物理学与音乐

第四讲：物理学与音乐
公元前6世纪古希腊数学家毕达哥 拉斯发现铁锤落在铁砧上发出的 声音与锤的重量有关;琴弦的长短 和张力的大小与音高有一定的关 系.他做过这样一个实验:绷紧两根 水平放置、质料相同的弦，保持 两弦的张力相同，但长度不同.同 时发音后,实验发现，如果它们的 长度比值是两个小整数之比，如 1:2，2:3，3:4等等，人耳听起来 就觉得和谐、悦耳.
由：波速=波长×频率
uf
弦线中拉力为F下传播的横波，其波速为：
因此，做横振动时所发出的声波，基频
其中 1 为线密度。
若弦线是均匀的圆截面线，直径为d，体密度
为 ， 则可知： 率又可以写成 2）音色 ，弦发声的基频频
弦乐器的音色取决于所发乐音的频谱结构(各种频 率的振动及其所占的比例，它与多种因素有关， 比如激发位置、激发方式、激发力度、弦的频谱、 共鸣腔及演奏技巧等.我们先介绍弦振动的类型.在 驻波实验中我们看到的是弦振动的横波成分，其 实弦的振动还有3种类型，即纵振动、扭转振动和 倍频振动.
由此得知，我们情感体验 里最隐秘的东西—音乐和 我们头脑里把握的最清晰 的数学有着奇异的组合.
爱因斯坦在很小的时候就 已经察觉到“这个世界可 以由音乐的音符来组成， 也可以用数字公式来组 成”.因为宇宙间的每一种 物体都是按照一种特殊的 频谱在振动着，而频谱正 是音乐的基础之一.
（一）基本乐理知识
为了显示实际振动中所包含的吝个简谐振动的振动情况(振幅，相 位，频率)，常用图线把它表示出来，若用横坐标表示各个谐频振 动的频率，纵坐标表示对应的振幅，就得到谐频振动的振幅分布 图，称为振动的频谱.不同乐器奏出的同一音调(相同的基频)的音 色各不相同，就是由于吝种乐器奏出的音调所包含的谐频振动的 振幅不同所致.下图是钢琴和小提琴的频谱图.频谱决定音色。
依次类推可得出各音的频率.可表示为 举例说，假设取C调“1(do)”的频率为 f1=300Hz，
依次类推可得出各音的频率.可表示为 举例说，假设取C调“1(do)”的频率为 f1=300Hz，
前面提到的“1，3，5”这三个音高的频率之比在十 二平均律中，正是“4:5:6”
钢琴上相邻两个键(包括黑键)之间差半个音， 两个半音就是一个全音.如图所示，我们与简谱 唱名对照起来看在通常使用的简谱中，用七声 音阶. C D E F G A B
和西洋音乐一样，可以以黄钟、大吕……的任意一个为 宫音，定下是什么调的音阶--"均"，称为"旋相为宫"。 比如，用黄钟为宫音（也就是以C为1），他的音阶就是 "黄钟均"。同样的，我们可以有大吕均，太蔟均等。
例如：取长度为8.71寸的弦。这根弦发出的音就是黄钟音， 我们按住黄钟音的2/3，的地方弹一下，就得到了林钟音， 再取林钟音的4/3就得到了太簇，取太簇的2/3就得到了南吕， 南吕的4/3就得到姑洗……以此类推，我们可以得到十二律 中所有的音。这就是所谓的："黄钟生林钟，林钟生太簇， 太簇生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤宾，蕤宾 生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲
为了取得数值概念，示例如下:一把二胡有效弦 长L=0.3m，弦线的线密度为3.8x10-4kg/m，拉 紧的张力F=9.4N，则基频为：
1）十二平分律 一个八度音的频率比为2，现在按等比数列将一个 八度音均分为十二份，便得十二平均律.由于
则取十二平均律各相邻两音之间的频率比为
按十二平均律，从任何一个音开始，比该音高半个 音，其频率是该音的频率乘 12 2 1.05946
如果比该音低半个音，则其频率是该音的频率除 ;依次类推可得出各音的频率.可表示为 12 2 1.05946
三、调式
七音中，以其中任何一音为主（即作为乐曲主旋律中居于核 心地位的主音），就构成了一个调式，不同的调式有不同的 感情色彩和表达功能，因而也能产生不同的音乐效果。例如 《荆轲刺秦王》叙述荆轲一行出发时，“高渐离击筑，荆轲 和而歌，为变徵之声，士皆垂泪涕泣”，“变徵之声”就是 变徵调式，这种调式旋律苍凉悲壮，适宜于悲歌。下文又有 “复为羽声慷慨”，“羽声”就是羽调式，这种调式高亢激 越，所以听后“士皆嗔目，发尽上指冠”。
19世纪法国数学家傅立叶的著作中达到顶峰.他 证明了所有的乐声—不管是器乐还是声乐—都 能用数学表达式来描述.因为每一个乐音就是一 种周期性的振动，按照傅里叶分析，可以将任 何一个周期性的振动分解为许多不同频率、不 同相位、不同振幅的简谐振动的叠加.
简单的简谐振动即正弦振动或余弦振动的传播产生的声波 叫做纯音，实际的乐音都不是简单的纯音，而是许多纯音 的叠加.在这些叠加的简谐振动之中频率最低的叫做基频， 基频的能量往往最大，但也不一定.频率是基频的整数倍的 叫做谐频(或谐波，有时也称泛音).因此乐音是由基频、谐 波(也有分音)组成的.
纵振动
扭转振动
倍频振动是与横振动同时存在的， 弦线每振动一个周期，振幅要有 两次最大值，振幅最大时，弦线 对两端拉力较大.可见，横振动每 个周期要有两次拉紧端点，这就 是倍频振动.
倍频振动
二胡
琴筒为六棱柱形，蒙蟒皮，木 制琴杆.发音温柔平和.二胡的音 色与有效弦长(千斤到琴马之间 的距离)、琴马位置、和琴弓擦 点有关.把琴弓擦点放在有效弦 长的七分之一或九分之一处， 可以减弱或消除不谐和的第七 或第九阶泛音.
宫 商 角 变徵 徵 羽 变宫 1 2 3 4 5 6 7 i C``D``E` F`` G ``A` B``C#
2、律制： 从一个音出发，如何找出音阶中的每 一个音而形成一种“音律”，可以有不同的生律 方法，从而形成不同的律制.
主要有五度相生法——三分损益法（《管子》），还有明朝王 子研制的十二平均律（朱载堉）最为常用，乐器之王—钢琴就 是用十二平均律来制定的。
2） 三分损益法、五度相生律
古希腊哲学家和音乐理论家毕达哥拉斯倡导了一种音 律—五度循环律，而且这种音律与中国黄帝时代的古 律不谋而合，是一种十二不平均律，又叫五度相生律. 还有一种追求谐和的纯律，也是一种不平均律，它 以追求各音的频率为小的整数比为原则.
方法：在弦上欲求一已知音的上方五度音，就将发 出该音的弦长减去三分之一。欲求其下方四度音， 则减三分之一。例如发出宫音的数值为3，则4为 下方音（徵音）的数值，而其上方五度音（徵音） 的数值为2。次法初见于《管子》一书，用以求五 音。后《吕氏春秋》又用于求十二律。
一、音乐的四要素
1、音调可用声波的频率描述，一般来说，发声体的振动频率 越高，人们听起来的音调也就越高;发声体的振动频率越低， 人们听起来的音调也就越低.在中频段，频率与音调基本上有 一个一一对应的关系.确切地说，音调取决于声波的主频率 2、响度可用声波的振幅描述，音的能量越高，声强越大，听 起来响度就越大. 3、音长为音的时值即音的长短，由发音体的振动持续时间的 长短决定，发声体振动的持续时间长，则发出的音长;发声体 振动的持续时间短，则发出的音短.时值的单位就是我们熟悉 的“拍”子. 4、音色的主要因素是声波的频谱(声波包含的各种振动的频率、 振幅和相位).
四、音律：音高和频率之间的关系
1、音阶：关于音高的区别，可以用音程来说明.把频 率之比恰等于2的两个纯音叫做相差八度(如1与i的频 率比为l:2)，一个八度音之间的音按频率顺序排列， 称为音阶.一个八度之间有五个音的称为五声音阶， 其中有七个音的称为七声音阶，有十二个音的叫十二 声音阶。 五音就是宫、商、角、徵、羽，再加上变宫、变徵， 就构成了七音，与今天的七音阶、十二音阶对比是：
二、唱名、音名
1、记谱有许多种方法，而我们熟知简谱：1(do)，3(mi)， 5(so)……称为七声音阶的唱名.同一个唱名只有在确定了调 式（十二调）之后才有一定的音高.就是说，唱名的音高是 不固定的.固定的音高用音名表示. 2、音名为“C、D、E、F、G、A、B”，它们有各自的频率， 在钢琴(图2)上有确定的位置.而唱名则不同，C调的“do”， 和G调的“do”，都记为“l”，然而这两个都记为“1”的音 并不是同一个音高的.G调的唱名“l”相当于C调的唱名“5”， 这两个音的音高才是一致的，如此等等.但在同一调式之下， 唱名之间的频率比一定。
吕"。这种音的生成方法就称为"三分损益法"。而在西洋音
乐理论中称之为"五度相生律"。古代最早记载生律方法的书 是《管子· 地员篇》。而最早记载十二律生律法的是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ吕氏
春秋》。
*古代还有八音，是对乐器的统称，包括金（钟等）、 石（磬等）、丝（琴瑟等）、竹（管、箫等）等八 类，每类包括若干种乐器，如《石钟山记》“而大声 发于水上，噌吰如钟鼓不绝”，“噌吰者，周景王 之无射也，窾坎镗鞳者，魏庄子之歌钟也”。“无 射”就是无射钟，因为此钟合于无射律；歌钟就是 编钟，它常用于歌唱伴奏，所以称为“歌钟”。 中国民族乐器是中国音乐必不可少的组成，经数千年 发展形成了品种众多，曲目丰繁的态势，大致可分 为合奏与独奏两大类。合奏乐器多为锣鼓、锁呐、 二胡、琵琶、扬琴、三弦、笛、笙、箫等等。独奏 乐器通常以古琴、琵琶、二胡、板胡、笛子、筝等 为主。
中国古乐中的六律，就是指古乐的十二个调，它包括黄钟、 无射等六个阳律以及大吕等六个阴律，十二律不但各有特定 的名称，而且还有固定的音高，如黄钟相当于今天西乐的C 调，无射相当于A调等。
十二律：
黄钟 大吕 太蔟 夹钟 姑洗 仲吕 蕤宾 林钟 夷则 南吕 无射 应钟
C C# D bE E
F F# G
bA A bB B
二、弦振动与弦乐器
1、基本原理 所有的乐器可以看作一种物理仪器 乐器=发声源（弦、膜、管）+共鸣腔
2、弦振动
1）音高:弦乐器激声器的核心是两端固定的 弦，在弦振动的驻波实验中，弦长L等于半 波长的整数倍， 出现形状稳定的波腹和波节，这种振动常称为两端 固定的弦的本征振动.
n=1时的本征振动所对应的频率最低，称为基频. 对于这种横波振动的基频。
当几个音同时发声时，所融合成的一个和 音—和弦，极大地丰富了乐音的色彩.和弦的 重要意义在于它的和谐程度，一个和谐的和 弦给人以安宁、平和、简单的感觉，而一个 不和谐的和弦使人感到紧张、压迫、沉重. 如果说“乐”是人类追求的完美的精神境界， 那么自古以“和”一直是音乐审美的最为人 崇尚的理想境界，或者说是最理想的审美范 畴.而音声之“和”有着深刻的乐律学的意义.
四、音程的感情和弦
人类的耳朵除了对基频外，较易听辨的就 是二倍(频率)音、三倍音和四倍音.所以当 一个基频为fl:f2:f3=400:500:600的三个 音同时发声时，各音的二次谐频，三次谐 频，四次谐频被加强，听感就变得和谐、 明亮.而频率比不是简单整数比关系的音 同时发声就没有上述的重叠效果，因 而听感也就无和谐感.
德国音乐理论家亥姆霍兹在《论音乐感觉—乐理 的心理学》中写到:“在中国人中，据说有个王子叫 朱载的，他在旧派音乐家的反对中，倡导七声音 阶.把八度分成十二个半音，以及变调的方法，都 是这个有天才和能干的民族所发明出来的.”
主要论点是：①一切科学都可以归结到力学。② 强调了牛顿力学和拉格朗日力学在数学上是等价 的，因而可以用拉氏方法以力所传递的能量或它 所作的功来量度力。③所有这种能量是守恒的。 亥姆霍兹发展了迈尔（Julius Robert Mayer）、 詹姆斯· 普雷斯科特· 焦耳（James Prescott Joule）等人的工作，讨论了已知的力学的、热 学的、电学的、化学的各种科学成果，严谨地论 证了各种运动中能量守恒定律。这次讲演内容后 来写成专箸《力之守恒》出版。在柯尼斯堡工作 期间，亥姆霍兹测量了神经刺激的传播速度，发 表了生理力学和生理光学方面的研究成果。在 1851年他发明了眼科使用的检眼镜，并提出了这 一仪器的数学理论。1855年他转到波恩大学任解 剖学和生理学教授，出版了《生理学手册》第一 卷，并开始流体力学的涡流研究。1857年起，他 担任海德堡大学生理学教授。他利用共鸣器（称 亥姆霍兹共鸣器）分离并加强声音的谐音。1863 年出版了他的巨著《音调的生理基础》。