结构力学3.2静定平面刚架

（6） （）
√
（4） （）
√
23
↓
（7 ） （）
m
m
↓
（8） （）
√
（9） （）
↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑
（10） （）
√
↓
（11）（ ） 题2-1图
（12） （）
24
速绘弯矩图
Pa
P
P
P
Pa a
Pa a
a
↑↑↑↑↑
2m/3 m a m/3 a
m/3 m 2m/3 a
a
qa2/2
l
25
P
m
Pa/2 a m/2
qa2/8
A
a
↑↑↑↑↑↑↑↑
qa2/2
C QC
B
QC
B
B 2 ∑MC＝ qa /2+ QCBa=0
qa2/2
↑↑↑↑↑↑↑↑ QCA
QBC=QCB=－qa/2
M图 a qa/2 q NCB
QAC
∑MC＝qa2/2+ qa2/2 －QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a =qa ∑MA＝0 Q CA=（qa2/2 － qa2/2 ）/a 8 ∥ =0
M BE q 4a 2a 0
M BA
2qa
M BE 8qa 2
B QBA
N BA 10qa
QBA 0
4qa
2
2qa2
A 14qa2
8qa
M BA 2qa2
14qa2
M图
3
10qa
2qa2
（3）绘制结构M图
C
8qa 2
6qa
D
2
E B
2qa2
10qa 2
B B
6qa
l/2
q
支座反力，然后由支座作起。
ql2/2 qL2/2
D
qa2/2
C
q l
l/2
q l
a
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
B
q
qa /2
2
A
qa2/8
注意：BC杆和CD杆的 剪力等于零，相应的 弯矩图与轴线平行
11
a
a
qa
3、三铰刚架弯矩图
1 反力计算
1） 整体对左底铰建立矩平衡方程 MA= qa2+2qa2-2aYB=0 (1) 2） 对中间铰C建立矩平衡方程 MB=0.5qa2+2aXB -aYB=0 (2) 解方程(1)和(2)可得 XB=0.5qa YB=1.5qa
2
6qa B
M BD
0
D
QDB
M DB
N DB
N DB 0 QDB 0
M DB 2qa
2
D
N BD
10qa 2
N BD 0
QBD 6qa
QBD
6qa
2
M BD 10qa 2
2qa 2
M图
2
2qa2 C 6qa D 2q A 2a 2a B
q
E
3a
3)杆BE

q
x 0
m
m
m/2 m/2
m/2a
a 0
m Pa/2
a
m/2a m
O
a
a m
a
a
a
Pa Pa 2Pa 2P 0
m/2
m
P
m/2
m/2a
a
a
a
P
a
a
2P 26
a
a
m
P
2Pa
Pa Pa
P
0 Pa
P
P
a Pa
a
P
P
P
h
Ph
Ph a a a a a Ph a
Ph
Ph
a
27
③作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。
19
内力图形状特征
1.无何载区段 2.均布荷载区段 3.集中力作用处
4.集中力偶作用处
Q图
平行轴线
↓↓↓↓↓↓
发生突变
＋
－
＋
P －
无变化
M图
斜直线
二次抛物线
凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
发生突变
m
两直线平行
注备
Q=0区段M图 平行于轴线
M A 14qa2
A
2a 2a
MA
XA
4a
YA
1
2qa2
q 6qa E
（2）计算各杆端截面力，绘制各杆M图 1）杆CD 2qa2
QDC
M图
C D
3a
2qa2

B
QDC 0 N DC 0
C D
2q A
2a 2a 4a
4a
M DC 2qa 2 M DC
2）杆DB
N DC
2
结点D
0
2qa 2qa
2
8qa
2
10qa 2
D
2qa 2
2qa
A
2
2qa 2
2qa2
4qa
2
2
4qa2
14qa2
14qa
弯矩图
10
也可直接从悬臂端开始计算杆件 8 2qa2
2qa2
q
8qa 2
B
6qa 2q
10qa 2
2
2qa 2
4
4qa2
14qa
2
M图
（4）绘制结构Q图和N图 2qa2 2qa2 C 6qa q E
10qa 2
画三铰刚架弯矩图 C
O M M/2
M
a
M/2
A a
B
B a
得 XB=M/2a
A
C
B
XB
Mo=m－2a×X =0,
RA
YB
注意： 1、三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线，
对O点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始做弯矩图。 2、集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后弯矩两条线平行。 3、三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！！
N BE q 4a sin 0
4a
M BE

QBE
3a 4a
3 N BE 4qa 2.4qa 5 y0
QBE q 4a cos 0 4 QBE 4qa 3.2qa 5
4a
N BE
8qa 2
4）杆AB
mB 0
N BA
M图
0 NCA
∑X＝0，NCB ＝ 0
∑Y＝0，NCA＝qa/2
q=4kN/m 6 D α C
↓↓↓↓↓↓
1.5m
1.79
＋
3.58
＋
4.5
6
E
3m
－
M图（kN.m）
2kN
A
3kN
B
2kN
2
－
Q图（kN）7.16
＋
2
4kN/m N 3m 3m CEC 9kN D ↓↓↓↓↓↓↓ CN α 3.58 1.79 C α CE ααQ 7.16 Q CD 6D sin 1 cos 2 l DC l EC 3.35m E 5 5 1.79 Q EC NC 3.13 2 0.45 2 QDC 9 E － 3 3.13 ∑M =6+3 × 1.5+3.35Q (C 3.× (3.58 1.79 0 N 13)4 cos )＝ sin0 EC X CE Q = － 7.16kN 2 7.16 1 0 － EC X 2 N N 0 . 45 kN EC X N cos 1.79sin 2 0 CE E=6－ DC 5 5＝0 ∑M 3 × 4× × 1.5+3.35Q CE ∑M =6 － Q 3.35 ＝ 0 0.45) sin (1.79 3.58) cos 5.82 Y ( 3.13 D CD 校核 N 3 . 13 kN Q = 3.58kN DC NCE 5.82kN － EC Q =1.79(kN)=Q － 3 CD 3.58 DC 2 1.79× 0 9 N图（kN）
例2. 试计算下图所示悬臂刚架的支座反力，并绘制Ｍ、Q和N图。
解：（1）计算支座反力
2qa2 q 6qa E
x 0
3a
2q 4a X A 0
C
X A 8qa
y0 YA 6qa q 4a 0

D 2q B
4a
mA 0
YA 10qa
2qa2 q 4a 2a 6qa 2a 2q 4a 2 a M A 0
m m m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
h
ql2/8
ql2/8
ql2/8
l/2
l/2
18
h
静定刚架的 M 图正误判别
利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减 少错误，提高效率。
另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查 M 图的轮廓是否正确。
①M图与荷载情况不符。 ②M图与结点性质、约束情况不符。
1/2qa2
0 a
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
qa2
C
qa
a
1/2qa2
A
A qa2X /2
B
a a
2/2 qa B X
3） 再由整体平衡
X=0 Y=0 解得 XA=-0.5qa 解得 YA=0.5qa
YA
YB
2 绘制弯矩图 注意：三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由
支座作起！！
12
MEA=80×6-½×20 ×6² =120 20kN
2m
求出全部反力.
80kN
90 F 180
C
62.5 M 60图 kM.m
3m
180
20kN
B
再由整体平衡方程
∑X=0 得 XB=20kN
4m
2m
5m
然后先由A.B支座开始
作弯矩图.
16
整体：∑MA＝0 3qa×a/2－XB×a＝0
4.5qa2
D ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
P D B q C ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q
×
B
C
×
A
（a）
E
A （b ）
E
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
×
×
A （e）
C
C
B
×
A
（f）
B
21
m
A
C
D
A
C
D
×
B
B
m C m
m
m
B
×
A
（g） （h ）
22
×
×
（1 ） （）
↓↓↓↓↓↓
×
× （2）
（）
（3） （）
×
↓↓↓↓↓↓↓↓
×
（5） （）
M EC 40
E
40
40
20kN· m
40kN· m
40
6
D
C
E M图（kN· m）
例4. 求绘图示结构的弯矩图。
2qa a G
A a 2qa G a
qa 2
B a
D
0.6 qa
X
qa 2
a
2qa 2 qa qa 2
q
0.6qa2
1.5qa2
E
A
B
M qa2
1.5a
0.6 qa
C M
F
0.9qa2
13
O
q
qL2/4
C
qL2/4
整体对O点建立平衡方程得 ∑MO=qL×1.5L－2LXA=0 得 XA=3qL/4
L
A
3/4qL L L
B
RB
YA
三铰刚架弯矩图！
14
4、主从结构绘制弯矩图
可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不 求或只求部分约束力。
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa
a
a
q 5qa2
XB=1.5qa
A
XA=4.5qa YA=0 M图
B
a a
P
2P 2P
2Ph 2Ph
a
XB=1.5qa YB= 0
Ph Ph
Ph
2Ph
17
Ph
a
a
a
2a
h
a
a
a
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
5、对称性的利用
对称结构在对称荷载作用下，反力和内力都呈对称分布；对 称结构在反对称荷载作用下，反力和内力都呈反对称分布。
1.5a
D 2qa 2 qa 2 qa 1.5qa2 2 qa q 0.9qa2 2F 0 . 6 qa E C
qa
7
作刚架Q、N图的另一种方法
首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆 端剪力；最后取结点为隔离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。
qa2/2
B
q C qa2/2
a
2a
a
a
a
qa2
qa
A B H
C
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa2/2 F D E
qa
qa2/2
G
qa2
qa2/2 M图（kN.m）
15
绘制图示刚架的
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
D
120
2m
弯矩图
E q=20kN/m 120 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 60
120
A
仅绘M图,并不需要
先由AD ∑Y=0 得 YA=80kN
Q=0处，M 达到极值
集中力作用截 面剪力无定义
集中力偶作用点 弯矩无定义
5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零， 有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚
20
结点无集中力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。
×P
YA 10qa()
2.4qa
10qa
5
X A 8qa()
N图
例3 试绘制下图所示刚架的弯矩图。 20kN· m D C 30kN E 4m
40kN· m
40kN· m
D
E
10kN 10kN
A 2m
B
2m 20kN
10kN
10kN A 10kN 20
B
10kN 20kN 40
20
D
M DC 20

D
2q A 2a 2a 4a B
3a
6qa
2
8qa
2
4a
2qa 2
2qa2
4qa2
14qa
2
M图
QDC 0
QDB 0
QBD 6qa
N DC 0
3.2qa
6qa 8qa
Q图
QBE 3.2qa
QBA 0
N DB 0 N BD 0 N BE 2.4qa N BA 10qa

5
5
9
弯矩图的绘制
如静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力，
只需求出与杆轴线垂直的反力。
1、悬臂刚架
可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ½qL²
2q
Hale Waihona Puke BaiduqL²
2q q
2m 2m
↓↓↓↓↓
L
qL²
L
6q
10
2、简支型刚架弯矩图
简支型刚架绘制弯矩图时，往 往只须求出一个与杆件垂直的 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓