浅谈因式分解的几种方法(论文)

因式分解常用的几种方法
摘要：数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深——高斯。

因式分解，它或许很普通，但它往往能使我们进一步地了解数学的博大精深。

因式分解的应用十分的广泛，它在我们的身边时刻存在着。

可这一条条有趣的因式分解题，我渐渐地被它吸引住了。

让我们先来认识一下因式分解吧：把一个多相式的积化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。

它是中国数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地初中数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

关键词：因式分解双十字相乘法分组分解法
分解因式
前言：因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力。

分解因式的方法有很多，比如提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对
称多项式。

下面，就让我带领大家走进因式分解的奇妙的美丽数学世界。

在我的学习经历中，我最喜欢的就是十字相乘法。

双十字相乘法运用很巧妙，可以将一个很复杂的数据简单地呈现，我们一起来学习一下吧！！
双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
x、y为未知数，其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。

例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

解：图如下，把所有的数字交叉相连即可
x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中
x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。

如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。

纯粹数学可以是实际有用的，而应用数学也可以是优美高雅的。

下面，就来看看因式分解的题目了，你们想必也会乐在其中。

1．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：
-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。

分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三条边，
∴a+2b+c>0．
∴a－c=0，
即a=c，△ABC为等腰三角形。

3证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解：原式
=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式，而有些运算积比和算起来要简单，因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用．
例1有一天，小明和爸爸去公园里散步，看到公园有一块长为51.2m的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，其中小路宽1.2m，然后小明就问爸爸：“剩余绿地的面积是多少？”爸爸笑了笑，便轻易的回答说：“剩余绿地的面积为2500m2
你知道其中的奥秘么？在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.。

分析：用整块绿地的面积减去小路的面积
就是剩余绿地的面积
解：51.22-（2×1.2×51.2-1.22）
=51.22-2×1.2×51.2+1.22
=（51.2-1.2）2
=502
=2500
所以剩余绿地的面积为2500m 2
应用公式法，常用的公式有：
（1）22
2)(2b a b ab a ±=+± （2）))((22b a b a b a -+=-
（3）))((2233b ab a b a b a +±=±
（4）33223)(33b a b ab b a a ±=±+±
（5）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++
（6）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++
公式（5）证明如下：
ac bc ab c b a 222222+++++
222)22()2(c bc ac b ab a +++++=
22)(2)(c c b a b a ++++=
2)(c b a ++=
公式（6）证明如下：
abc c b a 3333-++
abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++=
)333(])[(2233abc ab b a c b a ++-++=
)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=
]3)())[((22ab c c b a b a c b a -++-+++=
))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=
在特殊情况下，当c b a ++＝0时，就有abc c b a 3333-++＝0， 于是，
（7）abc c b a 3333=++
这就是说，如果三个整式的和为零，那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍．
我们把被分解的多项式分成若干组分别按分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合来再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果这种分解因式的方法叫做分组分解法。

如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间的多项式有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法。

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。

通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。

我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利
进行。

通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。

我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。

通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。

三、例题分析
例1、分解因式：
（1）2x2+2xy-3x-3y
（2）a2-b2+4a-4b
（3）4x2-9y2-24yz-16z2
（4）x3-x2-x+1
分析（1）：解①，首先注意到前两项的公因式（2x）和后两项的公因式（-3），分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。

解②，此题也可以考虑含有y的项分在一组。

如下面解2的解法。

解①： 2x2+2xy-3x-3y
=(2x2+2xy)-(3x+3y)
=2x(x+y)-3(x+y)
=(x+y)(2x-3)
解②： 2x2+2xy-3x-3y
=(2x2-3x)+(2xy-3y)
=x(2x-3)+y(2x-3)
=(2x-3)(x+y)
说明：解①和解②虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1:1和2:（-3）。

这也是分组中必须遵循的规律之一。

分析（2）：若将此题按上题中解②的方法分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。

可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。

解： a2-b2+4a-4b
=(a2-b2)+(4a-4b)
=(a+b)(a-b)+4(a-b)
=(a-b)(a+b+4)
分析（3）：若应用解②的方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，则分组失败。

观察（3）题中的特点，后三项符合完全平方公式，将此题4x2和-9y2-24yz-16z2分组，先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。

解：4x2-9y2-24yz-16z2
=4x2-(9y2+24yz+16z2)
=(2x)2-(3y+4z)2
=(2x+3y+4z)(2x-3y-4z)
分析（4）：（4）题按照系数比可以分为1或者为-1，可以有不同的分组方法。

解③：x3-x2-x+1
=(x3-x2)-(x-1)
=x2(x-1)-(x-1)
=(x-1)(x2-1)
=(x-1)(x+1)(x-1)
=(x+1)(x-1)2
解④：原式=(x3-x)-(x2-1)
=x(x2-1)-(x2-1)
=(x2-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)2
说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。

总结：一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两项分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍有公因式可提，如（1）题的两种解法。

两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间的公因式，如（2）题、（4）题。

若分组后可应用
公式还可将四项式中进行三项和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式，如（3）题。

例2、分解因式：m2+n2-2mn+n-m
分析：此题是一个五项式，其中m2-2mn+n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提取，因而可采用前三项、后二项分组。

解：m2+n2-2mn+n-m
=(m2-2mn+n2)-(m-n)
=(m-n)2-(m-n)
=(m-n)(m-n-1)
例3．分解因式
（1）x2-y2-z2-2yz+1-2x
（2）x2-6xy+9y2-10x+30y+25
（3）a2-a2b+ab2-a+b-b2
分析（1）：此题是一个六项式，经过分析可采用三项、三项分组，x2-2x+1一组，-y2-2yz-z2一组，分别用完全平方公式后再用平方差公式分解。

解：x2-y2-z2-2yz+1-2x
=(x2-2x+1)-(y2+2yz+z2)
=(x-1)2-(y+z)2
=(x-1+y+z)(x-1-y-z)
分析（2）：此题也是六项式，前三项是(x-3y)2，而最后一项是52，中间两项恰巧能分解成-2·5(x-3y)，所以可以用完全平方公式来分解。

解：x2-6xy+9y2-10x+30y+25
=(x2-6xy+9y2)-10x+30y+52
=(x-3y)2-2·(x-3y)·5+52
=(x-3y-5)2
分析（3）：此题还是六项式，但都不具备上述两题的特征，可将这六项式二项、二项、二项分成三组，各自提取公因式，再提取三组间的公因式。

解：a2-a2b+ab2-a+b-b2
=(a2-b2)-(a2b-ab2)-(a-b)
=(a+b)(a-b)-ab(a-b)-(a-b)
=(a-b)(a+b-ab-1)
=(a-b)[(b-1)-a(b-1)]
=(a-b)(b-1)(1-a)
说明：此题分解到(a-b)(a+b-ab-1)时要用观察提取公因式的剩余因式(a+b-ab-1)是否能再分解因式。

因为它又是四项式，不能应用公式和提取公因式可再考虑分组分解法采用二项二项分组法再提取公因式。

例4．分解因式：
（1）3x3+6x2y-3x2z-6xyz
（2）ab(c2+d2)+cd(a2+b2)
（3）(ax+by)2+(bx-ay)2
（4）a2-4ab+3b2+2bc-c2
分析（1）：此题是四项式，这四项中有公因式3x应先提取公因式再将剩余因式进行二、二分组。

解：3x3+6x2y-3x2z-6xyz
=3x(x2+2xy-xz-2yz)
=3x[(x2+2xy)-(xz+2yz)]
=3x[x(x+2y)-z(x+2y)]
=3x[(x+2y) (x-z)]
=3x(x+2y)(x-z)
分析（2）：多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解。

解：ab(c2+d2)+cd(a2+b2)
=abc2+abd2+a2cd+b2cd
=(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd)
=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)
=(bc+ad)(ac+bd)
分析（3）：先将括号部分分别用完全平方公式打开再分组分解。

解：(ax+by)2+(bx-ay)2
=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2
=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2
=(a2x2+b2x2)+(b2y2+a2y2)
=x2(a2+b2)+y2(a2+b2)
=(a2+b2)(x2+y2)
分析（4）：将3b2变形为4b2-b2再分组进行。

解：a2-4ab+3b2+2bc-c2
=a2-4ab+4b2-b2+2bc-c2
=(a2-4ab+4b2)-(b2-2bc+c2)
=(a-2b)2-(b-c)2
=(a-2b+b-c)(a-2b-b+c)
=(a-b-c)(a-3b+c)
说明：（4）题在分组前先采用了拆项后再重新分组，达到提取公因式的目的。