概率论与数理统计第四章精品教案

第四章随机变量的数字特征

一、内容提要

（一）随机变量的数学期望

1.离散型随机变量的数学期望

设离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2x3……P P1 P2P3…P k…

k

k

k

p

x绝对收敛，则称级数

k

k

k

p

x为随机变量X的数学期望（或均值），简称期望，

记作E（X），即

∑=

k

k k

p x

X

E)

(（4.1）2．连续型随机变量的数学期望

设连续型随机变量X的概率密度为p(x)，若积分⎰+∞∞-dx

x

xp)

(绝对收敛，则称积分⎰+∞∞-dx

x

xp)

(为随机变量X的数学期望（或均值），简称期望，记作E（X），

即⎰+∞∞-=dx

x

xp

X

E)

(

)

(（4.2）由数学期望的定义形式，它是随机变量X的所有可能取值与取相应值的概率乘积之和，不难理

1

2

解，期望所反映的是随机变量X 取值的概率“平均”。

3.期望的性质

（1）C C C E ,)(——常数

（2）)()(X CE CX E =

（3）)()()(Y E X E Y X E +=+

（4）若随机变量X ，Y 相互独立，则有

)()()(Y E X E XY E ⋅=

4.随机变量函数的期望

设离散型随机变量X 的分布列为

X x 1 x 2 x 3 … …

P p 1 p 2 p 3 … p k …

[]∑⋅==K

k k p x f X f E Y E )()()( （4.3）

这里要求上述级数绝对收敛。

若连续型随机变量X 的概率密度为p (x )，则随机变量Y =f (X )的期望为

3

[]⎰

+∞

∞

-==dx x p x f X f E Y E )()()()( （4.4）

这里当然也是以上述积分绝对收敛为条件的。

（二）随机变量的方差

1. 方差的定义

设随机变量X 的期望为E （X ），若[]2

)(X E X E -存在，则称量[]2

)(X E X E -为随机变量X

的方差，记作D （X ），

即 []2

)()(X E X E X D -= （4.5）

而)(X D 称为X 的均方差（或标准差）通常用)(X σ表之。

若离散型随机变量X 的分布列为

X x 1 x 2 x 3 … …

P p 1 p 2 p 3 … p k …

[][]∑⋅-=-=K

k k p X E x X E X E X D 2

2

)()()( （4.6）

若边连续型随机变量X 的概率密度为p (x )，则

[][]⎰

+∞

∞

--=-=dx x p X E x X E X E X D )()()()(2

2 (4.7) 在方差计算中，常用下面计算公式

4

[]2

2)()()(X E X E X D -= (4.8)

从方差定义的形式看，它是随机变量X 所有可能的取值与其“平均”程度的差的平方与取相应值的概率乘积之和，它反映了随机变量X 的取值关于其平均值的离散和程度。与E （X ）一样，D （X ）也是X 的重要数字特征。

2.方差的性质

（1）D （C ）=0

（2）D （CX ）=C 2D （X ）

（3）D （X +C ）=D （X ）

（4）若随机变量X ，Y 相互独立，则

D （X +Y ）=D （X ）+D （Y ）

一般地，X 1，X 2，…，X n 相互独立，则

∑∑===n i n

i i i X D X D 1

1

)()(

（5）函数[]2

)(x X E x f -=在x=E(X)处取得最小值D （X ）此性质说明随机变量X 的取值关

于E （X ）的偏离和程度最小，即E （X ）刻划了X 取值的集中位置。

（三）常见分布的数学期望和方差

常见分布的数学期望和方差列表如下。

常见分布的数学期望和方差

5

分布名称 概率分布（或概率密度） 数学期望 方差

退化分布

{}10==x X P

x 0

0-1分布

{}{}1

,0,1=+====q p q X P p X P

p pq

二项分布 {}1

,10,,2,1,0,

=+〈〈===-q p p n k q p C k X P k

n k k n Λ np npq

泊松分布

{}0

,2,1,0,

!〉==

=-λλλΛk e k k X P k

λ λ

几何分布

{}Λ

2,11=⋅=-k p q k X P k

p 1 2p

q 超几何分布

{})

,min(,1,0,n M k C C C k X P n

N

K n M

N k M Λ===-- N nM

1

)1(--⋅

-N n

N N M N nM 巴斯卡分布

{}Λ

,1,,11+===---r r k q

p C k X P r

k r r k

p r

2

p rp 均匀分布

⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤-=。

b x a a

b x p 其它,0,,1

)( 2b

a + 12

)(2

a b -