泛函分析之B空间上的有界线性算子

Banach空间的有界线性算子
定义：
E及E1都是实的线性空间，T:D⊂E→F⊂E1,IF,∀x,y∈D,T(x+y)=Tx+Ty,则T是可加的，IF∀实数α&&x∈D,有T(αx)=αTx,则T是齐次的。

可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。

T是连续的，则T为连续线性算子。

IF T将D中任一有界集映成有界集，则T是有界的，ELSE，T是无界的
定理：
E，E1是实赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的连续可加算子，则T满足齐次性，因此T是连续线性算子。

E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，则T有界的充要条件是∃M>0,ST,∀x∈D,||Tx||≤M||x||。

E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，IF T在某点x0∈D连续，则T在D连续。

E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，则T连续的充要条件是T有界。

定义：
E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子。

ST ||Tx||≤M||x||对∀x∈D都成立的整数M的下确界为T的范数，记||T||.
定理：
E，E1是赋范线性空间，在B(E,E1)中定义线性运算：
(T1+T2)x=T1x+T2x.(αT)x=α(Tx)则B(E,E1)是一赋范线性空间。

定义：
称B(E,E1)为线性算子空间，B(E)称为定义在E上的有界线性算子。

T,Tn∈B(E,E1),IF Lim||Tn-T||=0,则｛Tn｝按算子范数（一致算子拓扑）收敛于T
定理：
Tn,T∈B(E,E1),｛Tn｝按一致算子拓扑收敛于T的充要条件是｛Tn｝在任意有界集上一致收敛于T
E1是B空间，则B(E,E1)也是B空间。

定义：
T,Tn∈B(E,E1),IF∀x∈E,Lim||Tnx-Tx||=0,则｛Tn｝强（强算子拓扑）收敛于T
开映射定理：
有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,则F=E1且∃M0>0,ST,∀y∈E1,∃x∈E,Tx=y&&||x||≤M0||Tx||
推论：
有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,则T将E 中任何开集映成E1中的开集。

有界线性算子T将B空间E映入B空间E1,则T的值域或者是E1或者是E1中第一类集。

逆算子定理：
有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,且T是单射，则T存在有界逆算子。

推论：
（E,||||1）（E,||||2）为B空间，IF ∃K>0,ST,∀x∈E,||x||1≤K||x||2,则||||1与||||2等价，所以（E,||||1）（E,||||2）拓扑同构
定理：
E,E1是赋范线性空间，T是E的子空间D到E1的线性算子，则T为闭算子充要条件是∀{xn}⊂D,IF {xn}{Txn}在E，E1中分别收敛于x,y,则x∈D&&Tx=y 闭图像定理：
T是B空间E到B空间E1的闭算子，则T有界。

定义：
E为线性空间，p为定义于E的泛函，IF ∀x,y∈E,p(x+y)≤p(x)+p(y),则p为次可加的，IF ∀α≥0&&∀x∈E,p(αx)=αp(x),则p为正齐次的
共鸣定理：
｝为定义于B空间E上值域包含在赋范线性空间E1的有界线性算子族，｛T
α
IF ∀x∈E,sup{||Tαx||}<∞,则{||Tαx||}有界，或者说{Tα}一致有界
定理：
{Tn}是B空间E到B空间E1的有界线性算子列，则{Tn}按强算子拓扑收敛于T∈B(E,E1)的充要条件是{Tn}一致有界&&∃E的某稠密子集G，ST,∀x∈G,{Tnx}在E1中收敛(当两个条件同时满足时，||T||≤Lim||Tn||)。

E,E1是B空间，则B(E,E1)对于算子列按强算子拓扑收敛是完备的。

定理：
G是实线性空间E的子空间，f是定义在G上的实线性泛函，p是定义在E 上的次可加正齐次泛函，f与p之间满足f(x)≤p(x)(∀x∈G)则，必∃实线性泛函F0定义在E上，ST：
(1)x∈G时，F0(x)=f(x)
(2)x∈E时，F0(x)≤p(x)
引理：
设f是复赋范线性空间E上的有界线性泛函，令φ(x)=Ref(x)(x∈E),则φ是E上的实有界线性泛函&&f(x)=φ(x)-iφ(ix)
定理：
G是赋范线性空间E的子空间，f是定义在G上的有界线性泛函，则f可以延拓到整个E，且保持范数不变，即存在定义于E上的有界线性泛函F0,ST:
(1)x∈G时，F0(x)=f(x)
(2)||F0||=||f||
,
G
推论：
G是赋范线性空间E的子空间，x0∈E,IF ρ(x0,G)=inf||x0-x||=δ>0,则∃E 上的有界线性泛函f,ST,||f||=1/δ,f(x0)=1,&&f(x)=0(x∈G)
G是赋范线性空间E的子空间，x0∈E,IF ρ(x0,G)=inf||x0-x||=δ>0,则∃E 上的有界线性泛函f1,ST,||f1||=1,f1(x0)=δ,&&f1(x)=0(x∈G) E是赋范线性空间，E≠｛0｝，则∀x0∈E，x0≠0,∃E上的有界线性泛函f,ST,||f||=1,f(x0)=||x0||
定义：
E上的有界线性泛函的全体按它的线性运算及范数构成的赋范线性空称为E 的对偶空间或共轭空间，记E*=B(E,K),||f||=sup|f(x)|/||x||
定理：
映射x→x**有下列性质：
（1）映射是线性的
（2）映射是等距的，因此是单射
（3）映射是等距同构映射
（4）当它是满射的时候，E是自反空间
L P[a,b](1<p<∞)的对偶空间是L q[a,b],p与q互为相伴数，1/p+1/q=1
定义：
T*为T的伴随算子或共轭算子，T*f=f*,f*(x)=f(Tx)
性质：
||T*||=||T||
(αT)*=αT*
(T1+T2)*=T1*+T2*
(T2T1)*=T1*T2*
IF 将E看成E*的子空间，则T**是T的延拓
定义：
E为赋范线性空间，E*的序列｛fn｝弱*收敛于f0∈E*,指∀x∈E，fn(x)→f0(x)
定理：
E是B空间，｛fn｝是E上的一个有界线性泛函序列，则｛fn｝弱*收敛于某个f∈E*的充要条件是：
（1）｛fn｝一致有界
（2）对E的某个稠密子集G中的每个x,{fn(x)}收敛
赋范线性空间E是可分的，则由E上的∀一致有界的线性泛函序列中，必可取出一个弱*收敛的子序列。

定义：
E是赋范线性空间，｛xn｝⊂E,x0∈E，IF∀f∈E*,Limf(xn)=f(x0),则｛xn｝弱收敛于x0
定理：
T ∈B(E,E1),则T 有有界逆算子的充要条件是T*有有界逆算子，且当T 有有界逆算子时，(T -1)*=(T*)-1.
定义：
T ∈B(E ），λ为一复数.
IF λI-T 有有界逆算子，则λ为T 的正则值，正则值的全体是正则集ρ(T).R(λ,T)表示λI-T 的有界逆算子(λI-T)-1,并称为T 的预解式或预解算子；
IF λ不是T 的正则值，则λ为T 的谱点，谱点的全体是谱σ(T).
σ(T)分为以下三种：
特征值（点谱）、只有零解（连续谱、剩余谱）
值域是E 的真子空间，且在E 稠密，称为连续谱
值域之闭包是E 的真子空间，称为剩余谱
定理：
T ∈B(E ），λ为一复数.
IF λ为T 的特征值，T 对应与λ的全部特征值及零元素组成E 的一个闭子空间，称为对应于λ的特征向量空间，此空间的维数为λ的重复度；
λk 为T 的n 个不同特征值，xk 为对应的任一特征向量，则x1…xn 线性无关.
定理：
T ∈B(E ），λ为一复数。

则|λ|>||T||时，λ是T 的正则值，且：
∑∞=+-=-011)(n n n T T I λλ ||
T ||-||1||T)-I (||1-λλ≤(按一致算子拓扑收敛) 推论：
T ∈B(E ）有有界逆算子，则∀S ∈B(E ）,当||S-T||<||T -1||-1时，S 也有有界逆算子，△T=S-T,则：
∑∞
=-------∆-∆≤-∆-=0n 12111111||||||||1||||||||||||;)(T T T T T S T T T S n
λ是T 的正则值，则对∀μ是复数，|μ-λ|<||(λI-T)-1||-1时μ也是T 的正则值，且：
)1(01)()()1()(+-∞=----=-∑n n
n n T I T I λλμμ||T)-I (|||-|1||T)-I (|||-|||T)-I (-T)-I (||1-2
-11
-1-λλμλλμλμ-≤ 定理：
对B 空间E ，成立：
(a) B(E)中可逆算子的全体是B(E)中的开集
(b) ∀T ∈B(E),ρ(T)是复平面的开集，σ(T)是复平面的有界闭集
(c) R(,T)作为定义在ρ(T)上的算子值函数是解析的
(d) 设E 含有非零元素，则∀T ∈B(E)，σ(T)非空
定义：
T ∈B(E)，称)(||max T T r σλλ∈=为T 的谱半径
T∈B(E)，则Lim||T n||1/n存在,且Lim||T n||1/n=inf||T n||1/n.
T∈B(E)，则r T≤Lim||T n||1/n.
定义：
T:D⊂E→F⊂E1,E、E1都是赋范线性空间，T是线性算子，IF T将任一有界集映成E1中的准紧集，则T为紧算子或全连续算子
定理：
T∈B(E，E1),S∈B(E1，E2),E、E1、E2都是赋范线性空间，IF T,S中有一个是紧算子，则ST也是紧算子
推论：
赋范线性空间E、E1中至少有一个是无限维的，T∈B(E，E1)是紧算子，则T 不可能存在有界逆算子
定理：
T∈B(E，E1)，若T是紧算子，则T将E中弱收敛点列映射成E1中按范数收敛的点列
T∈B(E，E1)，若T是紧算子，则T的值域可分
｝⊂B(E，E1)按一致算子拓扑赋范线性空间E、B空间E1，IF紧算子列｛T
n
收敛于T∈B(E，E1),则T也是紧算子
赋范线性空间E、B空间E1，则由E到E1的全部紧算子组成的集按算子的线性运算及算子的范数是B(E，E1)的闭子空间，因此它本身也是B空间
引理：
E是赋范线性空间，A⊂E是准紧集，{fn}是E上一致有界线性泛函列，IF∀x∈A,{fn(x)}收敛，则｛fn｝在A一致收敛
定理:
E,E1是赋范线性空间，T∈B(E，E1)是紧算子，则T*∈B(E1*，E*)也是紧算子
E是具有基的B空间，A为E的子集，则A准紧的充要条件是：A有界&&∀ε》0，∃K>0,ST,k>K时||R k x||<ε对∀x∈A同时成立
E是具有基的B空间，T∈B(E）则T为紧算子的充要条件是存在一列有限秩算子Tk，ST,Lim||T-Tk||=0
T是E上的紧算子，λ≠0，则λI-T的值域是E的闭子空间
T是E上的紧算子,则：
∀y∈E，复数λ≠0，（λI-T）x=y有解的充要条件是y与λI*-T*的零空间N*正交
∀g∈E*，复数λ≠0，（λI*-T*）f=g有解的充要条件是g与λI-T的零空间N正交
T是E上的紧算子，λ≠0，λI-T为满射的充要条件是λI-T为单射
T是E上的紧算子，则：
∀复数λ≠0要么是T的特征值要么是T的正则值，若对应的是T的特征值，则对应的特征向量空间有限维
σ(T)是有限集或O为聚点的可列集
λμ分别为T，T*的特征值且λ≠μ，则T对应于λ的特征向量空间与T*对应于μ的特征向量空间相互正交
E 为赋范线性空间，E 中的点集｛x1…xn ｝线性无关，则存在E 上的一族有
界线性泛函f1…fn,ST ：⎩⎨⎧≠==l
k l k x f l k ，若，若01)(
f1…fn 是赋范线性空间E 上的一族有界线性泛函，则E 上任意在f1…fn 的零空间的交上为零的有界线性泛函f 必定是f1…fn 的线性组合
f1…fn 是赋范线性空间E 上的n 个线性无关的有界线性泛函，则存在E 中的元素x1…xn ，ST,⎩⎨⎧≠==l k l
k x f l k ，若，若01)(
定理：
T 是E 上的紧算子，λ≠0是T 的一个特征值，则T&T*对应于λ的特征向量空间有相同的维数
T 是B 空间E 上的紧算子，则：
∀复数λ≠0要么是T(T*)的正则值，要么是T(T*)的特征值
σ(T)(σ(T)*)或是有限集，或是O 为聚点的可列集；σ(T)中任意不为零的数都是T&T*的特征值，E 为无限维时，0必属于σ(T)&σ(T)*
T&T*对应于同一非零特征值的特征向量空间有相同的维数且维数有限； T,T*对应于不同特征值的特征向量空间相互正交
λ≠0是T 的特征值(则也是T*的特征值)，则(λI-T)x=y 有解的充要条件是y 与λI*-T*的零空间正交，而(λI*-T*)f=g 有解的充要条件是g 与λI-T 的零空间正交
考点：
压缩映射定理
第六章9，11，17，34
第七章定理2.2 1，22，39
第八章闭图像定理（证）谱的例题 4，23，35，54，58，59，60，对偶空间的例子，紧算子的定义、基本性质
第九章定理3.1 1，3，16，25。