多线性分数次Hardy算子交换子的有界性
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Ｈａｄ 算子Ｈ￣ Ｈ ｒｙ ［ 互为伴 随算子 ， Ｉ 即
／ ｇ ） ｆ（ｄ ＝／ ｆｘＨ （ （ ｄ， （ Ｈ（ ｘ ｘ （ ） ） ｘ ）） ） ｇｘ ｘ
其 中． ＰＲ＋ ， 厂∈Ｌ （ ）ｇ∈Ｌ （ ）ｌ＜Ｐ＜Ｏ， ＋ １： １ ｑＲ＋ ， Ｏ１ ．
（ １ ）
１９ ￣ ， ｈｉ 和Ｇ ａａｏ ［给 出了ｎ ９５ Ｃ ｒ ｔ ｒｆ ｓ］ ｓ ｋ 维Ｈａｄ 算子 ｒｙ
， ） ｌ
寿 Ｌ ＋ （ Ｒ ） ， ＋ （， ） ） Ｒ Ｉ
州＋ Ｒ， ）
（ ２ ）
（ ，） ） 赤 （
） ∈ ｛ 出 ＼） ， ０
在Ｌ （ ） ＰＲ”上的有界性 ． ０７ 傅尊伟等【首次建立 了ｎ ２０ 年， ］ 维分数 次Ｈａｄ 算子 ｒｙ
首先给出中 ￣ ＭＯ Ｂ 空间的概念， ， 该空间是由陆和杨￣１９年在文献［ ］ －９ ５ １ 中介绍的． １
定义１ ［ 】 ｑ＜∞， ． 设１ １ 称一个函数６ Ｔ（”Ｎ￣Ｃ ＭＯ （ （ ∈Ｌｏ Ｒ ） Ｂ ｑＲ ） 中心Ｂ ） Ｍ０ 函数
空 间， 指 如 下式 子 是
Ｉ［Ｂ 。 ｓｐ （ ［［ ＭＯ ｕ 厩 ｂｃ （ ）６ ） 。ｑｘ ＜。 ｆ 一ｂ ［ ） （ ｄ 。 成立， 其中Ｂ＝Ｂ Ｏｒ ＝｛ （，） ∈Ｒ ｎ： ｒ ， 表示６ ）ｂ Ｂ 在球体Ｂ Ｏｒ上的平均， （， ） 即
文献标识码： Ａ
文章编号： ００ ４４２ １）１ １５０ １０— ２（ ００— —７ ４ ０ ０１
§ 引 言 １
设， 是Ｒ十 上的非负 司积 函数， 经典的Ｈａｄ 算子被定义为 ｒｙ
日，ｚ＝ ｔ （ｔ ）） Ｊ （ｔ ＞． （（ Ａ ， ｔ ，Ｈ（（ ／ｆ）， ０ ）） 山０ ） ／ｆ ｄ ， １ ｔ ｄ
摘
要 ： 在 齐 ；ＭｏｒｙＨｅｚ 间Ｍ ） ｒｅ－ ｒ ｋ
．
பைடு நூலகம்
（ ） 建 立 了 由ｎ 分 数 ）Ｈ ｒｙ￣子 Ｒ 上 维 ｋ ａｄ Ｊ ． －
和 ｃＢ Ｏ函 数 生 成 的 多线 性 交 换 子 Ｍ
的有界性．
关键词 ： ｒｙ Ｈａｄ 算子； ｒｅ— ｅｚ 间； ＭｏｒｙＨ ｒ 交换子； Ｂ Ｃ ＭＯ￣ ： 中图分类号 ： ７ ． Ｏ１４２
１６ １
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第１ ５ 期
在Ｌ ｂ ｓｕ 空间和齐次Ｈ ｒ空间中的有界性 ， ｅ ｅｇ ｅ ｅｚ 同时讨论 了与Ｃ ＭＯ￣数所 生成交换子 ， Ｂ ｂ ，
的有界性， 中０ 其
＜凡 ＿ ， 是Ｒ” 的局部可积 函数， 厂 上 且 和 满足
／ ｇ ）ｔｆ（ ｄ ＝ ／ ， ） （ （ ｄ． （ Ｊ ） ）ｘ ｘ ￣ ｘ ｄ （ ｇ ｘ ｘ ））
张和傅【又讨论ＴＨａｄ 算子 交换 ９ 】 ｒｙ ￣Ｌｐｃ ｉ 估计 ． ０ ２ ， ６ｅ￣Ｔ ｕｉｏＧ ｎ ￣ｅ［ １ ｉｓ ｔ ｈ ｚ ２ ０ 年 Ｐ ｒｚ Ｉｒｊｌ ｏ ｚ１ 定义 ｌ— ｚ。 了一类包含 高阶交换子的多线性交换子， 并得 到了有界性结果．
受上述 工作 的启发， 本文将讨论多线 性分数次Ｈ ｒ ｙ ａｄ 算子交换子在Ｌ ｂ ｓｕ ￣ 间， ｅｚ ｅ ｅｇ ｅ ＿ Ｈ ｒ空间 及ＭｏｒｙＨ ｒ空间中的有界性 问题． ｒ 。 ｅｚ ｅ 在叙述主要结 果之前， 我们先给 出一些相关概念 ．
高校应用数学学报 ２ １ ， ５１： １—２ ００ ２ （） １ ５１ １
多线 性 分数 次 Ｈ ｒｙ 子 交 换子 的有 界性 ａｄ 算
武江龙 王婧敏。 ，
（．牡丹江师范学院 数学 系，黑龙江牡丹 江 １７ １ １ ５０２
２ 龙 江 大学 数 学 系， 龙 江哈 尔 滨 １０ ８ ） ．黑 黑 ５ ０ ０
（ 南 ｊ出唰， ， ） （ ， ） ） （
收稿 日期： ０ ９０ — ６ ２ ０ —９２
技 创 新 项 目（０ ９ ０ ２ ２０ ０ ７）
刮
∈ ｛ ０ ）
基金项 目： 黑龙江省 教育厅科学技术研 究项 目（１４ ３ ８； １５ １７ ） 黑龙江省 自然科 学基金（ ２ ０ ｌ） 黑龙江大学 学生科 Ａ ０９ ３；
ｂ Ｂ Ｏｒ ／ 。垒｝（ ） ，ｌ
ｂ） ． （ｄ ｘｘ
ｔＢ（，） ， Ｏｒ
注１ ，］ 当１ ｑ 。 ：Ｂ （ Ｃ ＭＯ （ ）当１ ｐ １１ ８１ ＜。时， ＭＯ Ｒ ） Ｂ ｑ ￣ Ｒ ； ＜ｑ 。 有 ＜。时，
Ｃ ＭＯｑ ） Ｃ Ｂ （ ＢＭＯ （ ） ａｎ ｐ ．
在文献［ 中， ａｄ 在证明Ｈｌ ｒ １ Ｈ ｒｙ 】 ｉ ｅｔ ｂ 双重级数定理的过程中得到了如下著名的Ｈ ｒｙ ａｄ 积分不
等 式
其 中１＜ Ｐ ＜ ∞， ＋ 百 ＝ １ 此后， ａｄ ￣分不等 式得 到 了广泛 的关注（ １ １ ． Ｈ ｒｙ 见文【５ ． ２】 — 等） ２０ 年， ０ ２ 龙顺 潮 和王 健【在 （ ） 分别 建 立 了 由上 述Ｈａｄ 算 子 和单 边Ｃ ＭＯ￣数生 成 的 。 】 Ｒ＋上 ｒｙ Ｂ 交换子凰 和蟛 的有界性 ．
注２ ｏ 当１ ［］ １ ＜ｒ ＜∞时， ｓ （ Ｂ 有Ｏ ｃ Ｌ Ｒ ） ＭＯ（ ”； ｐ ｒ Ｒ ）而当ｒ 时， ｓ。 （ ＝ ＝１ 有Ｏ ｃ ｐ Ｒ ） Ｌ Ｂ （ ）有关Ｏ ｃ ｐ ｒ ） ＭＯ Ｒ”． ｓ Ｌ （ 的细节可参考文献【 】 。 Ｒ” ｌ． ０ Ｖｉ ∈Ｎ， ｉ ｍ ， 当１ ≤ｍ时， 令 ＝ ｛ （ ， （ ， ， （ ｝Ｃ（，， ， ， （） （） １ ２ … ） ） ） １２… ｍ） 且 １， ２， （ 互不相 同， ） 用 表示 由所 有有限集 成的集 合． 任意 的 ∈ 构 对 ， 记 的余集 ＝
…
，
／ ｇ ） ｆ（ｄ ＝／ ｆｘＨ （ （ ｄ， （ Ｈ（ ｘ ｘ （ ） ） ｘ ）） ） ｇｘ ｘ
其 中． ＰＲ＋ ， 厂∈Ｌ （ ）ｇ∈Ｌ （ ）ｌ＜Ｐ＜Ｏ， ＋ １： １ ｑＲ＋ ， Ｏ１ ．
（ １ ）
１９ ￣ ， ｈｉ 和Ｇ ａａｏ ［给 出了ｎ ９５ Ｃ ｒ ｔ ｒｆ ｓ］ ｓ ｋ 维Ｈａｄ 算子 ｒｙ
， ） ｌ
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州＋ Ｒ， ）
（ ２ ）
（ ，） ） 赤 （
） ∈ ｛ 出 ＼） ， ０
在Ｌ （ ） ＰＲ”上的有界性 ． ０７ 傅尊伟等【首次建立 了ｎ ２０ 年， ］ 维分数 次Ｈａｄ 算子 ｒｙ
首先给出中 ￣ ＭＯ Ｂ 空间的概念， ， 该空间是由陆和杨￣１９年在文献［ ］ －９ ５ １ 中介绍的． １
定义１ ［ 】 ｑ＜∞， ． 设１ １ 称一个函数６ Ｔ（”Ｎ￣Ｃ ＭＯ （ （ ∈Ｌｏ Ｒ ） Ｂ ｑＲ ） 中心Ｂ ） Ｍ０ 函数
空 间， 指 如 下式 子 是
Ｉ［Ｂ 。 ｓｐ （ ［［ ＭＯ ｕ 厩 ｂｃ （ ）６ ） 。ｑｘ ＜。 ｆ 一ｂ ［ ） （ ｄ 。 成立， 其中Ｂ＝Ｂ Ｏｒ ＝｛ （，） ∈Ｒ ｎ： ｒ ， 表示６ ）ｂ Ｂ 在球体Ｂ Ｏｒ上的平均， （， ） 即
文献标识码： Ａ
文章编号： ００ ４４２ １）１ １５０ １０— ２（ ００— —７ ４ ０ ０１
§ 引 言 １
设， 是Ｒ十 上的非负 司积 函数， 经典的Ｈａｄ 算子被定义为 ｒｙ
日，ｚ＝ ｔ （ｔ ）） Ｊ （ｔ ＞． （（ Ａ ， ｔ ，Ｈ（（ ／ｆ）， ０ ）） 山０ ） ／ｆ ｄ ， １ ｔ ｄ
摘
要 ： 在 齐 ；ＭｏｒｙＨｅｚ 间Ｍ ） ｒｅ－ ｒ ｋ
．
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（ ） 建 立 了 由ｎ 分 数 ）Ｈ ｒｙ￣子 Ｒ 上 维 ｋ ａｄ Ｊ ． －
和 ｃＢ Ｏ函 数 生 成 的 多线 性 交 换 子 Ｍ
的有界性．
关键词 ： ｒｙ Ｈａｄ 算子； ｒｅ— ｅｚ 间； ＭｏｒｙＨ ｒ 交换子； Ｂ Ｃ ＭＯ￣ ： 中图分类号 ： ７ ． Ｏ１４２
１６ １
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第１ ５ 期
在Ｌ ｂ ｓｕ 空间和齐次Ｈ ｒ空间中的有界性 ， ｅ ｅｇ ｅ ｅｚ 同时讨论 了与Ｃ ＭＯ￣数所 生成交换子 ， Ｂ ｂ ，
的有界性， 中０ 其
＜凡 ＿ ， 是Ｒ” 的局部可积 函数， 厂 上 且 和 满足
／ ｇ ）ｔｆ（ ｄ ＝ ／ ， ） （ （ ｄ． （ Ｊ ） ）ｘ ｘ ￣ ｘ ｄ （ ｇ ｘ ｘ ））
张和傅【又讨论ＴＨａｄ 算子 交换 ９ 】 ｒｙ ￣Ｌｐｃ ｉ 估计 ． ０ ２ ， ６ｅ￣Ｔ ｕｉｏＧ ｎ ￣ｅ［ １ ｉｓ ｔ ｈ ｚ ２ ０ 年 Ｐ ｒｚ Ｉｒｊｌ ｏ ｚ１ 定义 ｌ— ｚ。 了一类包含 高阶交换子的多线性交换子， 并得 到了有界性结果．
受上述 工作 的启发， 本文将讨论多线 性分数次Ｈ ｒ ｙ ａｄ 算子交换子在Ｌ ｂ ｓｕ ￣ 间， ｅｚ ｅ ｅｇ ｅ ＿ Ｈ ｒ空间 及ＭｏｒｙＨ ｒ空间中的有界性 问题． ｒ 。 ｅｚ ｅ 在叙述主要结 果之前， 我们先给 出一些相关概念 ．
高校应用数学学报 ２ １ ， ５１： １—２ ００ ２ （） １ ５１ １
多线 性 分数 次 Ｈ ｒｙ 子 交 换子 的有 界性 ａｄ 算
武江龙 王婧敏。 ，
（．牡丹江师范学院 数学 系，黑龙江牡丹 江 １７ １ １ ５０２
２ 龙 江 大学 数 学 系， 龙 江哈 尔 滨 １０ ８ ） ．黑 黑 ５ ０ ０
（ 南 ｊ出唰， ， ） （ ， ） ） （
收稿 日期： ０ ９０ — ６ ２ ０ —９２
技 创 新 项 目（０ ９ ０ ２ ２０ ０ ７）
刮
∈ ｛ ０ ）
基金项 目： 黑龙江省 教育厅科学技术研 究项 目（１４ ３ ８； １５ １７ ） 黑龙江省 自然科 学基金（ ２ ０ ｌ） 黑龙江大学 学生科 Ａ ０９ ３；
ｂ Ｂ Ｏｒ ／ 。垒｝（ ） ，ｌ
ｂ） ． （ｄ ｘｘ
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注１ ，］ 当１ ｑ 。 ：Ｂ （ Ｃ ＭＯ （ ）当１ ｐ １１ ８１ ＜。时， ＭＯ Ｒ ） Ｂ ｑ ￣ Ｒ ； ＜ｑ 。 有 ＜。时，
Ｃ ＭＯｑ ） Ｃ Ｂ （ ＢＭＯ （ ） ａｎ ｐ ．
在文献［ 中， ａｄ 在证明Ｈｌ ｒ １ Ｈ ｒｙ 】 ｉ ｅｔ ｂ 双重级数定理的过程中得到了如下著名的Ｈ ｒｙ ａｄ 积分不
等 式
其 中１＜ Ｐ ＜ ∞， ＋ 百 ＝ １ 此后， ａｄ ￣分不等 式得 到 了广泛 的关注（ １ １ ． Ｈ ｒｙ 见文【５ ． ２】 — 等） ２０ 年， ０ ２ 龙顺 潮 和王 健【在 （ ） 分别 建 立 了 由上 述Ｈａｄ 算 子 和单 边Ｃ ＭＯ￣数生 成 的 。 】 Ｒ＋上 ｒｙ Ｂ 交换子凰 和蟛 的有界性 ．
注２ ｏ 当１ ［］ １ ＜ｒ ＜∞时， ｓ （ Ｂ 有Ｏ ｃ Ｌ Ｒ ） ＭＯ（ ”； ｐ ｒ Ｒ ）而当ｒ 时， ｓ。 （ ＝ ＝１ 有Ｏ ｃ ｐ Ｒ ） Ｌ Ｂ （ ）有关Ｏ ｃ ｐ ｒ ） ＭＯ Ｒ”． ｓ Ｌ （ 的细节可参考文献【 】 。 Ｒ” ｌ． ０ Ｖｉ ∈Ｎ， ｉ ｍ ， 当１ ≤ｍ时， 令 ＝ ｛ （ ， （ ， ， （ ｝Ｃ（，， ， ， （） （） １ ２ … ） ） ） １２… ｍ） 且 １， ２， （ 互不相 同， ） 用 表示 由所 有有限集 成的集 合． 任意 的 ∈ 构 对 ， 记 的余集 ＝
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