无穷网络的解题思路与示例

无穷网络的解题思路与示例
文/李伯生
20世纪80年代以来，在各种物理竞赛（包括奥林匹克物理竞赛）中，常常出现无穷网络的等效电阻的计算问题．解决这类问题的的基本思路和技巧，就是理解“无限”的意义，分析无限和有限这对矛盾，巧妙地创造条件，使无限向有限转化．下面我们先来讨论几种不同类型的无穷网络，然后以此为基础去讨论比较复杂的问题．
一、开端形半无穷梯形网络
图1
如图1所示电路称为开端形半无穷梯形网络．因为是无穷网络，所以ａ、ｂ间等效电阻与去掉一个格子后的电阻应相等，即
Ｒａｂ＝Ｒ１＋Ｒ３＋（Ｒ２Ｒａｂ／（Ｒ２＋Ｒａｂ）），
即
．①
二、闭端形半无穷梯形网络
图2
如图2所示电路称为闭端形半无穷梯形网络．因为是无穷网络，所以ｃ、ｄ间的电阻同样应与格子数无关，故有
Ｒｃｄ＝Ｒ２（Ｒ１＋Ｒ３＋Ｒｃｄ）／（Ｒ２＋（Ｒ１＋Ｒ３＋Ｒｃｄ）），
即
．②
三、中间缺口形无穷梯形网络
图3
如图3所示电路为中间缺口形无穷梯形网络．它可以看成是在ｅ、ｆ处两个相同的开端形半无穷梯形网络并联而成，所以有
Ｒｅｆ＝（1／2）Ｒａｂ＝．③
四、底边缺口形无穷梯形网络
图4
如图4所示电路称为底边缺口形无穷梯形网络．它可以看成是两个相同的闭端形半无穷梯形网络与电阻Ｒ1串联而成，则
Ｒｇｈ＝Ｒ１＋2Ｒｃｄ＝－Ｒ３．④
五、完整形无穷梯形网络
图5
如图5所示电路称为完整形无穷梯形网络．欲求ｉ、ｊ间的等效电阻Ｒｉｊ可以有不同的方法．我们可以将完整形无穷梯形网络看成是一个开端形半无穷梯形网络与一个闭端形半无穷梯形网络并联而成，因此有
Ｒｉｊ＝ＲａｂＲｃｄ／（Ｒａｂ＋Ｒｃｄ），
将式①、②式代入上式化简得
Ｒｉｊ＝．⑤
我们也可以将完整形无穷梯形网络看成是中间缺口形无穷梯形网络与Ｒ２并联而成，于是有Ｒｉｊ＝Ｒ２Ｒｅｆ／（Ｒ２＋Ｒｅｆ），将③式代入，化简得
Ｒｉｊ＝．
如果我们欲求完整形无穷梯形网络ｊ、ｋ之间的等效电阻可将其看作是底边缺口形无穷梯形网络与Ｒ3并联而成，则
Ｒｊｋ＝Ｒ3Ｒｇｈ／（Ｒ3＋Ｒｇｈ），
将④式代入，化简得
Ｒｊｋ＝．⑥
例题空间电阻丝无限网络如图6所示，每一段金属丝的电阻均为ｒ，试求Ａ、Ｂ间的等效电阻ＲＡＢ．
图6
解法一设想电流从Ａ点流入，从Ｂ点流出，由对称性可知，
网络中背面那一根无限长电阻丝中各点等电势，故可撤去这根电阻丝，而把空间网络等效简化为如图7所示的平面完整形无穷梯形网络，其中Ｒ１＝ｒ，Ｒ２＝（2／3）ｒ，Ｒ３＝ｒ．根据⑤式有
ＲＡＢ＝，
将Ｒ１＝Ｒ３＝ｒ，Ｒ２＝（2／3）ｒ代入可得
ＲＡＢ＝（2／21）ｒ．
图7
解法二因网络相对Ａ、Ｂ连线具有左、右对称，故可折叠成如图8所示电路．此网络可视为Ａ、Ｂ之间电阻（2／3）ｒ与图中Ｃ、Ｄ为两端点的开端形半无穷梯形网络并联而成．
图8
所以ＲＡＢ＝．。