关于矩阵的可逆性探讨 (1)

上海大学2011～2012学年冬季学期课程论文

课程名称：线性代数与几何课程编号：01014108 论文题目: 关于矩阵的可逆性探讨

作者姓名: 学号: 成绩:

论文评语:

评阅人:

评阅日期:

关于矩阵的可逆性探讨

姓名：学号：

摘要：本文首先给出矩阵可逆的定义、性质，其次探讨矩阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及矩阵可逆的应用，特别是在编码、解码方面的应用。最后，本文对可逆矩阵进行了相应的推广。

关键词：矩阵矩阵的逆秩广义逆

正文：

引言

在这篇文章中涉及到一些线性代数中的专有符号，在此做些说明。r（A）

是矩阵A的秩、A

是矩阵A的行列式。写这篇文章主要是对矩阵的可逆性由来

及定义、性质、应用等等进行探讨。这篇文章的其余部分是这么编排的，章节一是矩阵的定义，章节二主要是逆阵的性质，章节三是逆矩阵的判定方法，接下来的章节四是逆矩阵的求法，章节五就是逆矩阵的应用，最后一个章节是对矩阵逆的推广。

章节一：矩阵逆的定义

首先，迎面而来的问题是逆矩阵是什么呢，我们为何要映入逆矩阵的概念。从以前学到的知识中我们知道，矩阵和复数相仿，有加、减、乘三种运算，为了要完善矩阵的运算，我们因此引入了矩阵的逆这个概念。

对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，A的逆矩阵记为1-A。

章节二：可逆矩阵的性质

1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆阵为B1-A1-，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。

2、若A可逆，则1-A也可逆，且()11--A

=A；

3、若A 可逆，数λ0≠，则A λ可逆，且

()111--=A A λλ； 4、若A 可逆，则T A 也可逆，且（T A ）1- =（A 1- ）T 。

5、A ()()'11'=--A .

6、逆矩阵还有一个性质，就是矩阵的逆是唯一的，下面给出相应证明： 这里运用反证法，如果A 是可逆矩阵，假设B,C 都是A 的逆，则有 AB=BA=E=AC=CA B=BE=B （AC ）=（BA ）C=EC=C （与B ≠C 矛盾） 所以是唯一的。

章节三：矩阵可逆的判定方法

矩阵可逆有如下若干充要条件：（A 为n 阶方阵）

1、存在B 为n 阶方阵，使得AB=I ；

2、对于PAQ=I 000r ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中r （A ）=n ；

3、0A ≠；

4、A 的行向量组线性无关；

5、A 的列向量组线性无关；

6、A 可表示成一系列初等矩阵的乘积；

7、A 可经过一系列初等行变换化成单位矩阵I ；

8、A 可经过一系列初等列变换化成单位矩阵I ；

9、对于齐次线性方程组 AX=0只有零解；

10、A 是非奇异矩阵。

章节四：矩阵的逆的求法

1、从初等变换角度

1(I)(I )A A -−−−−→ 行初等变换 具体方法是：欲求A 的逆矩阵时，首先由A 作出一个n n 2⨯矩阵，即)(E A ，其次对这个矩阵施以行初等变换(且只能用行初等变换)，将它的左半部的矩阵A 化为单位矩阵，那么原来右半部的单位矩阵就同时化为

1-A ：1

(I)(I )A A -−−−−→ 行初等变换或者⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A 列初等变换

注：在事先不知道n 阶矩阵是可逆的情况下，也可直接用此方法。如果在初

等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆。

2、从矩阵A 的伴随阵

（伴随矩阵）定义：

设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的

代数余子式)1,(n j i =，矩阵 ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫nn n n n n A A A A A A A A A

212221212111称为A 的伴随矩阵，记作A*。 定理 矩阵A 可逆的充分必要条件是0≠A ，并且当A 可逆时,有 *11A A

A =-。则根据本定理，也可计算出A 的逆阵。 这个定理不仅可以求一个矩阵的逆，并且还可以判断矩阵是否可逆，但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。

对伴随矩阵的小拓展：

伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；

伴随矩阵常用的性质 对于任意的方阵A 均有此伴随矩阵*A E A A A AA ==**使得。 当00,10***1====≠-A A AA A A A

A A 时：当时， 对于一般地方阵A ，其伴随矩阵*A 的秩为：

⎪⎩

⎪⎨⎧-≤-===2)(01)(1)()(*n A r n A r n A r n A r 若若若

当00,0*1*===≠-A A A A A n 时当时，。

由定理逆矩阵判定的方法还有：

推论1 n 级矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 的秩为n 。

推论2 矩阵A 可逆的充要条件是它的特征值都不为0。

推论3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是它的行(或列)向量组线性无关。

3、 初等变换法 （ 初等行变换 初等列变换 初等行列变换） 定义 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：

)1( 交换矩阵的两行(列)；

)2(以一个非零的数k 乘矩阵的某一行(列)；

)3( 把矩阵的某一行（列)的k 倍加到另一行(列)。

定理 方阵A 可逆的充分必要条件是A 可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。

4、待定系数法

具体说来，待定系数法也就是定义法的具体应用，假设出矩阵A 的逆阵B ，根据AB=I ，展开相乘再根据矩阵的相等就可解出逆阵B 的各元。

章节五：矩阵逆的应用（主要在编码、解码方面）

矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是基于利用可逆短阵的方法．先在26 个英文字母与数字间建立起一一对应，例如可以是

A B …… Y Z

…… …… ……

1 2 …… 25 26

若要发出信息“SEND MONEY ”，使用上述代码，则此信息的编码是19，5，

14，4，13，l 5，14，5，25，其中5 表示字母E ．不幸的是，这种编码很容易 被别人破译．在一个较长的信息编码中，人们会根据那个出现频率最高的数值而 猜出它代表的是哪个字母，比如上述编码中出现次数最多的数值是5，人们自然 会想到它代表的是字母E ，因为统计规律告诉我们，字母E 是英文单词中出现频 率最高的．

我们可以利用矩阵乘法来对“明文”SEND MONEY 进行加密，让其变成“密