场论初步

div rota,rot grad,div grad, grad diva,rot tota
这时需求二阶偏导数，所以也叫做二阶微分运算，通过直 接计算，容易得到以下结果：
div rota 0
rot grad 0
div grad div i j k
M
rota
lim l a dl
M M
这公式给出向量 rota 在任意方向 n 上的射影的定义， 而且很明显，它是与坐标选择无关的。
5’ 散度与旋度的性质
散度与旋度都是线性的，即
divaa b diva divb
rota b rota rotb
算子 的运算法则有以下两条：
（i） 是线性算子，即对任意常数 1 和 2 ，有
1x1 2x2 1x1 2x2
（ii）把 作用在乘积上，其结果等于在每一因子上 各作用一次，然后相加，即如
xy xy xy
上述法则中的乘积 xy ，包括两个函数的乘积，也包括 两个向量的向量积或数量积等，只要这样的运算是有意义 的。
其中 ， 是任意常数，这个性质可由定义直接验证。
关于各种乘积有以下的计算公式，其中 x, y, z
是函数，a axi ay j azk 和 b bxi by j bzk 是向量，
diva diva grad a divab b rota a rotb rota rota grad a
恰等于 diva在 M 点的值，即diva ，这样就有散度的另一
个定义
M
andS
diva lim S M VM V
由散度的这一定义，可见它与坐标的选取无关。
4’ 向量场的环流量与旋度 斯托克斯公式的向量形式
设已知一向量场 a ，a axi ay j azk 并设在这场
中任取一曲线 L ，则沿此曲线 L 的曲线积分
导数都存在。在必要时还需假定二阶偏导数皆存在。
在研究向量场时，向量线的概念是很重要的。在一向 量场的确定的区域中，若一曲线上每一点处的切线恰与在 这点的场向量重合，则这条曲线称为向量场的向量线。
设 M x, y, z为向量上任一点，则向量线在这点的切
线的方向余弦和向量线上的 dx, dy, dz 成比例，从而得 到向量线应满足的微分方程
dx dy dz ax ay az
在向量 a 不为零的条件下，由线性微分方程组的理论可
知所考虑的整个场被向量线所填满，而通过场中每一点由 一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两条向量线 没有公共点。
2’ 流量
设给定一个向量场，且设在点 M x, y, z 处的向量为
ax, y, z 。在这场中，任取一个双侧曲面 S ，当选定它
x y
称向量
az ay , ax az , ay ax y z z x x y
为向量 a 的旋度，记为 rota
i jk rota
x y z ax ay az
利用 rota 的定义，斯托克斯公式可写为向量形式
La sl rota dS
rota

b

bx
x

by
y

bz
z
a


ax
x

ay
y

az
z
b
divba divab
6’ 二阶微分运算
grad 是由数量场产生的向量场，diva 是由向量场产生 的数量场，对它们继续进行梯度、散度或旋度运算，可以 产生以下五种量
S
这个公式指出：向量a 沿闭曲线 L 的环流量等于它的旋度
rota 通过以 L 为边界所张的任意Fra Baidu bibliotek面 S 的流量。
特别，若所取向量是在 xoy 平面上，那么斯托克斯 公式就变成向量形式的格林公式。
与散度一样，旋度是与坐标的选择无关的，为了说明 这个事实，我们来给它另一形式的定义：过一已知点 M 选定一个方向 n 及以 n 为法线的一块小平面区域 ， 且设 l 为 的边界，于是根据向量形式的斯托克斯公式， 得
即梯度场必为无旋场。于是，综上所述，我们可列出保守
场的几个充要条件如下：
保守场
无旋场 势场

a dl 0
l
其中 为任意光滑闭曲线。上述结论都是对单连通区域来 说的。
四、算子
算子 ，也称哈密顿算子，定义为
i j k x y z
算子 在物理学和力学中有广泛应用
x y z
这里记


2 x 2

2 y 2


2
2x 2
z 2

2
y 2

2
z 2


，称为拉普拉斯算子
最后，有以下关系：
grad diva rot rota a
这里 a 的含义是
a axi ay j azk
而 ax , ay , az 是向量函数 a 的三个分量函数。 三、 保守场
S
其中 an 为 a在 n 上的投影。通常我们还引用以下记号
dS n0dS
称为有向曲面元，其中 n0 为曲面的单位法向量，指向所 选定的一侧。于是上述积分又可表示为向量形式
a dS
S
3’散度 高斯公式的向量形式
设一向量场 a,V 为一闭曲面 S 所包围的空间区域，n
为曲面上向外的法向量，由高斯公式得
实不然。为了说明这个事实，我们可给散度另一形式的定 义，设 M 为区域中任一点，在这点周围任取一含有这点 的区域 V ，令 S 为 V 的表面，则有高斯公式
an dS divadV
S
V
现在将两端除以体积 V ，然后令体积 V 趋于零，也就是V
缩成点 M 而求极限。利用三重积分的中值定理，则右端
andS ax cosn, x ay cosn, y az cosn, zdS
量
ax
S

a y
S

aVz
ax ay x y
称为向量
az z
a
dV
的散度，它是一个数量场，
记为x y z
diva ax ay az
§4.场论初步
向量场的散度与旋度
1’向量线
如果在空间或某一部分空间的每一点处都确定一个向
量 a ，就有了向量场，向量 a 是点的函数
a axi ay j azk
其中 ax ,ay ,az 都是 x, y, z 的数量函数。以后我们假定
ax ,ay ,az 是 x, y, z 的单值连续函数，且各个连续偏
曲线积分只与起点和终点有关，而与所沿途径无关， 物理学中称这种场叫保守场。
利用斯托克斯公式，可以推出，一个向量场 a 为空 间保守场的充要条件是
az ay 0, y z
ax az 0, z x
ay ax 0, x y
亦即
rota 0
旋度为零的场称为无旋场，因此保守场也就是无旋场。
L axdx aydy azdz L a dl
称为向量a 沿曲线 L 的线积分，其中 a 表示向量 a 在
曲线 L 的切线 上的投影， dl 表示曲线 L 的弧长微分。
当 为闭曲线时，则积分
称为向量 沿闭曲线
的环L 流量。
L a dl
a
L通常我们还引用记号
称为有向曲线元，其中 为d单l 位0d切l 向量。于是上述环流 量又可以写成以下的向量 0形式
这时，定义一个函数
x,y,z
x,y,z

x, y, z

a dl
x0 , y0 ,z0
x0 ,y0 ,z0 axdx aydy az dz
完全与上节一样，可以推得
亦即

x

ax ,

y

ay,
a grad

z

az ,
这时，我们也称 a 是一个势场， 称为向量场 a 的势函 数。上段二阶微分运算中已指出 rot grad 0
La dl rotna d
S
这里 a 表示向量 a在曲线 l 的切线上的投影， a 表示
rota 在法方向 n 上的投影。于是等式的两端除以所述 小块平面面积 ，并零这小块区域 收缩到给定点 M
这时面积 趋于零。应用二重积分中值定理，右端的极
限恰等于 rota ，即


az y

ay z
i


ax z

az x

j

ay ax k rota, x y
2 grad div grad
由此可以看出，算子 的作用在于把微分运算化为关于算 子 的向量代数运算。
的一个侧后，在它的每一点处引有向法线 n ，若 S 是封 闭的，则在法线的两个指向中任意选定一个。这样，曲面 积分
ax cosn, x ay cosn, y az cosn, zdS
S
称为向量 a 通过曲面 S 在所选择的那一侧的流量。显然
这个流量还可以表示为更简单形式
an dS
x y z
利用散度的定义，高斯公式可写为
a dS divadV
S
V
这是高斯公式向量形式，它说明：向量 a 通过闭曲面 S
的流量等于这个向量的散度在 S 所包围的区域上的三重 积分。
根据定义，向量场在一给定处的散度是一数量，散度 的全体构成一数量场。
上面所给出的散度的定义好像与坐标的选择有关，其
La dl
设闭曲线 L 为某一曲面 S 的边界，那么由斯托克斯
公式，向量 a 沿闭曲线 L 的环流量可表为曲面积分
L a dl


[
S
az y

ay z

cos
n,
x





ax z

az x
cosn,

y
ay ax cosn, z dS
利用这个符号，我们可以算出
i j k grad
x y z
a i x y
j z
k axi ay j azk

az ay az diva x y z

a