结构力学课件位移法典型方程
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第六章 位移法
6.3 位移法的典型方程
Canonical equations of displacement method
1. 位移法基本方程的建立
两种途径： 典型方程法：将杆端力视为各影响因素单独作用效果的 叠加，由此借助平衡条件建立位移法方程。（讲授）
直接平衡法：直接利用转角位移方程，按照结点或截面 的平衡条件建立位移法方程。（自学）
······ rn1Z1 + r n2Z2 + ···+ rnnZn + RnP = 0
可用矩阵表示为：[r]{Z} +{RP} = {0}
位移法方程的物理意义： 基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零。
[r]{Z} +{RP} = {0}
式中： rii 为基本结构仅在单位结点位移Zi =1单独作用时，在附加约束 i 中产生的约束力; rij 为基本结构仅在单位结点位移Zj =1单独作用时，在附加约束 i 中 产生的约束力（i≠j） RiP 为基本结构在荷载单独作用（结点位移都锁住）时，在附加约 束 i 中产生的约束力
EI Z2
FP
EI
EA
l
2EI EI l
l
r21
3i/l
12i/l
12i/l
3i/l
Z2=1
Z1=1 r22
r11
3i
M1
4i
Z1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r12
M2
R2P FP
R1P
MP
0.24FPl
M
0.39FPl 0.13FPl
r11 30i / l 2
10kNm
2EI
EI
40kN 2E.7
R2P
30
MP图
4m
2m 2m
R1P
R2P
26.7 26.7
30
将系数和自由项代入方程，解得:
Z1
3.23 i
,
Z
2
0.53 i
R1P= -36.7
R2P= -3.3
★结点集中力偶不影响MP图, 但影响R1P。
（4）利用叠加原理，做弯矩图
Z1
FPl 2 8i
,
Z2
FPl 2 12 i
（4）利用叠加原理，做弯矩图
M M 1Z1 M 2Z2 M P
FPl / 4
FPl / 2 M图
FPl / 4 FPl / 2
2. 位移法的典型方程
对于具有n个基本未知量的结构，位移法方程典型形式为：
r11Z1 + r12Z2 + ···+ r1nZn + R1P = 0 r21Z1 + r22Z2 + ···+ r2nZn + R2P = 0
12i/l 2 12i/l 2
12i/l 2 12i/l 2
r11= 24i/l 2 r21= -24i/l 2 r12= -24i/l 2 r22=48i/l 2
FP FP
MP图
R1P FP R2P FP
R1P= -FP R2P= -FP
★结点集中力不影响MP图, 但影响RiP。
将系数和自由项代入方程，解得
ll
Z1 Z2
基本结构
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
（3）求系数的自由项
6i/l 6i/l
Z1=1
r11
r21
12i/l 2 12i/l 2
12i/l 2 12i/l 2
M1图
6i/l
6i/l
6i/l
M2图
r12
r22
Z2=1
12i/l 2 12i/l 2
位移法的解题步骤
1.确定基本未知量，引入附加约束形成基本结构。
2. 利用基本体系建立位移法典型方程。
3. 作各 M i 图、MP图，求系数和自由项。 4. 求解典型方程，得到结点位移 Zi （或Δi）。
5. 按 M M i Zi M P 叠加得最后弯矩图。
6. 用平衡条件校核内力图。
练习：
ql 2 / 4 ql 2 / 2
作业（15）
习题集：5－13、14、16
谢 谢!
2010.8
h2
j1
M Z1M1 MP
i1
i2
i3
i4
M
1FP h 2 FP h 3 FP h 4 FP h
3ik
k
h2 4 3i j
h2
j1
ik
4
ij
j1
排架的这种计算方法称剪力分配法。
k 称剪力分配系数。
柱顶剪力是按各柱的侧移刚度来分配的。
剪力分配法的使用条件是梁的抗拉刚度无穷大，且 仅在柱顶作用一水平荷载。
r22 11i
r12 r21 9i / l
R1P P
R2P 0
Z1 0.044Pl 2 / i
Z2 0.036Pl / i
M M 1Z1 M 2Z2 M P
练习：作M图，EI=常数。
FP l l
l
l
FPl
FP
FPl / 8
FPl / 2 M
3FPl / 8 FPl / 4
求出典型方程中系数r14, r32,R4P。
i2
3i3 h
i3
3i4 h
i4
M1
3i1
3i2
h2
h2
3i3
3i4
h2
h2
r11
4 3i j h2
j 1
典型方程 r11Z1 R1P 0
R1P
FP
i1
i2
i3
i4
MP
R1P
0
0
FP
0
0
R1P FP
r11
4 3i j h2
j 1
1
Z1 4 3i j FP
h2
j1
1
Z1 4 3i j FP
2. 位移法的典型方程
（1）一个转角位移
A Δ1 Δ1
FP B
EI =常数
l
C
l/2 l/2
Z1
A
FP
B
C
基本体系
典型方程 r11Z1 R1P 0
（2）一个线位移
EA EA EA
FP
h
i1
i2
i3
i4
原结构
Z1
FP 基本体系
i1
i2
i3
i4
Z1 1
3i1 h
r11
i1
3i2 h
3i / l 2
3i / l 2
K
6i r11 l 2 K
ql 2 / 8
R1P ql 2 / 8
M 2图
R1P
3ql / 8
3ql / 8
R1P
3 4
ql
将系数和自由项代入方程，求得
Z1
ql3 24i
（4）作弯矩图
ql 2 / 4
讨论
K
ql 2 / 8
ql 2 / 8
K 0
ql 2 / 2
q
l
l
r14=-3i/l
l
Z1
l
q
r32= 2i
Z2
Z3
Z4
R4P= -ql/2
弹性支座
已知弹簧刚度K=12EI/l，求梁的弯矩图。 q
EI
EI
l
l
1
基本结构
解 （1）选择基本结构
（2）建立位移法方程
r11Z1 R1P 0
（3）求系数和自由项，解方程
r11
Z1 1
3i / l
3i / l
M1图 r11
r11 r12 ... r1n
r
21
r 22
...
r
2
n
... ... ... ...
rn1
rn 2
...
rnn
rii 主系数>0 rij (i=j) 副系数 rij = rji 反力互等
RiP 荷载系数，自由项
讨论：如何求得刚度系数和自由项？ ● 附加约束把基本结构离散为单跨梁。 ● 对应基本未知量，集成形常数或载常数。
EA EA EA FP
h
i1
i2
i3 i4
原结构
（3）两个转角位移
20kN/m
40kN
10kNm
2EI
2EI
EI
EI
Z1
Z2
4m
4m
2m 2m
解 （1）选择基本结构 （2）建立典型方程
基本结构
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
（3）求系数和自由项，解方程
M M 1Z1 M 2Z2 M P
R1P 26.7
26.7
R2P
30
MP图
3
13
6.5
35 33
2
M图 1
（kN.m）
r11
Z1=1 4i
r21
4i
8i M1图
2i
r12
8i r22
Z2=1
4i
4i
6i M 2图
2i
（4）两个线位移 FP FP iEI1=∞ i
i EI1=∞i
解： （1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
r11
Z1=1 4i
r21
4i
8i M1图
2i
r11 8i
4i r11=12i
r21 4i
r21=4i
r12
8i r22
Z2=1
4i
4i
6i M 2图
2i
r12
r22
4i 8i
6i
r12=4i
4i r22=18i
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
20kN/m
6.3 位移法的典型方程
Canonical equations of displacement method
1. 位移法基本方程的建立
两种途径： 典型方程法：将杆端力视为各影响因素单独作用效果的 叠加，由此借助平衡条件建立位移法方程。（讲授）
直接平衡法：直接利用转角位移方程，按照结点或截面 的平衡条件建立位移法方程。（自学）
······ rn1Z1 + r n2Z2 + ···+ rnnZn + RnP = 0
可用矩阵表示为：[r]{Z} +{RP} = {0}
位移法方程的物理意义： 基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零。
[r]{Z} +{RP} = {0}
式中： rii 为基本结构仅在单位结点位移Zi =1单独作用时，在附加约束 i 中产生的约束力; rij 为基本结构仅在单位结点位移Zj =1单独作用时，在附加约束 i 中 产生的约束力（i≠j） RiP 为基本结构在荷载单独作用（结点位移都锁住）时，在附加约 束 i 中产生的约束力
EI Z2
FP
EI
EA
l
2EI EI l
l
r21
3i/l
12i/l
12i/l
3i/l
Z2=1
Z1=1 r22
r11
3i
M1
4i
Z1 r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
r12
M2
R2P FP
R1P
MP
0.24FPl
M
0.39FPl 0.13FPl
r11 30i / l 2
10kNm
2EI
EI
40kN 2E.7
R2P
30
MP图
4m
2m 2m
R1P
R2P
26.7 26.7
30
将系数和自由项代入方程，解得:
Z1
3.23 i
,
Z
2
0.53 i
R1P= -36.7
R2P= -3.3
★结点集中力偶不影响MP图, 但影响R1P。
（4）利用叠加原理，做弯矩图
Z1
FPl 2 8i
,
Z2
FPl 2 12 i
（4）利用叠加原理，做弯矩图
M M 1Z1 M 2Z2 M P
FPl / 4
FPl / 2 M图
FPl / 4 FPl / 2
2. 位移法的典型方程
对于具有n个基本未知量的结构，位移法方程典型形式为：
r11Z1 + r12Z2 + ···+ r1nZn + R1P = 0 r21Z1 + r22Z2 + ···+ r2nZn + R2P = 0
12i/l 2 12i/l 2
12i/l 2 12i/l 2
r11= 24i/l 2 r21= -24i/l 2 r12= -24i/l 2 r22=48i/l 2
FP FP
MP图
R1P FP R2P FP
R1P= -FP R2P= -FP
★结点集中力不影响MP图, 但影响RiP。
将系数和自由项代入方程，解得
ll
Z1 Z2
基本结构
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
（3）求系数的自由项
6i/l 6i/l
Z1=1
r11
r21
12i/l 2 12i/l 2
12i/l 2 12i/l 2
M1图
6i/l
6i/l
6i/l
M2图
r12
r22
Z2=1
12i/l 2 12i/l 2
位移法的解题步骤
1.确定基本未知量，引入附加约束形成基本结构。
2. 利用基本体系建立位移法典型方程。
3. 作各 M i 图、MP图，求系数和自由项。 4. 求解典型方程，得到结点位移 Zi （或Δi）。
5. 按 M M i Zi M P 叠加得最后弯矩图。
6. 用平衡条件校核内力图。
练习：
ql 2 / 4 ql 2 / 2
作业（15）
习题集：5－13、14、16
谢 谢!
2010.8
h2
j1
M Z1M1 MP
i1
i2
i3
i4
M
1FP h 2 FP h 3 FP h 4 FP h
3ik
k
h2 4 3i j
h2
j1
ik
4
ij
j1
排架的这种计算方法称剪力分配法。
k 称剪力分配系数。
柱顶剪力是按各柱的侧移刚度来分配的。
剪力分配法的使用条件是梁的抗拉刚度无穷大，且 仅在柱顶作用一水平荷载。
r22 11i
r12 r21 9i / l
R1P P
R2P 0
Z1 0.044Pl 2 / i
Z2 0.036Pl / i
M M 1Z1 M 2Z2 M P
练习：作M图，EI=常数。
FP l l
l
l
FPl
FP
FPl / 8
FPl / 2 M
3FPl / 8 FPl / 4
求出典型方程中系数r14, r32,R4P。
i2
3i3 h
i3
3i4 h
i4
M1
3i1
3i2
h2
h2
3i3
3i4
h2
h2
r11
4 3i j h2
j 1
典型方程 r11Z1 R1P 0
R1P
FP
i1
i2
i3
i4
MP
R1P
0
0
FP
0
0
R1P FP
r11
4 3i j h2
j 1
1
Z1 4 3i j FP
h2
j1
1
Z1 4 3i j FP
2. 位移法的典型方程
（1）一个转角位移
A Δ1 Δ1
FP B
EI =常数
l
C
l/2 l/2
Z1
A
FP
B
C
基本体系
典型方程 r11Z1 R1P 0
（2）一个线位移
EA EA EA
FP
h
i1
i2
i3
i4
原结构
Z1
FP 基本体系
i1
i2
i3
i4
Z1 1
3i1 h
r11
i1
3i2 h
3i / l 2
3i / l 2
K
6i r11 l 2 K
ql 2 / 8
R1P ql 2 / 8
M 2图
R1P
3ql / 8
3ql / 8
R1P
3 4
ql
将系数和自由项代入方程，求得
Z1
ql3 24i
（4）作弯矩图
ql 2 / 4
讨论
K
ql 2 / 8
ql 2 / 8
K 0
ql 2 / 2
q
l
l
r14=-3i/l
l
Z1
l
q
r32= 2i
Z2
Z3
Z4
R4P= -ql/2
弹性支座
已知弹簧刚度K=12EI/l，求梁的弯矩图。 q
EI
EI
l
l
1
基本结构
解 （1）选择基本结构
（2）建立位移法方程
r11Z1 R1P 0
（3）求系数和自由项，解方程
r11
Z1 1
3i / l
3i / l
M1图 r11
r11 r12 ... r1n
r
21
r 22
...
r
2
n
... ... ... ...
rn1
rn 2
...
rnn
rii 主系数>0 rij (i=j) 副系数 rij = rji 反力互等
RiP 荷载系数，自由项
讨论：如何求得刚度系数和自由项？ ● 附加约束把基本结构离散为单跨梁。 ● 对应基本未知量，集成形常数或载常数。
EA EA EA FP
h
i1
i2
i3 i4
原结构
（3）两个转角位移
20kN/m
40kN
10kNm
2EI
2EI
EI
EI
Z1
Z2
4m
4m
2m 2m
解 （1）选择基本结构 （2）建立典型方程
基本结构
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
（3）求系数和自由项，解方程
M M 1Z1 M 2Z2 M P
R1P 26.7
26.7
R2P
30
MP图
3
13
6.5
35 33
2
M图 1
（kN.m）
r11
Z1=1 4i
r21
4i
8i M1图
2i
r12
8i r22
Z2=1
4i
4i
6i M 2图
2i
（4）两个线位移 FP FP iEI1=∞ i
i EI1=∞i
解： （1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
r11
Z1=1 4i
r21
4i
8i M1图
2i
r11 8i
4i r11=12i
r21 4i
r21=4i
r12
8i r22
Z2=1
4i
4i
6i M 2图
2i
r12
r22
4i 8i
6i
r12=4i
4i r22=18i
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
20kN/m