2-1曲线与方程PPT课件

(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化简:化方程f(x,y )=0为最简形式；
(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点 都在曲线上. 说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相 同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况， 可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略 步骤（2），直接列出曲线方程.
点M
按某中规律运动
几何意义
曲线C “数形结合” 数学思想的
基础
x, y的制约条件
坐标Байду номын сангаасx, y) 代数意义 方程f (x, y) ? 0
1．解析几何与坐标法： 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做 坐标 法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一 门叫解析几何 的学科.因此，解析几何是用代数方法研 究几何问题的一门数学学科 .
为___(_x_?__a_)_2_?__( _y_?_b_)_2__?_r_2__.
为什么?
思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线 l ? 点的横坐标与纵坐标相等 条件
曲线
x=y（或x- y=0）方程
y l x-y=0 含有关系：
0 x （1） l 上点的坐标都是方程 x-y=0的解
y
M
o
x
(2)设点M1的坐标(x1, y1)是方程xy ? ? k的解， 即x1 y1 ? ? k,即 x1 ? y1 ? k
而 x1 , y1 正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的积 是常数k, 点M1是曲线上的点。
由(1),(2)可知，xy ? ? k是与两条坐标轴的距离。 的积为常数k(k ? 0)的点的轨迹方程。
解:设动点为 (x，y)，则由题设得
化简得: y2=4(x-1) 这就是所求的轨迹方程.
5. 在三角形ABC 中，若|BC|=4，BC边上的 中线AD的长为3，求点A的轨迹方程. 解:取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线 为y轴，建立直角坐标系.
设A(x ，y)，又D(0，0)，所以
| AD|? x2 ? y2 ? 3
M 1B ? ( x1 ? 3)2 ? ( y1 ? 7)2 ? (4 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 7)2 ? 5( y12 ? 6 y1 ? 13)
? M1A ? M1B ,
即点M1在线段AB 的垂直平分线上 . 由(1)、(2)可知方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程 .
由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方 程，一般有下面几个步骤： (1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数 对（x,y ）表示曲线上任意一点M的坐标； (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}
在曲线C 上的 充要条件 是 f(x 0, y0)=0
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy ︱=1 (4) △ABC 的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
点 A(1,? 2), B(? 2,1) ,则 m =_____, n =______.
4
4
5
5
课外练习:
1“. 曲线C 上的点的坐标都是方程f (x, y) =0的解”
是“方程f (x, y) =0 是曲线C 的方程”的C（ ）条
件.
(A)充分非必要
(B)必要非充分
(C)充要
(D)既非充分也非必要
分线上每一点的坐标都是方程①解；
（2）设点 M 1的坐标（ x 1,y1）是方程 ①的解，即 : x+2y1－7=0
x 1=7－2y1
点M1到A 、B 的距离分别是
M1A ? ? ?
( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 (8 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 1)2 5( y12 ? 6 y1 ? 13);
3.代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法. 即利用动点P'(x',y') 是定曲线F(x,y)=0上的动点, 另一动点P(x，y)依赖于P'(x',y') ，那么可寻求 关系式x'=f(x,y),y'=g(x,y) 后代入方程F(x',y')=0 中，得到动点P的轨迹方程.
已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2), 第三个顶点C在曲 线y=3x2-1 上移动,求△ABC 的重心的轨迹方程.
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
Y
Y
1
1
1
1
O
1X
A
O
1 X -1 O
1X O
1X
-1 -1
B
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程
f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D)
A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0 的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0 的曲线的一部分或是全 部
练习4:设圆M的方程为(x? 3)2 ? (y? 2)2 ? 2 ,直线l
的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
练习5:已知方程 mx2 ? ny2 ? 4 ? 0 的曲线经过
2.△ABC 的顶点坐标分别为A(?4,?3)，B(2,?1)，
C(5,7)，则 AB边上的中线的方程为___________.
3 x ? 2 y ? 0( ? 1 ≤ x ≤ 5)
2.1.2求曲线的方程 （1）
复习回顾
1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念
2. 练习： (1) 设A(2,0)、B(0,2)，
解:(1)不正确，不具备(2)完备性，应为x=3,
(2)不正确,不具备(1)纯粹性，应为y=±1.
(3)正确.
(4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3≤y≤0).
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy= ±k.
证明：(1)如图，设M (x0 , y0 ) 是轨迹上的任意一点， 因为点M与x轴的距离为 y0 , 与y轴的距离为 x0 , 所以 x0 ? y0 ? k,即(x0 , y0 ) 是方程xy ? ? k的解。
（2）以方程 x-y =0的解为坐标的点都
在 l上
∴说直线 l 的方程是 x ? y ? 0 ,又说方程 x ? y ? 0 的直线是 l .
思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
? MA ? MB ? 2
2)列式
A(0, 2) ?
? (x ? 0)2 ? ( y ? 2)2 ? y ? 2 3）代换
?M
? y? 1 因为曲线在8x
x2
轴的上方，所以
4)化简
B
y＞0, 所以曲线的方程是
y ? 1 x2 (x ? 0) 8
5）审查
通过上述两个例题了解坐标法的解题方法， 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础； 同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等 式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用到 一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线 的距离公式，直线的斜率公式，中点公式等 ， 因此先要了解上述知识，必要时作适当复习 .
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 )上的点 与一个二元方程f(x,y)=0 的实数解建立了如下 的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 .
那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
y
f(x,y)=0
说明:
0
x
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外 .
（纯粹性）.
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏 .
由曲线的方程的定义可知:
（完备性）.
如果曲线C的方程是 f(x,y)=0 ，那么点P0(x0 ,y0)
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.
练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折
线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程
为x+ y =0;
不是
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距
离乘积为1的点集其方程为y= 。 是
y
y
y
1
1
1
-1 0
x 1
x
-2 -1 0 1 2
x
-2 -1 0 1 2
⑴
⑵
⑶
练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
2.1.2 求曲线的方程 （2）
复习回顾 求曲线（图形）的方程步骤：
(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数 对（x,y ）表示曲线上任意一点M的坐标； (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}
(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化简:化方程f(x,y )=0为最简形式；
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
复习回顾 :
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b) 和斜率为k 的直线l 的方程
为_____y_?__k_x_?__b
2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
直线方程是___x_-_y_=__0______
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
能否说线段AB 的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_______
3.证明已知曲线的方程的方法和步骤
上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的 曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助
于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某 种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标 （x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过 研究方程的性质间接地来研究曲线的性质 .这一 节，我们就来学习这一方法.
就是点 M属于集合
P ? ?M | MA |? | MB |?
.
由两点间的距离公式，点 M所适合条件可表示为：
(x ? 1)2 ? (y? 1)2 ? (x ? 3)2 ? (y? 7)2
将上式两边平方，整理得：
x +2y－7=0
①
我们证明方程①是线段 AB 的垂直平
分线的方程 .
（1）由求方程的过程可知，垂直平
例3.已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到
l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每
一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立
适当的坐标系，求这条曲线的方程.
解：取直线l为x轴,过点F且垂直于直线 l的直线为 y轴,
建立坐标系 xOy, 设点M(x,y) 是曲线上任意一点，
MB⊥x轴，垂足是 B， 1）建系设点
2．平面解析几何研究的主要问题： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质 .
说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤 .
例2.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)，
求线段AB 的垂直平分线的方程.
解:设M(x,y) 是线段AB 的垂直平分线上任意一点 ,也
(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点 都在曲线上. 说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相 同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况， 可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略 步骤（2），直接列出曲线方程.
练习1. 解:
2.
y2 ? x2
y ? x的
B
3.
B
4.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方 程是____ y2=4(x-1)
化简得 :x2+y2=9 (y≠0)
这就是所求的轨迹方程.
求轨迹方程的常见方法:
①直接法 ② 定义法 ③代入法 ④参数法
1.直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过 建立x, y 之间的关系, 构成 F(x, y)=0 即可.
2.定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种 已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。