大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律

积分元选取：
线密度： ,
面密度： ,
体密度： ,
dl
线元： d l
面元： d S
体元： d V
dm dm
dm
dS
dV
dm
2. 计算 刚体对轴的转动惯量 J
与刚体总质量有关
与刚体质量分布有关 与转轴的位臵有关
练习
1.由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系 对过 A 垂直于纸面的轴的转动惯量

m
质点角动量的时间变化率等于 质点所受合力的力矩 二、力矩
1. 对参考点的力矩： M r F
大小：
Fd Fr sin 方向： 垂直于 r 和 F 组成的平面 , 服从右手定则。
2. 对轴的力矩
z
M
z
F
F
d
F//
m
o
r
M o r F r ( F // F ) r F // r F 第一项 M 1 r F //
设 m 作直线运动
o
L 0
r
m

p
以 o 为参考点：
o
r
p
以 o 为参考点：
L 0 p ， L
若 r 、 p 大小相同，则：
*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋 转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2.质点系角动量 系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和
两边求和得
2内
2外

N外
dt
i
d
Li
dL dt
M

N内

i
M i外

i
M i内
dt
i
d
Li
dL dt


i
M
i外


i
M
i内
由图可知

i
M
i内
0
o r1
f 12
r2
d
f 21
2
m2
1
m1
于是
dL dt
M外

i
m i ri v c M

i
m i ri M
与 i 无关
vC
由
rc

i
m i ri M
rc

i
m i ri M

i
ri m i v c M rc v c 0
质心对自己的位矢
L rc m i v i
2
dm

r
2
dm
令：
J
r
i
2 i
mi
J Fra Baidu bibliotek
r
2
dm
刚体对 z 轴的总角动量为：
二、刚体对轴的转动惯量 1.定义
J
Lz J
转动惯量

i
ri m i
2
刚体对某定轴的转动惯量等于其各质点的质量与 该质点到转轴距离的平方之积求和。 若质量连续分布，则
J
r
2
dm
J
r
2
dm
i

i
ri m i v c

i
ri m i v i
与 i 有关
第三项：

i
ri m i v i
各质点相对于质心角动量的矢量和
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关， 描述系统的内禀性质： L自 旋
L自 旋
L轨道
于是：
L = rc × M v c + ∑ri′ m i v ′ × i = L 轨 道 + L自 旋
以质心为代表，描述质点系整体绕参考点的旋转运 动，称为质点系的轨道角动量。
即： L 轨 道 rC M v C
L rc m i v i
i

i
ri m i v c

i
ri m i v i
第二项：

i
ri m i v c
M
z
xF y yF x
力对 o 点 的力矩在 z 轴方向的分量
注意：力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。
M
o
M 1o M
2o

矢量和 代数和
M
z
M 1z M
2z

思考：
合力为零时，其合力矩是否一定为零？
合力矩为零时，合力是否一定为零？
例：
F
F
o
F
方向垂直于轴，其效果是改 变轴的方位，在定轴问题中， 与轴承约束力矩平衡。
第二项
M 2 r F
方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态， 称为力对轴的矩，表为代数量： M r F
z

即：
Mo r F x
i
j y
k z
F x F y Fz i yF z zF y j zF x xF z k xF y yF x
dJ r dm
2
R sin
1 2 mR
2
2
dm
3
1 2
mR
2
sin d
3

J
dJ


0
sin d
2 3
mR
2
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量 解：以距中心 r ，厚 d r 的球壳
dr
R
为积分元
d V 4 r d r
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则 定义质点对 z 轴的角动量为: 2 L iz L io m i ri 刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz

i
L iz ri m i
2 i 2 i
z

r

r
i
mi
o
对质量连续分布的刚体：
Lz
v

d Lz r d m

i
ri F i 外
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受 外力矩的矢量和 (合外力矩 )
dL dt
M外

i
ri F i 外
注意： 合外力矩 是质点系所受各外力矩 外 的矢量和，而非合力的力矩。 注意：质点系内力矩的作用
不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量 在系内各质点间的分配。

dr dt dL dt
p v p v mv 0 r dp dt rF
质点位矢
合力
大小： r F rF sin Fd
F
方向：服从右手定则
dL dt r F
力矩
r
o
d
2

L
x
2
m L
dx
m 1 L 3
x
3
L 0

1 3
mL
2
0
3. 求质量 m ,半径 R 的均匀球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的集合
dl
r
R
d
为积分元
o
d S 2 r d l 2 R sin R d

m 4 R
2
m
dm dS
1 2
m sin d
M
[例] 质量为 m ，长为 L 的细杆在水平粗糙桌面上 绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正 比，杆与桌面间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。 解： 设杆的线密度 kr
d m d r kr d r
动量对参考点（或轴）求矩
1.质点的角动量 定义： L = r × p = r ×m v
大小：
L = r mv sin θ = r p ⊥ = pr ⊥
m
r
p
θ
p
r
o
z
L
方向：
垂直于 r 和 p 组成的平面， 服从右手定则。
o
r
r
x
m

p
p
y
物理意义：
§5.1
角动量
转动惯量
一、角动量 问题：将一绕通过质心的固定轴转 动的圆盘视为一个质点系，系统总 动量为多少？
p总 = M v C = 0
M C
由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零， 系统有机械运动，总动量却为零？ 说明不宜采用动量来量度转动物体的机械运动量。
*引入与动量 p 对应的角量 L ——角动量（动量矩）
L Li ri p i ri m i v i
p1

i

i

i

r i rc vi vc
ri v i
有'：对质心 无'：对参考点
r1 r c
cp 2
p ii p
r2
r i


i
L
L自 旋
L轨道
3.定轴转动刚体的角动量 转轴 z 角速度 刚体上任一质点 m i
z
转动 平面


转轴与其转动平面交点Ｏ
m i 绕Ｏ 圆周运动半径为 ri
m i 对Ｏ的角动量： L io ri m i v i
ri o
mi
vi
大小： L io ri m i v i m i ri 2 L io 方向：沿 2 即 L io m i ri
Jz JC
1 7 L L 2 2 m mL m mL 12 48 4 4
§5.2
角动量的时间变化率
力矩
一、质点角动量的时间变化率
L r p
dL dt d dt (r p) dr dt pr dp dt
2
r
o
m

4
m 4 3
dm dV
3
R
dJ
2 3
dm r
2

2 mr d r R
3
R
J

dJ

0
2 mr d r R
3
4

2 5
mR
2
教材P.93
一些均匀刚体的转动惯量表
注意：对同轴的转动惯量具有可加减性。 同轴圆柱 r1 r2 m2 o m1
J z J2 J1 m 2 r2 2
z
A
解1.
3L 4
m
L 4
B
o
L
Jz
C

l dm
2
L 4

m L
l dl
2
7 48
mL
2
用其它方法求：
1 m L 1 3m 3 L 7 2 mL 3 4 4 3 4 4 48
2 2 2 2
解2. J z J oA J oB 解3.
同学们好！
?
数学家和哲学家追求数学的最初生 长点的研究，恰像一次向远处的地平 线走去的旅行。终点似乎就在前面， 可是走过去之后发现，它还在前方。
但是旅行者毕竟一次又一次地大开 眼界。他发现了越来越广大的世界。
－摘自张景中（院士）
显然，这段话对物理学也适用。 《数学与哲学》
第五章 角动量 角动量守恒定律

i

i
ri m i v i
L rc m i v i
i

i
ri m i v c

i
ri m i v i
设
M
m
i
i
第一项： rc

i
m i v i rc M v c
即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上， 该质点对参考点的角动量
与i无关
L
o o
r ri i
m mii

i
rc ri m i v i
rc m i v i rc m i v i
i i

i
ri m i v c v i ri m i v c
F 0 Mo 0
o
F


F 0 Mo 0
三、质点系角动量的时间变化率
对Ｎ个质点 m 1 , m 2 , , m N 组成的质点系，由
M rF
d L1 dt d L2 dt dLN dt M
dL dt
可得
M 1 外 M 1内 M M
角动量
转动惯 量 角动量的 时间变化率 力矩
角动量 定理
角动量 守恒定律
刚体定轴转动定律
重要性：
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动； 微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。
重点：
概念：角动量，转动惯量，力矩，角冲量， 规律：刚体定轴转动定律， 角动量定理的微分形式和积分形式， 角动量守恒定律， 难点：角动量概念， 角动量定理及角动量守恒定律的应用 学时： 6
2

m 1 r1 2
2
z
空心圆盘
J z J2 J1 m 2 r2 2
2 2
m1 r1 m2 r2

m 1 r1 2
平行轴定理
J D J C md
正交轴定理
z o
x
2
D
d C
m
对平面刚体
y
Jz Jx J
y
证明见教材92页
练习： 求长 L、质量 m 的均匀杆对 z 轴的转动惯量
4m
l
m
2m 3m
J 2 ml
2
3m ( 2l )
2
( 4 m 5 m )( 32 ml
2
2l )
2
A
l l
l
5m
2. 一长为Ｌ的细杆，质量 m 均匀分布 ，求该杆对过 杆一端端点且垂直于杆的 z 轴的转动惯量。 z
dm
x
L
dm dx
m L
dx
o
x
J

x dm