1.1直角坐标系中的伸缩变换
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= 2 λ 16 μ 4 λ = 2 = = , 得 , 解得 1， 2 1 1 2 = 16 = 2 2
2
P8 - 4,6
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
在正弦曲线 y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩短为原来 1 的 ，就得到曲线y=sin2x. y=sin2x.gsp 2
思考：
从平面直角坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持
1 纵坐标 y 不变,将横坐标 x 缩为原来的 ”实际是什么? 2
'
x ' 3x 2 2 解：以 代入x ' 9 y ' 9得到 y' y
(3 x ) 9 y 9,
2 2
化简得到
x2 y2 1
这就是曲线C的方程.(图略)
练习：
x ' 3x 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 ： 2 y ' y 1 求点A( , 2)经过 变换所得的点A ' 的坐标. 3
由上所述可以发现，在伸缩变换(4)下， 直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆.
思考：
在伸缩变换④下，椭圆是否可以变成圆？ 抛物线、双曲线变成什么曲线？ 椭圆可以变成圆 双曲线变为双曲线 抛物线变为抛物线
例2. 在同一直角坐标系下，经过伸缩变 换
求曲线C的方程并画出图形.
x 3x '2 '2 后，曲线C变为 x 9 y 9, ' y y
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变， 在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
函数图像的伸缩变换：
y f ( x ) y f ( x ) y f ( x ) y Af ( x )
每一点的纵坐标变为原来的A倍
1 每一点的横坐标变为原来的 倍
(1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1
(1)2 x 3 y 0 x y 0
x y 0 y
2x 3 y 0
O
x
(1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1
(2)、将(5)代入x 2 y 2 1, 得到经过伸缩变换后的
2 2 x y 图形的方程是 1 4 9 x 2 x 所以，经过伸缩变换{ 后，圆x 2 y 2 1 y 3 y 2 2 x y 变成椭圆 1 4 9
1 x x x 2 x 2 解： (1)由伸缩变换{ 得到{ (5) 1 y 3 y y y 3 将(5)代入 2 x 3 y 0, 得到经过伸缩变换 后的方程为x y 0 x 2 x 所以，经过伸缩变换{ 后，直线 y 3 y 2 x 3 y 0变成直线x y 0
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 在变换 ( 0) x' x : 4 ( 0) y' y 的作用下，点P(x,y)对应点 P (x , y ) .称
' ' '
为
平面直角坐标系中的伸缩变换.简称伸缩变换
注:（1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的 伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐
标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得 到曲线y=3sinx. y=3sinx.gsp
设点P(x,y)经变换得到点为 P (x , y )
'
'
'
x x, 2
'
y 3 y.
'
通常把
2 叫做平面直角坐标系中的一
个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换.
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不 1 变，将横坐标x缩为原来的 ,在此基础上将纵坐标 2 变为原来的3倍,就得到曲线y=3sin2x.y=3sin2x.gsp 设点P（x,y）经变换得到点为 P ' (x' , y' )
1 x x, 2 ' y 3 y.
'
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一个坐标 伸缩变换。
在同一平面直角坐标系中,求满足曲线x2+y2-2x=0 变成曲线x′ 2+16y′ 2-4x′=0的伸缩变换.
x=λx(λ>0) 【解析】设 , y=μy(μ>0) 代入x′2+16y′2-4x′=0得λ2x2+16μ2y2-4λx=0,
2 2
练习：
x = 2x ∴所求伸缩变换是 1 . y = y 2
实质上就是一个坐标的
压缩变换.
●
O
●
P′
P
2
x
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持 纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 1 ，得到 ' ' ' 2 点 P (x , y ).坐标对应关系为：
1 x x, 2
'
y y.
'
1
通常把 ① 叫做平面直角坐标系中的一个
压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到 曲线y=3sinx?写出其坐标变换.
练习：
把函数 y x 的图象上各点的横坐标扩 大到原来的3倍，纵坐标也扩大到原来的3倍， 所得图象的函数解析式是_____________. y' 3x'
1 2
例1.在平面直角坐标系中，求下列方程所 对应的图形经过伸缩变换
x 2x ' y 3y
'
后的图形。
(1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1
= 2 λ 16 μ 4 λ = 2 = = , 得 , 解得 1， 2 1 1 2 = 16 = 2 2
2
P8 - 4,6
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
在正弦曲线 y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩短为原来 1 的 ，就得到曲线y=sin2x. y=sin2x.gsp 2
思考：
从平面直角坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持
1 纵坐标 y 不变,将横坐标 x 缩为原来的 ”实际是什么? 2
'
x ' 3x 2 2 解：以 代入x ' 9 y ' 9得到 y' y
(3 x ) 9 y 9,
2 2
化简得到
x2 y2 1
这就是曲线C的方程.(图略)
练习：
x ' 3x 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 ： 2 y ' y 1 求点A( , 2)经过 变换所得的点A ' 的坐标. 3
由上所述可以发现，在伸缩变换(4)下， 直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆.
思考：
在伸缩变换④下，椭圆是否可以变成圆？ 抛物线、双曲线变成什么曲线？ 椭圆可以变成圆 双曲线变为双曲线 抛物线变为抛物线
例2. 在同一直角坐标系下，经过伸缩变 换
求曲线C的方程并画出图形.
x 3x '2 '2 后，曲线C变为 x 9 y 9, ' y y
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变， 在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
函数图像的伸缩变换：
y f ( x ) y f ( x ) y f ( x ) y Af ( x )
每一点的纵坐标变为原来的A倍
1 每一点的横坐标变为原来的 倍
(1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1
(1)2 x 3 y 0 x y 0
x y 0 y
2x 3 y 0
O
x
(1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1
(2)、将(5)代入x 2 y 2 1, 得到经过伸缩变换后的
2 2 x y 图形的方程是 1 4 9 x 2 x 所以，经过伸缩变换{ 后，圆x 2 y 2 1 y 3 y 2 2 x y 变成椭圆 1 4 9
1 x x x 2 x 2 解： (1)由伸缩变换{ 得到{ (5) 1 y 3 y y y 3 将(5)代入 2 x 3 y 0, 得到经过伸缩变换 后的方程为x y 0 x 2 x 所以，经过伸缩变换{ 后，直线 y 3 y 2 x 3 y 0变成直线x y 0
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 在变换 ( 0) x' x : 4 ( 0) y' y 的作用下，点P(x,y)对应点 P (x , y ) .称
' ' '
为
平面直角坐标系中的伸缩变换.简称伸缩变换
注:（1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的 伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐
标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得 到曲线y=3sinx. y=3sinx.gsp
设点P(x,y)经变换得到点为 P (x , y )
'
'
'
x x, 2
'
y 3 y.
'
通常把
2 叫做平面直角坐标系中的一
个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换.
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不 1 变，将横坐标x缩为原来的 ,在此基础上将纵坐标 2 变为原来的3倍,就得到曲线y=3sin2x.y=3sin2x.gsp 设点P（x,y）经变换得到点为 P ' (x' , y' )
1 x x, 2 ' y 3 y.
'
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一个坐标 伸缩变换。
在同一平面直角坐标系中,求满足曲线x2+y2-2x=0 变成曲线x′ 2+16y′ 2-4x′=0的伸缩变换.
x=λx(λ>0) 【解析】设 , y=μy(μ>0) 代入x′2+16y′2-4x′=0得λ2x2+16μ2y2-4λx=0,
2 2
练习：
x = 2x ∴所求伸缩变换是 1 . y = y 2
实质上就是一个坐标的
压缩变换.
●
O
●
P′
P
2
x
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持 纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 1 ，得到 ' ' ' 2 点 P (x , y ).坐标对应关系为：
1 x x, 2
'
y y.
'
1
通常把 ① 叫做平面直角坐标系中的一个
压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到 曲线y=3sinx?写出其坐标变换.
练习：
把函数 y x 的图象上各点的横坐标扩 大到原来的3倍，纵坐标也扩大到原来的3倍， 所得图象的函数解析式是_____________. y' 3x'
1 2
例1.在平面直角坐标系中，求下列方程所 对应的图形经过伸缩变换
x 2x ' y 3y
'
后的图形。
(1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1