双弹簧振子

运动状况与简谐振动的运动规律非常相似，我将之称为类简谐运动。 同样用类比法来探究书本习题（图 1-1）两物体的运动情况。令子弹打中物体 B 后，与物体
B 的合质量为 mB ，并看成一个整体，如下所示：
建立三个坐标:
（1）以 A 所在位置为原点, 沿弹簧水平向右建立第一个坐标 OX ； （2）以系统质心为坐标原点,沿弹簧水平向右建立第二个坐标 O1 X 1 ；
前静后动,前动后静的运动情况很象毛虫的弓身爬行。
总结 运用坐标系求解弹簧双“振子”的运动状态，能带来很大的方便，不仅描述十分清
晰，而且计算方便了许多，因此，对于多物体问题，可以尝试用建立坐标系的方法，可能 会带来了极大的便利。这里所说的建立坐标系和之前遇到的不同，即由原先的单一坐标系 建立转变为了多坐标系的建立，根据恒等式（在任何一个坐标系中都成立的等式）的联立，
关键词 动量守恒 机械能守恒 惯性参考系 非惯性参考系 简谐振动 类简谐振动 质心
的平动 合运动 类比法
引言 弹簧双振子的研究能帮助我们更好的理解多物体复杂运动的问题，能使我们对参考
系 的变化，对惯性参考系和非惯性参考系的应用有更深入的了解。同时，研究弹簧振子， 可以让我们更灵活的建立坐标系，找到更优方法解决多物体复杂运动问题。因此，研究弹簧 双振子问题还是很有帮助的。
坐标系的建立，它不是仅仅借用正方向列式子，而是利用物体对应的坐标求解，这样做的 有点在于可以依靠坐标系自动调整正负性，同时，也非常好理解。所以，在探究图 1-1 和图 2-1 中两物体是不是在做简谐振动时，可以利用坐标法，这也是本次探究最重要的出发点， 有了这个方法，解决此类问题方便了许多。
探究与证明
放置的光滑导轨上，两导轨间距为 d 。再以一劲度系数为 k 原长为 d 的轻质弹簧连接两滑块。 设开始时 mA 位于 xA 0 处， mB 位于 xB l 处，且初速度均为 0。试求释放后两滑块的最
大速度。
（2-1）
解：本题利用动量守恒、机械能守恒、建系，能够快速解决。本题值得借鉴的地方就在于 OX
（1-1）
（1）子弹打中 mB 前后瞬间，取 m0 mB ，因为所取系统所受合外力为 0，故动量守恒。
0 m0v0 (m0 mB )v1
1.1
（2）打中后，取 m0 mA mB ，由题易知，只有弹力做功，故机械能守恒。
0

0
1 2
(m0

mB )v12

1 2
k
2


mA mB mA
k
3.由上面式子得，两根弹簧作简谐振动的周期分别为：
TA 2
mA 2 kA
mAmB (mA mB )k
， TB
2
mB 2 kB
mAmB (mA mB )k
发现两者相等。可以得出这样一个结论，即无论在什么情况下，只要弹簧压缩（或伸长） 的方向和两物体运动的方向是共线的，都能得到两物体的运动周期是相等的。 4.进一步的分析可得到这样一些规律： ① 子弹打中后，系统的质心做匀速直线运动，物体 A、B 相对于质心做等周期的简谐运动 （结合运动学的知识，物体相对平面的复杂运动可视为随质心的平动和相对质心的简谐振
， lBC

mAl mA mB
在第（2）坐标系下，同样类比上面的方法处理可得（相对质心处理） FA k A (xA xAO ) ，
FB

kB (xB

xBO ) ，其中 k A

mA mB mB
k
， kB

mA mB mA
k
，所以两物体做简谐振动。
2. kA

mA mB mB
如图 3-1 所示，双振子系统中，弹簧的原长为 l ，劲度系数为 k ，物体 A 和 B 的质量分 别是 mA 和 mB 。初始时中间有一根绳子拉着两个物体，弹簧处于压缩状态，之后剪断绳子。
(3-1) 解：选取质心 C 为参考系（很容易知道，整个系统最特殊的是质心 C 点永远不动，故取质 心 C 为参考系，同时，易知该参考系为惯性参考系），以质心 C 处为原点（下同），水平向
FA k A (xA xAO ) ， FB kB (xB xBO ) 显然这两个式子中的 F 都是线性恢复力（平衡
分别为 xAO 、 xBO ），所以两物体相对于质心 C 做简谐振动。
那么在两物体任意一个物体上施加一个恒力，结果又会变成什么呢？ 假设恒力 F 作用于 A 上，方向向右，如图 3-2,所示，同样以质点 C 为参考系，由题意
（3）以 A 、B 的振动平衡位置为原点分别建立第三个向右坐标 O1A1 X 11 、 O1B1 X 11 ；
1.系统质心在第一个坐标系 0X 中位置 xC , 在弹簧自由伸展时其距离 A 为 lAC , 距离 B 为
lBC
,
有: mAlAC

mBlBC
， lAC
lBC

l
；得到 lAC

mBl mA mB
x
2 A
(mA

mB
)2
x
2 A

mB2 d
2
FB k cos kB xB kd
(x)2 (x)2 d 2
kB xB kd
(mA

mB
)2
Hale Waihona Puke Baidu
x
2 B
(mA mB )2 xB2 mA2 d 2
(x)2 (x)2 d 2
值随 x 增大而增大（趋向于 1）。由上面两式子通过简单分析易知，两物体
从书本习题到弹簧双“振子”——弹簧双“振子”运动问题的探究
陈跃
（浙江师范大学 数理与信息工程学院 物理 141 班 14180120）
摘要 我们在很多书中都可以见到这样一个模型：在光滑的某一平面上，一根弹簧左右分
别连着滑块，两物体由于某些原因开始运动，在弹簧的作用下，两物体到底是如何运动的呢？ 当弹簧压缩或伸长方向与两物体运动方向共线时，或者不是共线时，两物体的运动状态是不 是有所不同的呢？是不是都做简谐振动呢？实际上，通过进一步的探究，这个问题是有一定 规律的，研究不同情况下物体的简谐振动，能够得到一个“弹簧双振子模型” 中振子任意 时刻对地位置的公式。

FB

kB xB

(xBO

mAmB (mA mB )2 k
F)

（类比法的运用，类比图 3-1 的方法）
显然两物体相对于质心
C
仍然做简谐振动（平衡分别为
xAO

(mA
mB2 mB )2 k
F
、
xBO

mAmB (mA mB )2 k
F
）
同样用类比法来处理课外习题（图 2-1）中的问题，尽管第一反应两物体做简谐振动，但其 实不然，做的是类似简谐振动的运动。运动规律非常相似，但不是余弦式图像所描绘的运动， 而是近似于余弦式图像所描绘的运动。
任 来明晰的得到所需结果。通过对弹簧双“振子”的运动状况的探究，得出了一个结论，
意情况下，只要弹簧压缩（或伸长）的方向和两物体运动的
方向是共线的，都能得到两物体的运动为简谐振动运动。经过
动的合运动） ② 物体 A 速度取得最大值时,物体 B 的速度取得最小值；物体 A 的速度取得最小值时,物 体 B 的速度取得最大值 ③当弹簧的形变量(压缩量或伸长量)为最大时,滑块 A、B 具有共同的速度，且等于系统质 心的速度
④当 mA mB 时，物体 A 和 B 周期性地交替出现相等的最大速度和最小为零的速度. 这种
3.3
由上式得
xAO

mB mB mA
l
3.4
xAO

mA mB mA
l
3.5
xB
xA
mA mB mB
xA

mA mB mA
xB
3.6

(xBO

xAO) (xB
xA)
l

mA mB mB
xA

l

mA mB mA
xB
3.7
所
以
FA

k 2

书上习题 如图 1-1 所示，质量为 mA 和 mB 的物体以劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，置
于水平面上。最初弹簧自由伸张。质量为 m0 的子弹以速率 v0 沿水平负方向射于 mB 内，问 弹簧最多压缩了多少？（书本上见 P161 的 4-6-6，书本是用数据来处理的，我改为全字母问
题）
解：以地为惯性系，设 为弹簧压缩（伸长）量（下同），水平向右为正。
1 2
(m0

mB )vB2

1 2
m
Av
2 A
1.2
（3）全过程，取 m0 mA mB ，因为所取系统所受合外力为 0，故动量守恒。
0 0 m0v0 (m0 mB )vB m2vA
1.3
由 1.1、1.2、1.3
联立可得
(m0
mB )mA

m
2 A
v
2 A
压缩，产生弹力，由受力分析易得弹力阻碍 mB 前进，促进 mA 前进，显然当 vA vB ，两者
之间的间距是最短的，也就是压缩量最大的时候。所以上面的 1.2、1.3 可以改为
0

0

1 2
(m0

mB )v12

1 2
k
2

1 2
(m0

mB

mA )vB2
1.6
0 0 m0v0 (m0 mB mA )vB
知，质点
C 做加速度为 aC

mA
F mB
的加速向正方向运动的运动，故该参考系是非惯性系。
(3-2)
受力分析，类比上面的解题方法，并且令 k A

mA mB mB
k
、 kB

mA mB mA
k
，可以得到：
FA

kA xA

(xAO

(mA
mB2 mB )2 k
F)
先根据上面的结果来分析一下，当 取最大时，即把
m0v0
1 k
( m0
1
mB

m0

1 mA

mB
)
代入
1.4
中，发现得出的结果是 vA

vB
，也就是
说，当 vA vB 时，压缩的量是最大的。从物理角度分析，其实这是很好理解的，起初子弹
打到 mB 时，发完全生非弹性碰撞，使得 mB m0 有了一个水平向左的初速度，同时弹簧被
k
l


mA mB mB
xB



mA mB mB
k(xB

mB mA mB
l)


mA mB mB
k(xA

xAO )
FB

k 2

k l


mA mB mA
xB



mA mB mA
k(xB

mA mA mB
l)


mA mB mA
设质心 C 为参考系，质心显然不动，即为惯性系，如图 3-3 所示，按图上所设坐标系
及坐标列方程组求解得：（令 k A

mA mB mB
k
、 kB

mA mB mA
k
）
FA k cos k AxA kd
(x)2 (x)2 d 2
k AxA kd
(mA

mB
)2
2mAm0v0vA
(m0
mB )k 2

0
1.4
由于 vA
存在，故方程 1.4 有解，所以

4mA2 m02v02

4(m0

mB )k
2
(m0

mB )mA

m
2 A
0
m0v0
1( 1
1
)
k m0 mB m0 mA mB
1.5
但是只是通过数学角度处理出结果是有点麻烦的，所以可以从物理角度来看看这个问题。首
k ，kB

mA mB mA
k 每次都出现，实际上存在物理意义，即 A
、B
之间弹
簧可以看成 A 、B 至质心 C 的两根弹簧的串联,劲度系数分别为 k A 、 kB ， 弹簧自由伸展
时有： k AlAC

kBlBC

kl
，所以 k A

l l AC
k

mA mB mB
k
， kB

l lBC
k
k(xB

xBO )
令 kA

mA mB mB
k
，k B

mA mB mA
k
，可以得到
FA

k A ( xA

xAO )
，FB

kB (xB

xBO )
简谐振动的定义：作用于质点的力总是与质点相对于平衡位置的位移成正比，且指向平衡 位置，则此作用力为线性恢复力，质点在线性恢复力作用下围绕平衡位置的运动叫做简谐 振动。
右为 X 正方向。设：处于压缩时 A、B 的坐标分别为 xA 、 xB ，当弹簧处于自然状态时 A、 B 坐 标 分 别 为 xAO 、 xBO ， 如 下 图 所 示
根据题意，可以得到下列式子：
mAxA mBxB 0
3.1
mAxAO mB xBO 0
3.2
xBO xAO l
1.7
联立 1.1、1.6、1.7 可以快速得到 m0v0
1( 1
1
)
k m0 mB m0 mA mB
根据上面的计算分析还可以得到，当 取最大时，不仅 vA vB ，而且质心的运动速率与之
相同，即此时有 vA vB vC
课外习题 如图 2-1 所示，质量分别为 mA 和 mB 的两块滑块，分别穿于两根平行且水平