第五章 数值积分

第五章 数值积分
近似计算 I = ∫ a f ( x )dx §5.1 机械求积 公式
一. 数值积分的基本思想 将f(x)用简单函数近似代替是构造数值积分的基本思想. ( )用简单函数近似代替是构造数值积分的基本思想. 1. 矩形公式: 用水平线段 y=f(θa+(1- θ)b) 近似代替曲线 矩形公式 y=f(x), x ∈[a, b].
三. 插值求积法
思 利用插值多项式 P ( x ) ≈ f ( x ) 则积分易算。 利用插值多项式 n 则积分易算。 路 在[a, b]上取 a ≤ x0 < x1 <…< xn ≤ b，做 f 的 n 次插值 上取 ， 多项式 Ln ( x ) = ∑ f ( x k )l k ( x ) ，即得到
3 i
解：因为当 (i = 0,1, 2, 3)时 ,
9 81 ∫0 x dx 分 别 为3, 2 , 9和 4 , 故要公式具有3次代数精度 次代数精度， 故要公式具有 次代数精度，则必须有
A0 + A1 + A2 + A3 =3, 解此方程组得： 解此方程组得： A1 + 2A2 + 3A3 = 9 , 3 9 9 3 2 A0 = , A1 = , A3 = , A4 = . 8 8 8 8 A1 + 4A2 + 9A3 =9, 81 故所求公式为： 故所求公式为： A1 + 8A2 + 27A3 = . 4 3 3 9 9 3 ∫0 f ( x )dx ≈ 8 f (0) + 8 f (1) + 8 f (2) + 8 f (3).
公式： 复合 Simpson 公式： h =
b−a , xk = a + k h n
( k = 0, ... , n)
∫
x k +1 xk
f ( x ) dx ≈
h [ f ( x k ) + 4 f ( x k + 1 ) + f ( x k +1 )] 2 6
2
xk
xk+1
x k +1
∫
b
a
n −1 n −1 h f ( x )dx ≈ [ f ( a ) + 4∑ f ( x k + 1 ) + Baidu Nhomakorabea∑ f ( x k +1 ) + f ( b )] 2 6 k =0 k =0
b
∫
b
a
f ( x)dx ≈ (b − a) f (θ a + (1 − θ )b), θ ∈[0,1].
特别地，对应于θ 左矩公式、 特别地，对应于θ＝1，1/2和0, 该公式分别称为左矩公式、 ， 和 该公式分别称为左矩公式 中矩公式和右矩公式。 中矩公式和右矩公式。
2. 梯形公式 梯形公式:
b3 − a 3 b − a 2 [a + b 2 ] ∴代数精度 = ≠ 代入 P2 = x2 ： a x dx = ∫ 3 2
b 2
1。 。
试确定一个具有3次代数精度的公式 习题4.23， ， ） 例5.1.1: 试确定一个具有 次代数精度的公式（习题 ，5.7，5.8）
∫
3 0
f ( x )dx ≈ A0 f (0) + A1 f (1) + A2 f (2) + A3 f (3).
= Sn
b−a R[ f ] = − 180
h f 2
4
(4)
(ξ )
为偶数， 注：为方便编程，可采用另一记法：令 n' = 2n 为偶数， 为方便编程，可采用另一记法： 这时 h′ = b − a = h , xk = a + k h′ ，有
h′ Sn = [ f (a) + 4 ∑ f ( xk ) + 2 ∑ f ( xk ) + f (b)] 3 odd k even k
二. 复合求积公式
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 现象， 高次插值有 分段低次合成的求积公式称为复合求积公式 复合求积公式。 ⇒ 分段低次合成的求积公式称为复合求积公式。 复合梯形公式： 复合梯形公式： h =
b−a , xk = a + k h n ( k = 0, ... , n)
k =0 n
∫
b a
f ( x )dx ≈ ∑ f ( x k ) ∫ l k ( x )dx
b k =0 a
n
Ak
误差 R[ f ]
= ∫ f ( x)dx− ∑Ak f ( xk )
b a k=0
n
Ak = ∫
b a
决定， 由节点 决定，= b[ f ( x) − L ( x)]dx = bR ( x)dx n ∫a n ∏ j ≠ k ( xk − x j ) dx 与 f (x) 无关。 ∫a 无关。 (n+1) bf (ξx ) n
f(a) a b
f(b)
3. 抛物线公式 设x0为a和b的中点，用过点 抛物线公式: 的中点， 和 的中点 用过点A(a, f(a))， C(x0, ， f(x0)) 和B(b, f(b))的抛物线近似代替曲线 的抛物线近似代替曲线 的抛物线近似代替曲线y=f(x), x ∈[a, b].
∫
b
a
b−a a+b f ( x )dx ≈ [ f (a ) + 4 f ( ) + f (b )]. 6 2
§5.2 Newton-Cotes 公式
Newton-Cotes 公式 即为等距节点时的插值型求积公式。 公式: 即为等距节点时的插值型求积公式。
一. 一般情形及其梯形和抛物线公式
b−a 当节点等距分布 等距分布时 当节点等距分布时： xi = a + i h, h = n , i = 0, 1, ... , n
~
~
7 1 T8 = f ( 0) + 2∑ f ( x k ) + f (1) 解： 16 k =1
运算量基 本相同
k 其中 xk = 8
= 3.138988494
S4 = 1 f ( 0 ) + 4∑ f ( x k ) + 2 ∑ f ( x k ) + f (1) 其中 xk = k 24 odd even 8
b
f ( x )dx ≈
( n = 2: C 0 2 ) =
1 2 1 (2) (2) , C1 = , C 2 = Simpson公式 公式 6 3 6 b b−a f ( x)dx ≈ [ f (a) + 4 f ( a +b ) + f (b)] 2 ∫a 代数精度 = 3 6
1 5 (4) b−a R[ f ] = − h f (ξ ) , ξ ∈ ( a , b ) , h = 90 2 ( b - a ) 5 (4 ) f (ξ ) , 或 R[ f ] = − ξ ∈ (a,b ) . 2880
n′
2
收敛速度与误差估计： 收敛速度与误差估计： 定义5.2.1: 定义 若一个积分公式的误差满足
lim
h→ 0
R[ f ] =C <∞ hp
阶收敛的 且C ≠ 0，则称该公式是 p 阶收敛的。 ， Tn O (h 2 ) , S n O (h 4 ) 1 4 dx 例5.2.1：计算 π = ∫ 0 ： 2 1+ x
b−a f ( x )dx ≈ [ f ( a ) + f ( b )] 2
定理5.1.1：形如 ∑ Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度 ： 定理 b k =0 ⇔ 该公式为插值型求积公式（即：Ak = ∫a l k ( x )dx ） 公式为插值型求积公式（ 插值型求积公式
个节点的插值型求积公式仅有n 注：定理并不表明n+1个节点的插值型求积公式仅有 次代 定理并不表明 个节点的插值型求积公式仅有 数精度。 公式有3个节点 数精度。如Simpson公式有 个节点，却具有 次代数精度。 公式有 个节点，却具有3 次代数精度。
(x − xj) Ai = ∫ ∏ dx x0 ( xi − x j ) j≠i
xn
令
x =a+th
=∫
n 0
(t − j) h ( b − a )( − 1) n − i ∏j ( i − j ) h × h dt = n i ! ( n − i )! i≠
∫ ∏ ( t − j )dt
n 0 i≠ j
变步长梯形求积公式(习题 习题4.21，22） 一. 变步长梯形求积公式 习题 ， ）
1 b−a 2i − 1 T2k = T2k −1 + k ∑ f [a + k (b − a )], k = 1, 2,... 2 2 i =1 2
例如: 例如
2 k −1
1 b−a b−a T1 = T0 + f (a + ) 2 2 2 b−a [ f (a ) + f (b)] T0 = 2
上用梯形公式： 在每个 [ xk −1 , xk ] 上用梯形公式：
xk − xk −1 [ f ( xk −1 ) + f ( xk )] , k = 1, ... , n ∫xk−1 2 n n−1 b h h f ( x)dx ≈ ∑ [ f ( xk −1 ) + f ( xk )] = f (a) + 2∑ f ( xk ) + f (b) ∫a 2 2 k =1 k =1
= 3.141592502
§5.3 变步长求积公式及其加速收敛技巧
Q: 在使用复合梯形公式和复合 在使用复合梯形公式和复合Simpson公式时，给定精度 ε， 公式时， 公式时 这种步长的选择是件困难的事情。 如何选取等分次数 n ? 这种步长的选择是件困难的事情。 通常采取将区间不断对分的方法， 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i， ， 可查表得到。 可查表得到。与 f (x) 及区 均无关。 间[a, b]均无关。 均无关
Cotes系数 C i( n ) 系数
n = 1: C
(1 ) 0
1 = , 2
C
(1 ) 1
1 = 2
梯形公式
b−a [ f (a ) + f (b)] ∫a 2 代数精度 = 1 b f ′′(ξ ) （ 令 x = a+th, h = b−a, 用积 − x R[ f ] = ∫ ( x − a)( x − b) dx a 分中值定理 ） 2! 1 3 b−a ′′(ξ ) , ξ ∈ [a , b] , h = =− h f 12 1
xk
f ( x )dx ≈
= Tn
R[ f ] = ∑ [ −
k =1
n
h h f ′′(ξ k )] = − ( b − a ) k =1 12 12 n
3
2
∑ f ′′(ξ
n
k
)
(介值定理 介值定理) 介值定理
h2 = − ( b − a ) f ′′(ξ ), ξ ∈ ( a , b ) 12
用过点A(a, f(a)) 和B(b, f(b))的线段 用过点 的线段 f (b) − f (a ) y = f (a ) + ( x − a) b−a 近似代替曲线y=f(x), x ∈[a, b]. 近似代替曲线 f(x) b b−a ∫a f ( x )dx ≈ 2 [ f (a ) + f (b)].
其中x 称为求积节点 求积节点， 称为求积系数 求积系数， 其中 k称为求积节点， Ak称为求积系数，它们只与节点有关 无关。 机械求积公式。 与f(x)无关。这样的公式称为机械求积公式。 无关 这样的公式称为机械求积公式
二. 代数精度法
定义5.1.1: 若某个求积公式对 f(x)=xk (k=0,1,…,n) 精确成立，但 精确成立， 定义 不精确成立，则称此求积公式的代数精度 代数精度为 对 f(x)=xn+1不精确成立，则称此求积公式的代数精度为n 。3.16 b−a b [1 + 1] 如梯形公式： 如梯形公式： 代入 P0 = 1：a 1 dx = b − a = ： ∫ 2 2 2 b b−a b −a [a + b] 代入 P1 = x ： a xdx = = ∫ 2 2
公式。 抛物线公式又叫 公式 注：抛物线公式又叫Simpson公式。
这些公式的共同形式是利用f(x)在[a,b] 的若干个点xk上的值进 这些公式的共同形式是利用 在 的若干个点 行加权平均，其一般形式为： 行加权平均，其一般形式为：
∫
b a
f ( x ) dx ≈
∑A
k=0
n
k
f ( x k ).
( x− x j )
=∫
a
(n +1)!
∏(x − x )dx
k=0 k
x−b x−a f (a ) + f (b ) 对于[a, 上 次插值 次插值， 如：对于 b]上1次插值，有 L1 ( x ) = a−b b−a
这是梯形公式。 这是梯形公式。 梯形公式
n
b−a A1 = A2 = 2
∫
b
a