泛函分析之B空间上的有界线性算子

Banach空间的有界线性算子

定义：

E及E1都是实的线性空间，T:D⊂E→F⊂E1,IF,∀x,y∈D,T(x+y)=Tx+Ty,则T是可加的，IF∀实数α&&x∈D,有T(αx)=αTx,则T是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。

T是连续的，则T为连续线性算子。

IF T将D中任一有界集映成有界集，则T是有界的，ELSE，T是无界的

定理：

E，E1是实赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的连续可加算子，则T满足齐次性，因此T是连续线性算子。

E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，则T有界的充要条件是∃M>0,ST,∀x∈D,||Tx||≤M||x||。

E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，IF T在某点x0∈D连续，则T在D连续。

E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，则T连续的充要条件是T有界。

定义：

E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子。ST ||Tx||≤M||x||对∀x∈D都成立的整数M的下确界为T的范数，记||T||.

定理：

E，E1是赋范线性空间，在B(E,E1)中定义线性运算：

(T1+T2)x=T1x+T2x.(αT)x=α(Tx)则B(E,E1)是一赋范线性空间。

定义：

称B(E,E1)为线性算子空间，B(E)称为定义在E上的有界线性算子。

T,Tn∈B(E,E1),IF Lim||Tn-T||=0,则｛Tn｝按算子范数（一致算子拓扑）收敛于T

定理：

Tn,T∈B(E,E1),｛Tn｝按一致算子拓扑收敛于T的充要条件是｛Tn｝在任意有界集上一致收敛于T

E1是B空间，则B(E,E1)也是B空间。

定义：

T,Tn∈B(E,E1),IF∀x∈E,Lim||Tnx-Tx||=0,则｛Tn｝强（强算子拓扑）收敛于T

开映射定理：

有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,则F=E1且∃M0>0,ST,∀y∈E1,∃x∈E,Tx=y&&||x||≤M0||Tx||

推论：

有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,则T将E 中任何开集映成E1中的开集。

有界线性算子T将B空间E映入B空间E1,则T的值域或者是E1或者是E1中第一类集。

逆算子定理：

有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,且T是单射，则T存在有界逆算子。

推论：

（E,||||1）（E,||||2）为B空间，IF ∃K>0,ST,∀x∈E,||x||1≤K||x||2,则||||1与||||2等价，所以（E,||||1）（E,||||2）拓扑同构

定理：

E,E1是赋范线性空间，T是E的子空间D到E1的线性算子，则T为闭算子充要条件是∀{xn}⊂D,IF {xn}{Txn}在E，E1中分别收敛于x,y,则x∈D&&Tx=y 闭图像定理：

T是B空间E到B空间E1的闭算子，则T有界。

定义：

E为线性空间，p为定义于E的泛函，IF ∀x,y∈E,p(x+y)≤p(x)+p(y),则p为次可加的，IF ∀α≥0&&∀x∈E,p(αx)=αp(x),则p为正齐次的

共鸣定理：

｝为定义于B空间E上值域包含在赋范线性空间E1的有界线性算子族，｛T

α

IF ∀x∈E,sup{||Tαx||}<∞,则{||Tαx||}有界，或者说{Tα}一致有界

定理：

{Tn}是B空间E到B空间E1的有界线性算子列，则{Tn}按强算子拓扑收敛于T∈B(E,E1)的充要条件是{Tn}一致有界&&∃E的某稠密子集G，ST,∀x∈G,{Tnx}在E1中收敛(当两个条件同时满足时，||T||≤Lim||Tn||)。

E,E1是B空间，则B(E,E1)对于算子列按强算子拓扑收敛是完备的。

定理：

G是实线性空间E的子空间，f是定义在G上的实线性泛函，p是定义在E 上的次可加正齐次泛函，f与p之间满足f(x)≤p(x)(∀x∈G)则，必∃实线性泛函F0定义在E上，ST：

(1)x∈G时，F0(x)=f(x)

(2)x∈E时，F0(x)≤p(x)

引理：

设f是复赋范线性空间E上的有界线性泛函，令φ(x)=Ref(x)(x∈E),则φ是E上的实有界线性泛函&&f(x)=φ(x)-iφ(ix)

定理：

G是赋范线性空间E的子空间，f是定义在G上的有界线性泛函，则f可以延拓到整个E，且保持范数不变，即存在定义于E上的有界线性泛函F0,ST:

(1)x∈G时，F0(x)=f(x)

(2)||F0||=||f||

,

G

推论：

G是赋范线性空间E的子空间，x0∈E,IF ρ(x0,G)=inf||x0-x||=δ>0,则∃E 上的有界线性泛函f,ST,||f||=1/δ,f(x0)=1,&&f(x)=0(x∈G)

G是赋范线性空间E的子空间，x0∈E,IF ρ(x0,G)=inf||x0-x||=δ>0,则∃E 上的有界线性泛函f1,ST,||f1||=1,f1(x0)=δ,&&f1(x)=0(x∈G) E是赋范线性空间，E≠｛0｝，则∀x0∈E，x0≠0,∃E上的有界线性泛函f,ST,||f||=1,f(x0)=||x0||

定义：

E上的有界线性泛函的全体按它的线性运算及范数构成的赋范线性空称为E 的对偶空间或共轭空间，记E*=B(E,K),||f||=sup|f(x)|/||x||

定理：

映射x→x**有下列性质：

（1）映射是线性的

（2）映射是等距的，因此是单射

（3）映射是等距同构映射

（4）当它是满射的时候，E是自反空间

L P[a,b](1

定义：

T*为T的伴随算子或共轭算子，T*f=f*,f*(x)=f(Tx)

性质：

||T*||=||T||

(αT)*=αT*

(T1+T2)*=T1*+T2*

(T2T1)*=T1*T2*

IF 将E看成E*的子空间，则T**是T的延拓

定义：

E为赋范线性空间，E*的序列｛fn｝弱*收敛于f0∈E*,指∀x∈E，fn(x)→f0(x)

定理：

E是B空间，｛fn｝是E上的一个有界线性泛函序列，则｛fn｝弱*收敛于某个f∈E*的充要条件是：

（1）｛fn｝一致有界

（2）对E的某个稠密子集G中的每个x,{fn(x)}收敛

赋范线性空间E是可分的，则由E上的∀一致有界的线性泛函序列中，必可取出一个弱*收敛的子序列。

定义：

E是赋范线性空间，｛xn｝⊂E,x0∈E，IF∀f∈E*,Limf(xn)=f(x0),则｛xn｝弱收敛于x0

定理：