考点16 解斜三角形及应用举例

考点16 解斜三角形及应用举例

一、选择题

1.（2012·四川高考文科·Ｔ5）与（2012·四川高考理科·Ｔ4）相同 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =， 连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）

A B

【解题指南】利用勾股定理，正弦定理求解.

【解析】选B.在Rt CBE ∆中，2,1BE BC ==

,

由勾股定理知EC = 在CDE

∆中，1,9045135CD CE CDE ==∠=+=o o o , 由正弦定理知，

sin sin DC CE

CED CDE

=∠∠

,即1sin sin 135CED =∠∠o

，

sin ∴∠==CDE .

二、填空题

2.（2012·重庆高考理科·Ｔ13）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且

3,13

5

cos ,53cos ===b B A ,则=c

【解题指南】根据两角和的正弦公式求出C sin 的值,再利用正弦定理求出边c 的值.

【解析】因为,135cos ,5

3cos =

=B A 所以,13

12

sin 54sin ==B A ,65

56

131********sin cos cos sin )sin(sin =⨯+⨯=+=+=B A B A B A C

由正弦定理C c B b sin sin =,所以51413

1265563sin sin =⨯

=

=B C b c .

【答案】

5

14. 3.（2012·重庆高考文科·Ｔ13）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且

4

1

cos ,2,1=

==C b a ,则=B sin 【解题指南】根据余弦定理求出c 的值,再根据正弦定理求出B sin 的值. 【解析】由余弦定理44

1

11241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=C ab b a c ,解得2=c

所以c b =,415

411sin sin 2

=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==C B . 【答案】

4

15. 三、解答题

4.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ17）ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1cos )cos(=+-B C A ，c a 2=，求C .

【解题指南】此题考查三角函数及正弦定理的综合应用题.求角C ，关键是求出角C 的一个三角函数值，由和角公式及正弦定理得出2

1sin =C ，得出6

π

=C .

【解析】)(C A B +-=πΘ，)cos()](cos[cos C A C A B +-=+-=∴π，

∴C A C A B C A sin sin cos cos cos )cos(+=+-

C A C A C A sin sin 2sin sin cos cos =+-,

21sin sin =

C A . 由正弦定理R C c

A a 2sin sin ==，

则A R a sin 2=，C R c sin 2=

Θc a 2=，∴C A sin 2sin =，

21sin 22=

∴C ，即41sin 2=C ， 解得21sin =C 或2

1

sin -=C （舍去）

6

π

=

∴C .

5.（2012·大纲版全国卷高考文科·Ｔ17）△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足ac b 322=，求A.

【解题指南】首先利用内角A 、B 、C 成等差数列求出B.然后根据正弦定理或余弦定理求A.

【解析】方法一：利用正弦定理：

,,A B C Q 成等差数列，所以2B=A+C ，∴B=3π

， A+C=

23

π. Q 223b ac = ，由正弦定理得22sin 3sin sin B A C ∴=

即sin sin A C =12.∴ 121sin sin(

)232

A A π-=

∴11

sin (

sin )222

A A A +=

2cos cos A A A =

cos 0A ∴=或tan 3

A =

2

A π

∴=

或6

A π

=

方法二：利用余弦定理:

,,A B C Q 成等差数列，所以2B=A+C ，∴B=

3

π. 由余弦定理，B ac c a b cos 2222-+=, 即ac c a b -+=222（*）

Θac b 322=，

ac b 232=

∴ 将ac b 23

2=代入到（*）中得，025222=+-c ac a ，

得0)2)(2(=--c a c a ， 解得c a 2=或a c 2=.

当c a 2=时，c b 3=，03243cos 222=⋅⋅-+=

c

c c c c A ，则2π

=A .;

当a c 2=时，a b 3=，23

23243cos 222=

⋅⋅-+=a

a a a a A ，则6π=A . 2

A π

∴=

或6

A π

=.