浅谈数学思想和数学方法

山西师范大学现代文理学院本科毕业论文浅谈中学数学思想和数学方法
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浅谈中学数学思想和数学方法
内容摘要
近年来随着我国教育事业的发展，人们越来越重视对数学教育的研究，数学教学大纲也在不断的改进。

而数学的核心成分是数学思想和数学方法，掌握数学思想和方法比掌握数学知识更加重要。

本文就数学思想和数学方法的概念，两者之间的区别和联系，它们的基本种类及在题目中的应用进行了简单的研究，以加强对数学知识的理解性记忆和数学能力、数学素质的提高。

数学思想和方法是对数学内容的高度的概括和总结。

掌握数学思想和方法，有利于培养学生创新思维和发散思维，加深学生对数学的迁移和应用，提高处理在自然和社会中出现的数学问题的技巧和能力。

【关键词】数学思想数学方法种类应用
Plain talk middle school mathematical thought and
mathematical methods
Abstract
In recent years, with the development of education in our country, there is a growing emphasis on the study of mathematics education, mathematics syllabus are constantly improving. The core component of the mathematics is mathematical ideas and mathematical methods to grasp mathematical ideas and methods to grasp mathematical knowledge are more important. Simple concept of mathematical thinking and mathematical methods, the difference between the two and their basic types and title, in order to strengthen the understanding of memory and math ability of mathematical knowledge, mathematical qualities improved.
Mathematical ideas and methods are the height of summary of the mathematics content. Mastering them is benefit for students' creative thinking and divergent thinking, deepen student migration and application of mathematics, and improve the skills and ability to deal with mathematical problems in the natural and social.
【Key Words】Mathematical thought Mathematical method kinds application.
目录
引言 (1)
一、数学思想和数学方法 (1)
二、数学思想及应用 (2)
（一）化归的思想 (2)
（二）数形结合的思想 (3)
（三）函数和方程的思想 (4)
（四）分类讨论的思想 (4)
三、数学方法及应用 (5)
（一）待定系数法 (5)
（二）数学归纳法 (6)
（三）反证法 (7)
（四）三角法 (8)
（五）构造法 (8)
四、小结 (10)
参考文献 (10)
致谢 (11)
浅谈中学数学思想和数学方法
学生姓名： 指导教师：
引言
数学作为一门科学，是人们从数学活动中总结出来的。

数学可以分为三个部分：数
学知识、数学思想和数学方法①。

这三部分中，数学思想最重要，是数学的灵魂，数学方法是数学的外在表现形式，数学知识则是基础部分。

数学思想和数学方法是对数学内容的高度的概括和总结，是人们在长期的社会实践中提炼出的抽象的思维形式.作为数学的核心，数学思想和数学方法是整个数学的基础部分，是对数学在应用领域的归纳和总结，是对数学本质的深刻认识.它比数学知识更具有普遍性，可以应用到社会生活中的各个领域，是人们处理不同问题的方法和手段。

《全日制普通高级中学数学教学大纲》中对中学生应掌握的基础知识作了明确规定，要求中学生必须掌握定理、公式中反映出来的数学思想和数学方法。

一、数学思想和数学方法
数学思想是指“识之中经过思维活数量关系反映到人的意现实世界的空间形式和
动而产生的结果”，是贯穿于数学领域的具有概括性、抽象性的内容。

它是在基础数学知
识和理论的基础上，为了数学教育而发展和壮大起来的，并日渐趋于完善。

中学阶段接触到的数学思想都比较简单，有化归的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、数形结合的思想等等.这些数学思想形成了一个整体化的数学思想系统.其中,化归的思想是其核心部分。

数学方法是数学思想的外在表现形式，指人们利用数学思想解决数学问题的手段、途径，并从这些途径中抽象出的操作性强的规则和模式。

数学方法是数学思想的外化形式，注重程序性，可操作性。

在中学阶段，经常用到的数学方法有反证法、待定系数法、数学归纳法等。

通常人们习惯把数学思想和方法统为数学思想方法，将两者混为一谈，这是不对的。

数学思想和数学方法两个不同的概念，它们有相同点，也有不同点。

数学思想和方法是不同的，它们表现的方式不同。

通常,数学思想注重理论知识,是人们对数学理论与内容的本质认识,指引着数学活动的完成。

而数学方法则倾向于技巧性,是解决某一数学问题的具体途径，有一定的规则性。

因此可以认为,数学思想是内容,方法是形式。

数学思想和方法虽然各有其特点，但它们之间也是相互联系的。

数学思想是数学方法产生的基础,指导数学方法的实施；而数学方法蕴含在数学思想之中，是数学思想的具体表现形式，而且数学方法在的使用又可以进一步完善数学思想。

总之，两者相辅相
呈，共同组成数学的一部分。

二、数学思想及应用
在中学阶段，接触到的数学思想有：化归的思想、数形结合的思想、函数和方程思想、分类讨论的思想这四种。

（一）化归的思想
把所要解决的问题通过一系列步骤化为已经解决了的或者较为简单的问题去处理的思想就是化归的思想。

化归的思想是数学思想的重要组成部分，是解读数学思想的一把钥匙。

化归的进程，一般是：划归—定向—联想—分析—观察．如表1： 表1：
例1 、求实数x ,使
x
x 1
-
+
x
11-=x .
①
分析：由b c a 2=+,可以联想到等差中项的概念，即2
x
是
x
x 1-
、
x
11-的等差
中项，变
x
x 1-
、
x 11-
成d x -2、d x
+2。

解：
x
x 1-
+
x 1
1-=22x ⋅，
∴2
x
是
x
x 1-，
x
1
1-
的等差中项. 设
x
x 1-
=2
x
d - ①， x 11-=2
x
d + ○2
○
22-○12,得2
121-=x d ○3
○3代入○1，整理得2
11
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--x x =0， 解得2
5
1±=
x . x ＞0，∴ 2
5
1±=
x . （二）数形结合的思想
数形结合是根据数学题目中的条件和问题的联系，分析其中蕴含的代数信息和几何意义，结合相关公式定理将两者巧妙地结合在一起的方法。

既研究“数”的时候结合“形”，研究“形”时结合“数”，从而使问题简化。

例2、直线L 的方程为：x ＝－2p (p >0),椭圆中心D (2＋2p
,0)，焦点在x 轴上，长
半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A 。

问p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离？①
分析：由到点A 的距离等于到直线L 的距离，从而想到抛物线定义，进而将问题转化为抛物线和椭圆有四个交点，两方程联立求解。

本题将有交点的几何问题转化成方程有解的代数问题。

解：由已知得：a ＝2，b ＝1, A (
2
p
,0)，设椭圆与双曲线方程，有： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++-=14)]22([222
2y p x px
y ∴2
x －(4－7p )x ＋(2p ＋4
2
p )＝0
∴∆＝16－64p ＋482p >0,即32p －4p ＋1>0，得：p <3
1
或p >1。

结合范围(2p ,4+2
p )内两根，设)(x f ＝2
x －(4－7p )x ＋(2p ＋42p )，
∴
2p <274p -<4+2p 即p <21
，且)2(p f >0、
)2
4(p
f +>0即p >－4＋23。

∴－4＋23<p <31。

（三）函数和方程的思想
函数和方程的思想是两个概念。

函数思想，即利用函数去解决问题的方法，主要利
用函数的性质。

数量关系入手方程思想，只从问题的
，方法建立方程使问题解决的。

例3、（2012 山东卷）已知等差数列}{n a 的前5项和为105，且5102a a =. ⑴求数列}{n a 的通项公式；
⑵对任意*N m ∈，将数列}{n a 中不大于m 27的项的个数记为m b .求数列}{n b 的前m 项和m S .
解：⑴由已知得： ⎩⎨⎧+=+=+)4(29105
105111d a d a d a
解得1a =7，1d =7，
∴通项公式为n n a n 77)1(7=⋅-+=.
⑵由m n n a 277≤=，得127-≤m n ， 即127-=m m b .
497
712121==-++m m k k b b ， ∴}{n b 是公比为49的等比数列，
∴()
()
14948
74914917-=--=n m m S
（四）分类讨论的思想
分类讨论的思想，当问题出现多种情况无法继续综合分析时，需要对各种情况加以
分类，求出各种情况下的结论的思想。

注意：分类对象的确定性，标准的统一性，划分
科学性，做到不遗漏、不重复。

例4、设1<a ,集合 }{0>∈=x R x A {R x B ∈=}06)1(322>++-a x a x ,B A D =, 求集合D （用区间表示）；（2012 广东理）. 解：B :06)1(322>++-a x a x
因为[])13)(3(3624)1(32
--=⨯⨯-+-=∆a a a a ，且1<a ，所以可分以下三种情况：
○
1当13
1<<a 时，0<∆，此时R B =，),0(+∞==A D . ○2当31=a 时，0=∆，此时}{1≠=x x B ，),1()1,0(+∞= D . ○3当3
1<a 时， 0>∆，此时06)1(322=++-a x a x 有两根，设为1x 、2x ，且1x <2x ，则4)13)(3(3)1(31---+=
a a a x ，4
)
13)(3(3)1(32--++=a a a x
于是{1x x x B <=或}2x x >. 当310<
<a 时，0)1(2
3
21>+=+a x x ，0321>=a x x ，所以012>>x x ，此时),(),0(21+∞⋃=x x D ；当0≤a 时，0321≤=a x x ，所以0,021>≤x x ，此时),(2+∞=x D .
综上所述，当131<<a 时，),0(+∞==A D ；当31=a 时，),1()1,0(+∞= D ；
当31
0<<a 时，),(),0(21+∞=x x D ；当0≤a 时，),(2+∞=x D .其中4)
13)(3(3)1(31---+=a a a x ，
4
)
13)(3(3)1(32--++=
a a a x .
三、数学方法及应用
等几种方法、数学归纳法、三角法数学方法有待定系数法在中学阶段经常用到的。

下面就常用的几种方法做出分析。

（一）待定系数法
待定系数法就是根据题目中所给变量的函数关系，设出未知数，然后根据题目要求确定未知数的方法。

主要是寻找关系式。

例5、已知函数1
3422+++=x n
x mx y ,[]1,7-∈y ,求n m ,。

解 变形为：()0)(342=-+--n y x x m y ，由已知得0≠-m y .
0))((4)34(2≥----=∆∴n y m y 即 )12()(2-++-mn y n m y 0≤ ○
1 不等式○
1的解集为(-1,7)，则－1、7是方程)12()(2-++-mn y n m y ＝0的两根，代入得：⎩⎨⎧=-++-=-+++012)(749012)(1mn n m mn n m 得⎩⎨⎧==15n m 或⎩⎨⎧==51
n m
（二）数学归纳法
数学归纳法可以用来证明与n (n ∈N ）相关的命题。

过程分三步：第一步是证明当n =0n （0n =0或1）时结论成立；第二步是假设在n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立；第三步，由第一、二步就可以断定对一切n ≥0n 的自然数结论都正确。

运用数学归纳法证明问题时，关键是第二步的推理，在这步要正确的推导和运算，
逐步缩小自己解得的结果与结论之间的差距，从而证明题目结论的成立。

例6、（2012 重庆）设数列}{n a 的前n 项和n S 满足121a S a S n n +=+，其中02≠a 。

求证：}{n a 是首项为1的等比数列；
证明：用数学归纳法证明1
2
-=n n a a
当1=n 时，1122a S a S += ，得11221a a a a a +=+，得122a a a =，又02≠a ，得11=a ，所以结论成立。

假设k n =时命题成立， 1
2
-=k k a a 。

则，
k k k S S a -=++11=()-+12a S a k ()112a S a k +-=)(12--k k S S a =k a a 2=k
a 2
所以1+=k n 时，结论也成立。

例7、数列}{n a 通项公式是n n n a 23-=，*N n ∈，且11=a .证明：对一切n *∈N ，有
2
31...1121<+++n a a a . 证明：因为n n n n n 2223233111=⋅≥⋅=----，所以1323-≥-n n n ，所以
13
1
1-≤n n a ○
1当1=n 时，左边111==a ，右边2
3
=，命题成立.
○2假设当k n =（2≥k ，N k ∈）时成立，即2
32311<-∑=k i i i 成立.为了证明当1+=k n 时命题也成立，我们先证明不等式：
11231++-i i <i
i 23131-⋅（1≥i ，N i ∈）. 要证11231++-i i <i i 23131-⋅,需证11231++-i i <i i 2
3311⋅-+,需证i i i i 23323111⋅->-+++，需证32->-，该式子明显成立，所以11231++-i i <i i 23131-⋅. 当1+=k n 时，∑∑∑===-+<-+-=-k i i i k i i i k
i i i 111231311231231231<2323311=⨯+,所以命题在1+=k n 时也成立.
综合○1○2，可得，对一切正整数n ，有2
31...1121<+++n a a a . （三）反证法
反证法不想前面介绍的方法，是一种间接论证的方法，在肯定题设的基础上否定结论，推出与假设矛盾的结论，从而证明原命题成立。

反证法证明分三步：
第一步：假设结论错误，推出相反的结论；
第二步：再假设的基础上，正确推导，找出矛盾；
第三步：假设不成立，证明原命题成立。

运用反证法作题时，一定要用假设进行推导。

如果证明的题目中出现“至少”、“至多”、“不全是”、“唯一”等这样的字眼时，可以尝试用反证法进行证明，进而使问题简单化、清晰化，即正难则反。

常见的否定有： 至多有一个−−→−反面
全都是，至少有一个−−→−反面都不，不全是−−→−反面全是，唯一−−→−反面至少有两个。

例8、若下列方程：03442=+-+a ax x ，0)1(22=+--a x a x ,0222=-+a ax x 至少有一个方程有实根。

求实数a 的取值范围。

①
分析:至少有一个方程有实根，反面就是：三个方程都没有实根。

先求出反面情况时a 的范围，再求补集就是所要的答案了。

解:设三个方程都没有实根，则有： ⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<-+=∆0)2(4404)1(0)34(41623
22221a a a a a a
① 选自陈彤，陈淑珍，高中代数常用解题方法[M],东方出版中心，2003，8,19-21.
解得： ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<>-<<<-02,3112123a a a a 或 即123-<<-a 所以当2
31-≤-≥a a 或时，三个方程至少有一个方程有实根。

例9、已知等差数列a 、b 、c 中的三个数都是正数，且公差不为零。

求证：它们的倒数组成的数列a 1、b
1、c 1不可能是等差数列。

分析：本体的题断是否定式，可以用反证法证明。

证明：假设a 1、b
1、c 1成等差数列，则-b 1a 1=-c 1b 1，即cb c b ab b a -=-。

因为0≠-=-c b b a ，0,0,0>>>c b a ,所以bc
ab 11=，即a =c 。

这与a 、b 、c 是公差不为零的等差数列矛盾，故a 1、b
1、c 1不可能是等差数列。

（四）三角法
所谓三角法,就是把所求问题转化为含有三角函数问题的方法.使复杂问题简单化,从而更好的解题。

再用三角法解题的时候,要特别注意化为三角函数后未知量的取值范围,慎重审题.
例10、 设R y x ∈、且x y x 62322=+，求22y x +的范围。

解：对条件和结论都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
由x y x 62322=+得132)1(22=+-y x ，设⎪⎩
⎪⎨⎧==-ααsin 26cos 1y x ，则 22y x +＝=+++ααα22sin 23cos cos 21αα2cos 2
1cos 2231-++ ]4,0[2
5cos 2cos 212∈++-=αα 所以22y x +的范围是：4022≤+≤y x 。

（五）构造法
构造法是这些数学方法中最难掌握的一种方法，它要求根据题目的要求，以结论作为思考的方向，寻找新的思维形式的数学方法。

构造法适用于常规思维解决不了的问题。

构造法的使用，需要大量的做题技巧和发散的思维形式，而且基础知识必须扎实，对学生的综合能力要求很高。

例11、已知函数)(x f y =是自原点出发的一条折线。

当1+≤≤n y n （n =1,2，…）时。

该图像是斜率为n b 的线段（其中正常数1≠b ），该数列{}n x 由n x f n =)(（n =1,2，…）定义。

⑴求：1x 、2x 和n x 的表达式。

⑵求)(x f 的函数表达式，并写出其定义域。

⑴解：由题意得，0)0(=f ，又由1)(1=x f ，当10≤≤y 时，函数)(x f y =的图像是斜率为10=b 的线段，故由10
)0()(11=--x f x f ，得，1x =1. 又由2)(2=x f ，当21≤≤y 时，函数)(x f y =的图像是斜率为b 的线段，故由
b x x x f x f =--1212)()(得， b x 112+=。

设00=x ，由函数)(x f y =的图像中第n 段线段的斜率为1-n b ，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f 。

又n x f n =)(，1)(1-=-n x f n ，所以1
11--⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-n n n b x x （n =1,2，…）。

由此可知数列{1--n n x x }为等比数列，其首相为1，公比为
b 1。

因1≠b ，得=n x )(...)()(01211x x x x x x n n n n -++-+----=1)1(1
---b b b n 。

⑵欲求)(x f y =的表达式，由于其图像为折线，因而)(x f y =应是分段函数。

要求函数定义域，需对n x 的取值范围进行分类讨论，即需考察当∞→n 时n x 的极限。

当10≤≤y 时，从（1）可知x y =，即当10≤≤x 时，)(x f =x ；当1+≤≤n y n ，即当1-≤≤n n x x x 时，由（1）可知)(x f =)(n n x x b n -+ （1-≤≤n n x x x ，n =1,2，…）
为求函数)(x f 的定义域，须对1
)1(1
--=-b b b x n n （n =1,2，…）求极限 当1>b 时,=∞→n n x lim ∞→n lim 1
)1(1
---b b b n =1-b b ; 当10<<b 时, =∞→n n x lim ∞→n lim 1
)1(1
---b b b n ∞→.
综上，当1>b 时，)(x f y =的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-1,0b b ；当10<<b 时，)(x f y =的定义域为[]+∞,0。

四、小结
本文主要对数学思想和方法进行了简单的分析,加深对数学思想和方法本质的深层次的理解,使在做题和处理数学问题时可以灵活运用相关的数学思想和方法，提高数学素质。

参考文献
[1]陈彤，陈淑珍，高中代数常用解题方法[M],东方出版中心，2003，8,19-21.
[2]王培德，数学思想应用及探究—构建教学[M]，人民教育出版社，2003, 56-78.
[3]赵小云，叶立军，数学化归思维论[M]，科学出版社，2005,5-9.
[4]刘晓玫，谈数学思想方法在数学教育中的作用[J]，首都师范大学学报，2012第2期.
[5]马学芝，对数学思想和方法几个问题的探讨[J]，数学通报，1994第7期.
致谢
历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中虽然遇到了无数的困难和障碍，但都在同学和老师的帮助下安然度过。

为此，我要强烈感谢我的论文指导老师—安立坚老师，他对我论文题目的选定、论文写作和修改进行了无私的指导和帮助。

感谢这篇论文所涉及到的各位学者。

本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。

由于本人的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，敬请各位老师和学友批评、指正。