材料力学第十章压杆稳定问题刘锋汇总.
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第十章 •存在非零解的条件：
压杆稳定问题 F B
cos kl 0
（ 2n 1 ） kl ( n 1, 2) 2
w
A
x
l
F 2 注意到： k EI
2 2 （ 2n 1 ） EI 得： F (2l )2
取n=1, 得固支-自由压杆的临界载荷：
Fcr
Page 3
第十章 • 其他形式的稳定问题实例
压杆稳定问题
F Fcr
窄高梁弯曲
薄壁件受外压
薄壁圆筒轴向受压
Page 4
第十章
压杆稳定问题
二、刚体与变形体的稳定性
（1）刚性面上，刚性球受微干扰
F
FR
F
FR
W
a. 合力FR指向平衡位置 稳定平衡
W
b. FR为0 临界(随遇)平衡
W
c. FR偏离平衡位置 不稳定平衡
第十章
压杆稳定问题
第十章 压杆稳定问题
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5 引言 两端铰支细长压杆的临界载荷 两端非铰支细长压杆的临界载荷 中小柔度杆的临界应力 压杆稳定条件与合理设计
Page 1
第十章
压杆稳定问题
§10-1
引 言
FN A
回顾：拉压杆的强度条件
x
M ( x)
FR
FR
F
w
lx
F
通解： FR w A sin kx B cos kx (l x) 2 EIk
F (k ) EI
2
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第十章 通解： FR w A sin kx B cos kx (l x) 2 EIk 考虑位移边界条件：
压杆稳定问题
压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线 F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
F＝Fcr 临界状态
压杆在任意微弯位置均可保持平衡
临界载荷－ Fcr: 压杆直线形式的平 衡由稳定转变为不稳定时的轴向压 力值。
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第十章 三、桁架的稳定性
压杆稳定问题
为什么桁架要尽可能设计成各杆受拉？
Page 5
第十章 （2）刚杆－弹簧系统受微干扰 刚杆－弹簧系统稳定性演示
压杆稳定问题
F
k
a. F k l
稳定平衡
l
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
F k l
驱动力矩 恢复力矩
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Fcr kl
临界载荷
第十章 （3）受压弹性杆受微干扰 F Fcr 稳定平衡
通解：
F
w
B
w A sin kx B cos kx
考虑位移边界条件：
A
x
l
x 0, w 0,
dw x 0, 0 dx
B
Ak 0 或
A0
x l, w
A sin kl B cos kl
•存在非零解的条件：
cos kl 0
F
F
F
M(x) F x
w
F
M ( x ) Fw
d 2w M ( x) dx 2 EI d 2w M ( x ) EI dx 2
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第十章 驱动内力矩 M ( x ) Fw •压杆稳定微分方程
F
F k2 EI
压杆稳定问题
d 2w •恢复内力矩 M ( x ) EI dx 2
d 2w M ( x) dx 2 EI
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第十章
压杆稳定问题
§10-3
两端非铰支细长压杆的临界载荷
解析法确定临界载荷：铰支-固支压杆 类比法确定临界载荷 相当长度与长度因素
例题
Page16
第十章 一、解析法确定临界载荷 根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
压杆稳定问题
1. 固支-自由压杆 F A
F
d 2w F w 2 dx EI
•通解：
d 2w 2 k w0 2 dx
w A sin kx B cos kx
x 0, w 0 x l, w 0
B0
•位移边界条件：
A sin kl 0
•存在非零解的条件：
sin kl 0
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第十章
压杆稳定问题
•临界载荷欧拉公式
F
F
sin kl 0
kl n
n2 2 EI F l2
n k l
( n 1, 2)
F 2 k , 注意到： EI
设： n=1
Fcr
2 EI
l2
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第十章
压杆稳定问题
Fcr
2 EI
l2
x
l
二、临界载荷的欧拉公式的几点讨论 •两端简支压杆的挠曲轴 w A sin
•压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡—— 可有任意的微弯程度, 但轴线形状一定。 •临界载荷（欧拉临界载荷)与截面抗弯刚度成正比， 与杆长的平方成反比。
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第十章
压杆稳定问题
三、欧拉公式的适用范围：
Q 理想均质材料,细长杆
Q 线弹性 Q 小挠度(小变形) Q 压力沿杆件轴线
F F
Page 8
第十章
压杆稳定问题
§10-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
• 两 端 铰 支 压 杆 临 界 载 荷 实 验 测 定
Page 9
第十章
压杆稳定问题
举重问题的分析
Page10
第十章 一、临界载荷的欧拉公式 •两端受压简支杆 •临界平衡状态 •驱动与恢复内力矩 驱动内力矩 恢复内力矩
F
压杆稳定问题
一、问题的提出:强度条件是否适用于下列拉压杆？
F F F F
短粗杆
F F F F
细长杆
Page 2
第十章 工程实例：石桥、钢桥与稳定问题
压杆稳定问题
左图：隋朝建成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的赵州桥
右图： Tacoma 海峡大 桥1940年破坏
Euler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题(Euler理论）
l
B F
M ( x ) F ( w )
d 2w M ( x) 2 dx EI
A
l
FM
B F
d 2w F ( w ) 2 dx EI
令 k2
F EI
w
d w 2 2 k w k 2 dx
2
x
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第十章
压杆稳定问题
d 2w 2 2 k w k 2 dx
2 EI
( 2l ) 2
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第十章
压杆稳定问题
2. 一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷 根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
l
F FR F
M ( x ) Fw FR (l x )
d 2w M ( x ) 2 dx EI
FR d 2w F w (l x ) 2 dx EI EI
第十章 •存在非零解的条件：
压杆稳定问题 F B
cos kl 0
（ 2n 1 ） kl ( n 1, 2) 2
w
A
x
l
F 2 注意到： k EI
2 2 （ 2n 1 ） EI 得： F (2l )2
取n=1, 得固支-自由压杆的临界载荷：
Fcr
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第十章 • 其他形式的稳定问题实例
压杆稳定问题
F Fcr
窄高梁弯曲
薄壁件受外压
薄壁圆筒轴向受压
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第十章
压杆稳定问题
二、刚体与变形体的稳定性
（1）刚性面上，刚性球受微干扰
F
FR
F
FR
W
a. 合力FR指向平衡位置 稳定平衡
W
b. FR为0 临界(随遇)平衡
W
c. FR偏离平衡位置 不稳定平衡
第十章
压杆稳定问题
第十章 压杆稳定问题
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5 引言 两端铰支细长压杆的临界载荷 两端非铰支细长压杆的临界载荷 中小柔度杆的临界应力 压杆稳定条件与合理设计
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第十章
压杆稳定问题
§10-1
引 言
FN A
回顾：拉压杆的强度条件
x
M ( x)
FR
FR
F
w
lx
F
通解： FR w A sin kx B cos kx (l x) 2 EIk
F (k ) EI
2
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第十章 通解： FR w A sin kx B cos kx (l x) 2 EIk 考虑位移边界条件：
压杆稳定问题
压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线 F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
F＝Fcr 临界状态
压杆在任意微弯位置均可保持平衡
临界载荷－ Fcr: 压杆直线形式的平 衡由稳定转变为不稳定时的轴向压 力值。
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第十章 三、桁架的稳定性
压杆稳定问题
为什么桁架要尽可能设计成各杆受拉？
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第十章 （2）刚杆－弹簧系统受微干扰 刚杆－弹簧系统稳定性演示
压杆稳定问题
F
k
a. F k l
稳定平衡
l
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
F k l
驱动力矩 恢复力矩
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Fcr kl
临界载荷
第十章 （3）受压弹性杆受微干扰 F Fcr 稳定平衡
通解：
F
w
B
w A sin kx B cos kx
考虑位移边界条件：
A
x
l
x 0, w 0,
dw x 0, 0 dx
B
Ak 0 或
A0
x l, w
A sin kl B cos kl
•存在非零解的条件：
cos kl 0
F
F
F
M(x) F x
w
F
M ( x ) Fw
d 2w M ( x) dx 2 EI d 2w M ( x ) EI dx 2
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第十章 驱动内力矩 M ( x ) Fw •压杆稳定微分方程
F
F k2 EI
压杆稳定问题
d 2w •恢复内力矩 M ( x ) EI dx 2
d 2w M ( x) dx 2 EI
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第十章
压杆稳定问题
§10-3
两端非铰支细长压杆的临界载荷
解析法确定临界载荷：铰支-固支压杆 类比法确定临界载荷 相当长度与长度因素
例题
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第十章 一、解析法确定临界载荷 根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
压杆稳定问题
1. 固支-自由压杆 F A
F
d 2w F w 2 dx EI
•通解：
d 2w 2 k w0 2 dx
w A sin kx B cos kx
x 0, w 0 x l, w 0
B0
•位移边界条件：
A sin kl 0
•存在非零解的条件：
sin kl 0
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第十章
压杆稳定问题
•临界载荷欧拉公式
F
F
sin kl 0
kl n
n2 2 EI F l2
n k l
( n 1, 2)
F 2 k , 注意到： EI
设： n=1
Fcr
2 EI
l2
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第十章
压杆稳定问题
Fcr
2 EI
l2
x
l
二、临界载荷的欧拉公式的几点讨论 •两端简支压杆的挠曲轴 w A sin
•压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡—— 可有任意的微弯程度, 但轴线形状一定。 •临界载荷（欧拉临界载荷)与截面抗弯刚度成正比， 与杆长的平方成反比。
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第十章
压杆稳定问题
三、欧拉公式的适用范围：
Q 理想均质材料,细长杆
Q 线弹性 Q 小挠度(小变形) Q 压力沿杆件轴线
F F
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第十章
压杆稳定问题
§10-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
• 两 端 铰 支 压 杆 临 界 载 荷 实 验 测 定
Page 9
第十章
压杆稳定问题
举重问题的分析
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第十章 一、临界载荷的欧拉公式 •两端受压简支杆 •临界平衡状态 •驱动与恢复内力矩 驱动内力矩 恢复内力矩
F
压杆稳定问题
一、问题的提出:强度条件是否适用于下列拉压杆？
F F F F
短粗杆
F F F F
细长杆
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第十章 工程实例：石桥、钢桥与稳定问题
压杆稳定问题
左图：隋朝建成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的赵州桥
右图： Tacoma 海峡大 桥1940年破坏
Euler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题(Euler理论）
l
B F
M ( x ) F ( w )
d 2w M ( x) 2 dx EI
A
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FM
B F
d 2w F ( w ) 2 dx EI
令 k2
F EI
w
d w 2 2 k w k 2 dx
2
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第十章
压杆稳定问题
d 2w 2 2 k w k 2 dx
2 EI
( 2l ) 2
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第十章
压杆稳定问题
2. 一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷 根据微弯临界平衡状态 建立微分方程
l
F FR F
M ( x ) Fw FR (l x )
d 2w M ( x ) 2 dx EI
FR d 2w F w (l x ) 2 dx EI EI