→
=∞-， 故 54
lim ()x f x π→
=∞
所以，间断点5,44
x ππ
=属于第二类间断点。

例 （2001年考研题数二）求极限 sin sin sin lim sin x t x
t x t x -→⎛⎫
⎪⎝⎭
，记此极限为()f x ，求出()f x 的间断点，并指出
其间断点的类型。

分析：本题不是单纯讨论间断问题，首先要计算一个极限，得出函数()f x 。

解： sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin lim lim 11lim 1sin sin sin x x x
t x
t x
t x
t x t x
t x t t t x x x x ---→→→-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=+-=+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝
⎭
至此，可以看出这是一个1∞型的极限。

这是我们已经很熟悉的问题了，做下去——
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin lim 1lim 1sin sin x
x x
t x
t x x
t x t x t x t x x x ⋅
--→→--⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭sin ()x x
e
f x ==。

所以下面我们讨论函数 sin ()x x
f x e
=的间断点。

显然，使sin 0x =的点x 是使得()f x 没有定义的点，即,0,1,2,x k k π==±±L 是()f x 的间断点。

因为 0
0lim ()lim
1sin x x x
f x x
→→==，
lim ()lim
,1,2,sin x k x k x
f x k x
π
π→→==∞=±±L ，
所以，0x =是第一类间断点，而,1,2,x k k π==±±L 是第二类间断点。

练习题3 设2tan ,01,0arcsin 2
x x ae x e y x x ⎧≤⎪⎪
-=⎨>⎪⎪⎩ 在0x =处连续，求参数a 之值。

练习题4 设()bx x
f x a e
=
+在(,)-∞+∞上连续，且 lim ()0x f x →-∞=，则常数应满足（ ）： A ．0,0a b <<； B. 0,0a b >>; C. 0,0a b ≤>; D. 0,0a b ≥<.
练习题5 （1995年考研题数二） 设()f x 和()g x 在(,)-∞+∞上有定义，()f x 为连续函数，且()0f x ≠， ()g x 有间断点，则（ ）
： A ． (())g f x 必定有间断点； B. 2
[()]g x 必定有间断点； B ． (())f g x 必定有间断点； D.
()
()
g x f x 必定有间断点。

（请你举出例子来验证你的结论）
练习题6 （1998年考研题数四）设函数21()lim
1n
n x
f x x →∞+=+，讨论()f x 的间断点，结论为（ ）
A ．不存在间断点； B. 存在间断点1x =； C. 存在间断点0x =； D. 存在间断点1x =-。