高二数学两个基本计数原理及排列组合

一、两个基本计数原理

（一）知识点

1.分类计数原理

ﻩ完成一件事,有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法,……,在第n类方式中有mｎ种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m１＋ｍ2＋．.．+m n种不同的方法.

2.分步计数原理

完成一件事,需要分成ｎ个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法,……做第n步有mｎ种不同的方法，那么完成这件事共有N=

m1*ｍ2＊...*mｎ种不同的方法．

（二)运用与方法

检测:

1、要从甲、乙、丙3名工人中选出２名分别上日班和晚班,有多少中不同的选法？从3名工人中选1名上白班和１名上晚班，可以分成先选1名上白班,再选１名上晚班这两个步骤完成．先选1名上白班,共有3种选法;上白班的人选定后，上晚班的工人有2种选法.根据分步计数原理，所求的不同的选法数是3×2=6(种). ２、有5封不同的信，投入3个不同的信箱中，那么不同的投信方法总数为多少？３的五次

3、(1）一件工作可以用两种方法完成,有5人会用第１种方法完成,有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作,不同选法的总数是分两类．第一类有5种选法;

第二类有4种选法.共９种

(2）从A村去B村的道路有3条,从B村去C村的道路有2条,从A村经过B村去C村不同走法的总数是 3×2=6所有六条路

*4、从集合{1,２,3，…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列共有多少个?

这样的等比数列有：１、2、4;4、2、1；2、4、８；8、4、2；1、3、９;9、３、1；4、6、9；9、6、4，共计8个,

故答案为:8．

5、有不同的中文书9本,不同的英文书7本,不同的日文书5本，欲从中取出不是同一国文字的两本书，共有多少种不同的取法？

取中文和英文:９*7＝6３

取中文和日文：９＊5＝45

取英文和日文:7*5=3５

总共:63+45+３５＝143

二、排列与组合

（一）知识点

1．排列

(１)排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出ｍ(ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

(2)排列数的定义：一般地,从n个不同的元素中取出m（ｍ≤n)个元素的所有

排列的个数,叫做从ｎ个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A n ｍ

表示.

（4）从n个不同元素中任取ｍ(m≤n)个元素,按照一定的顺序排列起来,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=ｎ时所有的排列情况叫全排列。

2.组合

（1)组合的定义:从n个不同元素中，任取ｍ(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从ｎ个不同元素中取出m（ｍ≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.

3.组合数

课堂检测：

一、排列问题

１、判断下列问题是否是排列问题：

（1）从1、2、3、５中任取两个不同的数相减（除）可得到多少个不同的结果?A５.2

（2）从１、2、3、5中任取两个不同的数相加(乘)可得到多少个不同的结果?C5.2

（3）某班有50名同学约定每两人通一次信，共需写信多少封?Ａ50.２（4）某班有50名同学约定每两人通一次电话,共需通电话多少次?A5０.2 （5）某班有50名同学约定每两人互赠照片各一张，共需照片多少张?C50.

２

（6）某班有５０名同学约定互相握手一次,共需握手多少次？C５0、2

2、计算A3

16和Ａ6

6

３、（1)已知A m

10

=10×9×…×５,则m= ６

(2)已知9！=36２８80，则A7

9

= 3８1440

（3)已知Ａ2

n

=５6，则ｎ = 8

（４）已知Ａ2

n =７A2

4

n

，则n= 7

4、有3名男生,4名女生，在下列不同要求下,求不同的排列方法总数: (１）选其中5人排成一排;a7.5

(2)排成前后两排，前排3人,后排4人;a ７7

(3）全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾;５*a66

二、组合问题

1、计算=++293828C C C （ a )

Ａ12０ B ２40 C6０ D4８0

2、已知2

n C =１０，则n ＝（ ｂ

）

A １0 B5 C3 D ２

３、如果4

36m m C A =，则m=( ｂ )

A6 B7 Ｃ8 D ９

课堂练习:

1、高三一班有学生５0人,男生３0人,女生

20人;高三二班有学生６0人，男生3０人，女生

3０人;高三三班有学生55人,男生３5人,女生

２0人.

(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?

(2)从高三一班、二班男生中,或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法？

＊２、从1到20这２0个整数中，任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法？

6、用4种不同颜色给下图示的地图上色， 要求相邻两块涂不同的颜色, 共有多少种不同的涂法?

解:

4、①从a 、ｂ、c 、d 4名学生中选出2名学生完成一项工作,有多少种不同的选法？

②从a 、b 、ｃ、ｄ 4名学生中选出2名学生完成两项不同的工作，有多少种不同的选法?

③a 、ｂ、c 、ｄ 4个足球队之间进行单循环比赛，恭需多少场比赛? ④a 、b 、c 、d ４个足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果?

5、某课外活动小组共13人,其中男生8人，女生５人,并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某项活动,依下列条件各有多少种选法？

（１）只有一名女生当选;

(2)两队长当选；

（３)至少有一名队长当选;

（4）至多有两名女生当选；

(５)既要有队长，又要有女生当选．

课堂练习:

（1） （2） （4） （3）