《综合法和分析法》PPT课件

已知条件
定理
定义
公理
• 想一想：综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
•
提示 综合法的推理过程是演绎推理，因为综合法的每一步推理都是严密的逻
辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
• 名师点睛
• 1．综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的
证明 因为(sin θ＋cos θ )2－2sin θcos θ＝1，所以将①②代入，可
得 4sin2α－2sin2β＝1
③
另一方面，要证11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ，
即证11－＋ccssooiinnss2222αααα＝211－＋cscsoioinsns222β2βββ，
证明 当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立． 当 a＋b>0 时，用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥ 22a＋b2， 即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
(2)b1＝a1＝1，q＝f(m)＝m2＋m3，∴n∈N*，n≥2 时， bn＝32f(bn－1)＝32·b2n－b1n＋－13⇒bnbn－1＋3bn＝3bn－1⇒b1n－bn1－1＝13. ∴数列b1n为首项为 1，公差为13的等差数列．
•
利用综合法证明问题的步骤：
•(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间 的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
即( a－ b)2≥0.
该式显然成立，所以 a ＋ b ≥ ba
a＋
b.
题型三 综合法和分析法的综合应用 【例 3】 已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0<x<1.
求证：logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc
[规范解答] 要证明： logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc， 只需要证明 logxa＋2 b·b＋2 c·a＋2 c<logx(abc)．(2 分) 由已知 0<x<1，只需证明a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc.(4 分) 由公式a＋2 b≥ ab>0，b＋2 c≥ bc>0，a＋2 c≥ ac>0.(8 分) 又∵a，b，c 是不全相等的正数，
在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点 是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条 件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
【变式 3】 已知 α，β≠kπ＋π2(k∈Z)，且 sin θ＋cos θ＝2sin α，① sin θ·cos θ＝sin2β，② 求证：11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ.
•
用分析法证明不等式时应注意
•(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基 本理论；
•(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最 后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
•(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证 明”等词语．
•(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、
符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思 路．
•(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言 进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
【变式 1】 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4. 证明 法一 ∵a，b 是正数且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤12，∴1a＋1b＝a＋abb＝a1b≥4. 法二 ∵a，b 是正数，∴a＋b≥2 ab>0， 1a＋1b≥2 a1b>0， ∴(a＋b)1a＋1b≥4. 又 a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.
2.2 直接证明与间接证明
2．2.1 综合法和分析法
• 【课标要求】 • 1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法． • 2．理解分析法和综合法的思考过程、特点，会用分析法和综合法证明数学问题． • 【核心扫描】 • 1．综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤．(重点) • 2．综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题．(难点)
以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当
成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合
法书写证明过程更简洁．
[正解] (分析法)：要证明 a∥b，而 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，
4cos β)；
∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即要证 sin αsin β＝16cos
【变式 2】
已知 a，b 是正实数，求证：
a＋ b
b≥ a
a＋ b.
证明
要证 a ＋ b ≥ ba
a＋
b，
只要证 a a＋b b≥ ab·( a＋ b)．
即证(a＋b－ ab)( a＋ b)≥ ab( a＋ b)，
因为 a，b 是正实数，
即证 a＋b－ ab≥ ab，
也就是要证 a＋b≥2 ab，
∴a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c> a2b2c2＝abc.(10 分) 即a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc 成立． ∴logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc 成立．(12 分)
•【题后反思】 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，
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β＝16，求证：a∥b.
[错解] ∵a∥b，且 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)；
∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，
即
sin
αsin
β＝16cos
αcos
β，∴csoins
α sin α·cos
ββ＝16，
∴tan αtan β＝16，即结论正确．
即证 cos2α－sin2α＝12(cos2β－sin2β)， 即证 1－2sin2α＝12(1－2sin2β)， 即证 4sin2α－2sin2β＝1. 由于上式与③相同，于是问题得证．
误区警示 因逻辑混乱而出错
【示例】 设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，若 tan αtan
逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间 推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．
•
综合法的证明步骤用符号表示是：
•
P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)
• 2．分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转 化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，
[思路探索] 通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证 明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键． 证明 (1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3 得 (3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3. 两式相减得(3＋m)an＋1＝2man，(m≠－3)， ∴aan＋n 1＝m2＋m3，∴{an}是等比数列．
αcos β，
即要证csoins
α sin α·cos
ββ＝16，即要证
tan
αtan
β＝16，
而 tan αtan β＝16 已知，所以结论正确．
(综合法)：∵tan
αtan
β＝16，∴csoins
α sin α·cos
ββ＝16，
即 sin αsin β＝16cos αcos β，∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，
• 自学导引
• 1．直接证明
•
从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过推理直接推
导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法 和分析法．
• 2．综合法
•
(1)定义：一般地，利用
和某些数学 、 、 等，经过一系列
的
，最后推导出所要证已明知的条结件论成立，这种证明方定法义叫做定综理合法．公理
法三 1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2 当 a＝b 时，取“＝”号．
ba·ab＝4.当且仅
题型二 分析法的应用 【例 2】 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．
[思路探索] 题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注 意分析法证明问题的格式即可．
逐 步 靠 拢 已 知 ． 分 析 法 的 书 写 形 式 一 般 为 “ 因 为 …… ， 为 了 证 明 …… ， 只 需 证 明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．
•
分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐…⇐Pn－2⇐Pn－1⇐Pn(结论)
•
分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．
•
(2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的
结论，则综合法可用推框理图论表证示为：
• 3．分析法
•
(1)定义：一般地，从要证明的
，逐步寻求使它成立的
后，把要证明的结论归结为判定一个明显成结立论的出条发件(
、
等)为止，这种证明方法叫做分析法．
，直至最
、
、
•
充(分2)框条图件表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
• 3．综合法与分析法的优点
•
综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从已知的知识中进
一步获得新的知识．
•
分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然，在探求问题的
证明时，它可帮助我们构思．应该指出的是不能把分析法和综合法绝对分开，正如
恩格斯所说“没有分析就没有综合”一样，分析与综合是相比较而存在的，它们既
是对立的，又是统一的．严格地讲，分析是为了综合，综合又需根据分析，因而有
时在一个命题的论证中，往往同时应用两种方法，有时甚至交错使用．
题型一 综合法的应用 【例 1】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n
∈N*)，其中 m 为常数，且 m≠－3. (1)求证：{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比 q＝f(m)，数列{bn}满足 b1＝a1，bn＝32f(bn －1)(n∈N*，n≥2)，求证：b1n为等差数列．
即 a＝(4cos α，sin α)与 b＝(sin β，4cos β)共线，∴a∥b.
分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，
但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，
故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程．
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