北师大 结构化学 第4章 分子对称性和群论

北师大 结构化学 课后习题

第4章 分子对称性和群论

习题与思考题解析

1. 以H 2O 为例说明对称操作和对称元素的含义。

解：H 2O 分子为V 型结构，若将该分子经过O 原子且平分H-O-H 键角的直线旋转1800

便可得到其等价图形，该直线称为对称元素-对称轴，其轴次为2，即为二重轴，用2C 表示。

绕2C 轴的对称操作叫旋转，用2

ˆC 表示。 2. 写出HCN ，CO 2，H 2O 2，CH 2==CH 2和C 6H 6分子的对称元素，并指出所属对称元素系。

答：HCN 分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个v σ面，属于'

v C ∞对称元素系。

CO 2分子的对称元素：1个C ∞轴、∞个2C 轴、1个h σ、∞个v σ面和i 对称中心；属于'

h D ∞对称元素系。

H 2O 2分子的对称元素：只有1个2C 轴，属于'

2C 对称元素系。

CH 2==CH 2分子的对称元素：3个相互垂直的2C 轴、3个对称面（1个h σ、2个v σ），对称中心i ；属于'

2h D 对称元素系。

C 6H 6分子的对称元素：1个6C 轴、6个垂直于6C 轴的2C 轴、1个h σ面、6个v σ面、和对称中心i ，属于'6h

D 对称元素系。

3. 试证明某图形若兼有2C 轴和与它垂直的h σ对称面，则必定存在对称中心i 。 证明：假设该图形的2C 轴与z 轴重合，则与它垂直的h σ对称面为xy 平面。则对称元

素2()C z 和()h xy σ对应的对称操作2

ˆˆ(),()h C z xy σ的矩阵表示为： 2

1

00ˆ()010001C z -=- 和 100

ˆ()010001h xy σ=- 则 2

1

0010

100ˆˆˆ()()0100100

100

1001

1

h C z xy i σ--=-=-=--

由此得证。

4. 写出xy σ和通过原点并与x 轴重合的2()C x 轴的对称操作的表示矩阵。

解：空间有一点(x , y , z )，经过对称面xy σ作用后得到点（x , y , -z ），经过2()C x 对称轴作

用后得到点(x , -y , -z )，所以xy σ和2()C x 对应对称操作2

ˆˆ,()xy C x σ的矩阵为： 100

ˆ010001

xy σ

=- 和 2

1

ˆ010001C =-- 5. 用对称操作的表示矩阵证明：

(1) 2ˆˆˆ()xy C z i σ= (2) 222ˆˆˆ()()()C x C y C z = (3) 2ˆˆˆ()yz xz C z σσ= 证明：(1) 因为对称操作2

ˆˆ(),xy C z σ的矩阵为： 2

1

ˆ()010001C z -=- 和 10

ˆ010001xy σ

=- 所以2

1

0010

100

ˆˆˆ()0100100

100

1001

1

xy C z i σ--=-=-=--，由此得证。 (2) 因对称操作22

ˆˆ(),()C x C y 的矩阵为： 2

100

ˆ()010001C x =-- 和 2

10

ˆ()01

0001

C y -=-

故22

2

1

00100

100ˆˆˆ()()01001

00

10()0

10

01

1

C x C y C z --=-=-=--，即分子中若存在2()C x ，2()C y 轴时，则该分子一定存在2()C z 轴。由此得证。

(3) 对称操作ˆyz σ

和ˆxz σ的矩阵为： 100ˆ0100

01yz σ

-= 和 100

ˆ010001

xz σ

=-

则2

1001

00100ˆˆˆ0100100

10()0

010

1

1

yz xz C z σ

σ--=-=-=，即分子中若存在yz σ和xz σ面时，则该分子一定存在过其交线的2()C z 轴。

6. 联苯C 6H 5—C 6H 5有三种不同构象，两苯环的二面角(α)分别为：(1) α = 0，(2) α = 90o ，(3) 0<α<90o ，试判断这三种构象的点群。

解： (1) α = 0（见题6图（a ））时，联苯C 6H 5-C 6H 5中有3个相互垂直的2C 轴（1个过C 1-C 7键，1个过C 1-C 7键中心、与分子平面垂直，1个在分子平面内、垂直平分C 1-C 7键），3个σ面（1个h σ，2个v σ）（1个与分子平面重合，1个垂直平分C 1-C 7键，1个过C 1-C 7键、与分子平面垂直），即该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5属于2h D 点群。

(2) α = 90o 时（见题6图（b ）），该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5中，有3个2C 轴（1个过C 1-C 7

键，另2个分别为相互垂直的二苯环面的角平分线），2个d σ面（分别为二苯环所在的面），即该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5属于2d D 点群。

(3) 0<α<90o 时，该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5分子中的对称面消失，仅存在3个2C 轴（1个过C 1-C 7键，另2个分别为夹角在0~90o 间的二苯环面的角平分线），故该结构的联苯C 6H 5-C 6H 5属于2D 点群。

(a) (b)

题6图 联苯C 6H 5-C 6H 5的构象

7. 写出ClHC=CHCl （反式）分子全部对称操作及其乘法表。

解：反式ClHC=CHCl 有1个过C=C 键中心、与分子平面垂直的2C 轴，1个过分子平

面的h σ面，对称中心i 。对应的对称操作为：2

ˆˆˆˆ,,,h C i E σ，它们构成2h C 点群。其对称操作的乘法表为：