灰色预测模型原理分解
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1）累加生成 通过数列各时刻数据的依个累加以得到新的数据与数列，记为AGO（ Accmulating Generation Operator ）。
设x
(0)
为原始序列,x
(0)
[x
(0)
(1), x
(0)
(2),
,x
(0)
( n )], 令
k (0) (1) x ( k ) x ( i ); k 1,2, , n i 1
将
x (k ) az (k ) u
(0) (1)
移项并展开得
1 (1) (1) ( x (1) x (2)) 1 2 (0) x (2) (0) 1 (1) (1) ( x (2) x (3)) 1 x (3) 2 (0) x ( n) 1 (1) (1) ( x ( n 1) x ( n)) 1 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
四、灰色预测模型——GM(1.1)
2、建模机理
灰色系统理论是基于关联空间。光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分 方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型。
设非负原始数列
x (0) x (0) (1), x (0) (2),
对其作一次累加，得到生成数列
, x (0) ( n)
, X 0 ( n) 为参考序列, , m为比较序列,
, X i ( n) , i 1, 2,
ij
minmin X 0 ( j ) X i ( j ) maxmax X 0 ( j ) X i ( j )
i j i j
X 0 ( j ) X i ( j ) maxmax X 0 ( j ) X i ( j )
(r ) (r )
四、灰色预测模型——GM(1.1)
3） 均值生成 均值生成分为邻均值生成与非邻均值生成两种，这里介绍邻均值生成。
设原始数列x (0) [x (0) (1), x (0) (2), ,x (0) ( k 1), x (0) ( k ), ,x (0) ( n )]
则称 x (0) ( k -1)与x (0) ( k )为数列x (0) ( k )的邻值，前者为后邻值，后者为前邻值。
灰色预测模型原理
一、概念明晰——灰色系统
1、定义
灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的 不确定性系统。
两个极端：
1）黑色系统：信息完全未确定的系统。 2）白色系统：信息完全确定的系统 2、特点 1）用灰色数学处理不确定量，使之量化。
2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律。
i j
式中，分辨系数 [0, ), 一般取 =0.5。 min min X 0 ( j ) X i ( j ) 为两级最小差，
i j
max max X 0 ( j ) X i ( j ) 为两级最大差。
i j
四、灰色预测模型——GM(1.1)
关联度的定义
由于各个时刻都有一个关联系数，计算结果信息较为分散，不便于比较， 为此，定义
对于常数 [0,1] ，称
z
(0)
(k ) x
(0)
( k ) (1 ) x
(0)
(0) ( k 1) 为数列x 的邻值在生成系数 下的邻值生成数。
特别地，当 = 0 .5时，称 z (0) ( k )=0.5 x (0) ( k ) 0.5 x (0) ( k 1)为邻均值生成数即等邻值生成数。
令
则定义GM（1,1）的灰微分方程模型为
dx(1) (k ) az(1) (k ) u
即
x(0) (k ) az(1) (k ) u (*)
x z (0) ( k ) 称为灰导数，a 称为发展系数，
其中，
(1)
( k ) 称为白化背景值，u称为灰作用量
四、灰色预测模型——GM(1.1)
计算残差
ˆ (0) (n)] ,x
E [e(1), e(2),
ˆ (0) , e(n)] X (0) X
,n
ˆ (0) (k ), k 1, 2, 其中, e(k ) x(0) (k ) x
四、灰色预测模型——GM(1.1)
计算相对误差
e( k ) rel (k ) (0) 100%, k 1, 2, x (k )
则称x
(1)
(0) (1) (1) (1) (1) 为x 的一次累加生成，数列x , x [ x (1), x (2),
,x
(1)
( n )]
称为一次累加生成数列。
类似地有r次累加生成
k ( r 1) ( r ) x ( k ) x (i ) i 1
四、灰色预测模型——GM(1.1)
二、概念明晰——灰色系统理论
2、研究的内容
灰色系统理论经过20年的发展，已基本建立起一门新兴的结构体系，其研 究内容主要包括： 1）以“灰色朦胧集”为基础的理论体系，如灰色系统建模理论、灰色系统 控制理论 2）以晦涩关联空间为依托的分析体系，如灰色关联分析方法 3）以灰色模型（G，M）为核心的模型体系，如灰色预测方法 4）以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系
1 n (0) 1 n 其中, x x ( k ), e e( k ) n k 1 n k 1
四、灰色预测模型——GM(1.1)
计算后验差比
计算小误差概率
C S2 / S1
p P e(k ) e 0.6745 S1
指标C越小越好，p 越大越好。一般地，将模型精度等级分为四级，见表1 表1 精度检验等级参照表
2）累减生成
对原始数据列依次作前后相邻的两个数据相减的运算过程，记为IAGO（ Inverse Accumulated Generating Operation ）。累减生成可将累加生成还原成 非生成数列。
设x
(1)
为原始序列,x
(1)
[x
(1)
(1), x
(1)
(2),
,x
(1)
( n)], 令
(1) (1)
(1)
还原到原始数据得
ˆ (0) ( k 1) x ˆ (1) ( k 1) x ˆ (1) ( k ) x ˆ ak u ˆ a (1) (1 e )[ x (1) ]e ˆ ˆ a
(2)
式（1）（2）称为GM（1,1）模型的时间响应函数模型，是GM（1,1）灰色预 测的具体计算公式。
1 n ri ij n j 1
x (1) x (1) (1), x (1) (2),
其中, x (1) ( k )
, x (1) ( n)
x( i )
i 0
k
四、灰色预测模型——GM(1.1)
定义
x (1)的灰导数为
dx(1) (k ) x(0) (k ) x(1) (k ) x(1) (k 1) 1 (1) (1) z ( k ) ( x ( k ) x (1) ( k 1)) k 2, 3, ..., n 2
四、灰色预测模型——GM(1.1)
1 (1) (1) ( x (1) x (2)) 1 2 (0) x (2) (0) 1 (1) (1) ( x (2) x (3)) 1 x (3) 令Y ,B 2 (0) x ( n) 1 (1) (1) ( x ( n 1) x ( n)) 1 2
模型的精度级别= Max p的级别, C的级别
四、灰色预测模型——GM(1.1)
3）关联度检验法 关联度分析法是根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素之间 关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。 关联系数的定义
设X 0 X 0 (1), X 0 (2), X i X i (1), X i (2), 则X 0与X 1的关联系数为 :
四、灰色预测模型——GM(1.1)
3、精度检验 三种方法：相对误差大小检验法、后验差检验法、关联度检验法 1）相对误差大小检验法
ˆ (1) , 并将X ˆ (1)做一次累 设按GM (1.1)建模法已求出X ˆ ( 0) , 即 减转化为X
ˆ (0) [ x ˆ (0) (1), x ˆ (0) (2), X
3）能处理贫信息系统。
二、概念明晰——灰色系统理论
1、创立与发展
我国学者邓聚龙教授于19世纪80年代初创立并发展，把一般系统论，信息论 和控制论的观点和方法延伸到社会，经济，生态等抽象系统，是结合运用 数学方法发展的一套解决灰色系统的理论和方法。
20多年来，引起了国内外学者的广泛关注。灰色系统理论已成功应用到工 业，农业，社会，经济等众多领域，解决了生产，生活和科学研究中的大 量实际问题。
四、灰色预测模型——GM(1.1)
GM（1,1）的白化型
对于x (0) ( k ) az (1) ( k ) u，若将x (0) ( k )的时刻k 2, 3, ..., n视为连续的 变量t , 则数列x (1)就可视为时间的函数，记为x (1) =x (1) ( t )，并让灰导数x (0) ( k ) dx (1) 对应于导数 , 背景值z (1) ( k )对应于x (1) ( k ), 则得到GM (1,1)的灰微分方程 dt 对应的白微分方程: dx (1) ax (1) u dt 称之为GM (1,1)的白化型。
灰色规划方法、灰色决策方法等。
三、灰色预测
1、 类型 常用的灰色预测有以下五种 1）数列预测：用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模 型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 2）灾变与异常值预测：通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区内。 3）季节灾变与异常值预测：通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特 定的时区或季节的灾变预测。 4）拓扑预测：将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有 时点，并以该定值为框架构成时点序列，然后建立模型预测该定值所发生 的时点。 5）系统预测：通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型 ，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
[a
u]T 为待辨识参数向量, 则(*)可写成
Y B
四、灰色预测模型——GM(1.1)
由最小二乘法可求得参数向量
ˆ [a ˆ, u ˆ ]T ( BT B)1 BTY
将其带入方程，求出离散解为
ˆ ak ˆ u u ˆ ˆ ( k 1) [ x (1) ]e x ˆ ˆ a a
x
则称x (0)
(0)
(k ) x
(1)
(k ) x
(1)
( k 1)
,x (0) ( n )]
(1) (0) (0) (0) (0) 为x 的一次累减生成，数列x , x [ x (1), x (2),
称为一次累减生成数列。 一般地，有
x
( r 1)
(k ) x (k ) x (k 1)
四、灰色预测模型——GM(1.1)
1、数据生成
将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处理称为生成，目的在于从杂乱 无章的现象中去发现内在规律。
常用方法：累加生成、累减生成、均值生成
概念补充 1）原始数列：未作处理的数列 2）生成数列：按某种要求经过处理的数列
四、灰色预测模型——GM(1.1)
计算平均相对误差
,n
1 n rel rel ( k ) , n k 1
四、灰色预测模型——GM(1.1)
2）后验差检验法
ˆ (0)和残差，原始序列 设已按GM (1.1)建模法求出的X
2 2 X (0)及残差序列E的方差分别为S1 和S 2 ,则
n 1 S12 [ x (0) ( k ) x ]2 n k 1 n 1 2 S2 [e( k ) e ]2 n k 1
设x
(0)
为原始序列,x
(0)
[x
(0)
(1), x
(0)
(2),
,x
(0)
( n )], 令
k (0) (1) x ( k ) x ( i ); k 1,2, , n i 1
将
x (k ) az (k ) u
(0) (1)
移项并展开得
1 (1) (1) ( x (1) x (2)) 1 2 (0) x (2) (0) 1 (1) (1) ( x (2) x (3)) 1 x (3) 2 (0) x ( n) 1 (1) (1) ( x ( n 1) x ( n)) 1 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
四、灰色预测模型——GM(1.1)
2、建模机理
灰色系统理论是基于关联空间。光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分 方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型。
设非负原始数列
x (0) x (0) (1), x (0) (2),
对其作一次累加，得到生成数列
, x (0) ( n)
, X 0 ( n) 为参考序列, , m为比较序列,
, X i ( n) , i 1, 2,
ij
minmin X 0 ( j ) X i ( j ) maxmax X 0 ( j ) X i ( j )
i j i j
X 0 ( j ) X i ( j ) maxmax X 0 ( j ) X i ( j )
(r ) (r )
四、灰色预测模型——GM(1.1)
3） 均值生成 均值生成分为邻均值生成与非邻均值生成两种，这里介绍邻均值生成。
设原始数列x (0) [x (0) (1), x (0) (2), ,x (0) ( k 1), x (0) ( k ), ,x (0) ( n )]
则称 x (0) ( k -1)与x (0) ( k )为数列x (0) ( k )的邻值，前者为后邻值，后者为前邻值。
灰色预测模型原理
一、概念明晰——灰色系统
1、定义
灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的 不确定性系统。
两个极端：
1）黑色系统：信息完全未确定的系统。 2）白色系统：信息完全确定的系统 2、特点 1）用灰色数学处理不确定量，使之量化。
2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律。
i j
式中，分辨系数 [0, ), 一般取 =0.5。 min min X 0 ( j ) X i ( j ) 为两级最小差，
i j
max max X 0 ( j ) X i ( j ) 为两级最大差。
i j
四、灰色预测模型——GM(1.1)
关联度的定义
由于各个时刻都有一个关联系数，计算结果信息较为分散，不便于比较， 为此，定义
对于常数 [0,1] ，称
z
(0)
(k ) x
(0)
( k ) (1 ) x
(0)
(0) ( k 1) 为数列x 的邻值在生成系数 下的邻值生成数。
特别地，当 = 0 .5时，称 z (0) ( k )=0.5 x (0) ( k ) 0.5 x (0) ( k 1)为邻均值生成数即等邻值生成数。
令
则定义GM（1,1）的灰微分方程模型为
dx(1) (k ) az(1) (k ) u
即
x(0) (k ) az(1) (k ) u (*)
x z (0) ( k ) 称为灰导数，a 称为发展系数，
其中，
(1)
( k ) 称为白化背景值，u称为灰作用量
四、灰色预测模型——GM(1.1)
计算残差
ˆ (0) (n)] ,x
E [e(1), e(2),
ˆ (0) , e(n)] X (0) X
,n
ˆ (0) (k ), k 1, 2, 其中, e(k ) x(0) (k ) x
四、灰色预测模型——GM(1.1)
计算相对误差
e( k ) rel (k ) (0) 100%, k 1, 2, x (k )
则称x
(1)
(0) (1) (1) (1) (1) 为x 的一次累加生成，数列x , x [ x (1), x (2),
,x
(1)
( n )]
称为一次累加生成数列。
类似地有r次累加生成
k ( r 1) ( r ) x ( k ) x (i ) i 1
四、灰色预测模型——GM(1.1)
二、概念明晰——灰色系统理论
2、研究的内容
灰色系统理论经过20年的发展，已基本建立起一门新兴的结构体系，其研 究内容主要包括： 1）以“灰色朦胧集”为基础的理论体系，如灰色系统建模理论、灰色系统 控制理论 2）以晦涩关联空间为依托的分析体系，如灰色关联分析方法 3）以灰色模型（G，M）为核心的模型体系，如灰色预测方法 4）以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系
1 n (0) 1 n 其中, x x ( k ), e e( k ) n k 1 n k 1
四、灰色预测模型——GM(1.1)
计算后验差比
计算小误差概率
C S2 / S1
p P e(k ) e 0.6745 S1
指标C越小越好，p 越大越好。一般地，将模型精度等级分为四级，见表1 表1 精度检验等级参照表
2）累减生成
对原始数据列依次作前后相邻的两个数据相减的运算过程，记为IAGO（ Inverse Accumulated Generating Operation ）。累减生成可将累加生成还原成 非生成数列。
设x
(1)
为原始序列,x
(1)
[x
(1)
(1), x
(1)
(2),
,x
(1)
( n)], 令
(1) (1)
(1)
还原到原始数据得
ˆ (0) ( k 1) x ˆ (1) ( k 1) x ˆ (1) ( k ) x ˆ ak u ˆ a (1) (1 e )[ x (1) ]e ˆ ˆ a
(2)
式（1）（2）称为GM（1,1）模型的时间响应函数模型，是GM（1,1）灰色预 测的具体计算公式。
1 n ri ij n j 1
x (1) x (1) (1), x (1) (2),
其中, x (1) ( k )
, x (1) ( n)
x( i )
i 0
k
四、灰色预测模型——GM(1.1)
定义
x (1)的灰导数为
dx(1) (k ) x(0) (k ) x(1) (k ) x(1) (k 1) 1 (1) (1) z ( k ) ( x ( k ) x (1) ( k 1)) k 2, 3, ..., n 2
四、灰色预测模型——GM(1.1)
1 (1) (1) ( x (1) x (2)) 1 2 (0) x (2) (0) 1 (1) (1) ( x (2) x (3)) 1 x (3) 令Y ,B 2 (0) x ( n) 1 (1) (1) ( x ( n 1) x ( n)) 1 2
模型的精度级别= Max p的级别, C的级别
四、灰色预测模型——GM(1.1)
3）关联度检验法 关联度分析法是根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素之间 关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。 关联系数的定义
设X 0 X 0 (1), X 0 (2), X i X i (1), X i (2), 则X 0与X 1的关联系数为 :
四、灰色预测模型——GM(1.1)
3、精度检验 三种方法：相对误差大小检验法、后验差检验法、关联度检验法 1）相对误差大小检验法
ˆ (1) , 并将X ˆ (1)做一次累 设按GM (1.1)建模法已求出X ˆ ( 0) , 即 减转化为X
ˆ (0) [ x ˆ (0) (1), x ˆ (0) (2), X
3）能处理贫信息系统。
二、概念明晰——灰色系统理论
1、创立与发展
我国学者邓聚龙教授于19世纪80年代初创立并发展，把一般系统论，信息论 和控制论的观点和方法延伸到社会，经济，生态等抽象系统，是结合运用 数学方法发展的一套解决灰色系统的理论和方法。
20多年来，引起了国内外学者的广泛关注。灰色系统理论已成功应用到工 业，农业，社会，经济等众多领域，解决了生产，生活和科学研究中的大 量实际问题。
四、灰色预测模型——GM(1.1)
GM（1,1）的白化型
对于x (0) ( k ) az (1) ( k ) u，若将x (0) ( k )的时刻k 2, 3, ..., n视为连续的 变量t , 则数列x (1)就可视为时间的函数，记为x (1) =x (1) ( t )，并让灰导数x (0) ( k ) dx (1) 对应于导数 , 背景值z (1) ( k )对应于x (1) ( k ), 则得到GM (1,1)的灰微分方程 dt 对应的白微分方程: dx (1) ax (1) u dt 称之为GM (1,1)的白化型。
灰色规划方法、灰色决策方法等。
三、灰色预测
1、 类型 常用的灰色预测有以下五种 1）数列预测：用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模 型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 2）灾变与异常值预测：通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区内。 3）季节灾变与异常值预测：通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特 定的时区或季节的灾变预测。 4）拓扑预测：将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有 时点，并以该定值为框架构成时点序列，然后建立模型预测该定值所发生 的时点。 5）系统预测：通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型 ，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
[a
u]T 为待辨识参数向量, 则(*)可写成
Y B
四、灰色预测模型——GM(1.1)
由最小二乘法可求得参数向量
ˆ [a ˆ, u ˆ ]T ( BT B)1 BTY
将其带入方程，求出离散解为
ˆ ak ˆ u u ˆ ˆ ( k 1) [ x (1) ]e x ˆ ˆ a a
x
则称x (0)
(0)
(k ) x
(1)
(k ) x
(1)
( k 1)
,x (0) ( n )]
(1) (0) (0) (0) (0) 为x 的一次累减生成，数列x , x [ x (1), x (2),
称为一次累减生成数列。 一般地，有
x
( r 1)
(k ) x (k ) x (k 1)
四、灰色预测模型——GM(1.1)
1、数据生成
将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处理称为生成，目的在于从杂乱 无章的现象中去发现内在规律。
常用方法：累加生成、累减生成、均值生成
概念补充 1）原始数列：未作处理的数列 2）生成数列：按某种要求经过处理的数列
四、灰色预测模型——GM(1.1)
计算平均相对误差
,n
1 n rel rel ( k ) , n k 1
四、灰色预测模型——GM(1.1)
2）后验差检验法
ˆ (0)和残差，原始序列 设已按GM (1.1)建模法求出的X
2 2 X (0)及残差序列E的方差分别为S1 和S 2 ,则
n 1 S12 [ x (0) ( k ) x ]2 n k 1 n 1 2 S2 [e( k ) e ]2 n k 1