可逆矩阵doc

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2.4 可逆矩阵

授课题目 2.4 可逆矩阵

授课时数：4课时

教学目标：掌握可逆矩阵及逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，求逆矩阵的公式 可逆矩阵的判定，用初等变换求逆矩阵，用初等变换求解矩阵方程

教学重点：可逆矩阵的判定，用初等变换求逆矩阵，求逆矩阵的公式，用初等变换求解矩阵方程

教学难点：用初等变换求逆矩阵，用初等变换求解矩阵方程

教学过程：

一、可逆矩阵的定义及性质 1、可逆矩阵的定义 解B

A

nn

=X 时需要满足CA=-I 的C 的存在

性问题。

定义1，对于n 阶矩阵A ，若存在n 阶

矩阵A ，若存在n 阶矩阵B 使得 AB=BA=I

则称A 为可逆矩阵（或非奇异矩阵），或A 可逆称B 为A 的逆矩阵

从下面几点加深理解：0

1要求A 是方阵，非

方阵不加以讨论（广义逆）；0

2条件是两等式

成立（双边乘A 等于单位阵）；o

3能否用BA=I

（单边）定义，0

4若A 可逆，A 的逆矩阵是否

唯一？0

5条件“AB=BA=I ”中，A ，B 的相互

性

2、可逆矩阵的逆矩阵的唯一性

证 事实上设1

2

B B ，都是A 的逆矩阵，便有

1

1

1

2

2

2

2

B B I B AB A B IB B ====1

（）=（B ）

A 可逆，用1

-A 表示A 的唯一的逆矩阵，

1

-A A=A 1

-A =I

3、可逆矩阵的性质 设A ，B 可逆 1)1

A -可逆且1

1)

(--A

=A ；

证 由于1

11

A

A AA I,A A ---==知与互为逆矩阵，且

11

A A --=（）

2)1

11

)

(---=A B AB （穿脱原理）

证 因为A ，B 均可逆，知1

1

A

B --，存在，且

有

111

111111111B A AB B A A B B IB B B I

AB B A A BB A AIA AA I

------------========（）（）（）（）（）（）

所以AB 可逆，且1

11

)

(---=A B AB 推广111111

2n n n 121

A A )A A A A ------=L L （A

3)T

T

A A

)()(11--= 两运算可交换顺序

注意用定义

证 因为A 可逆，有1

1A

A AA I,

--==两边取转置得1

T 1T T T 1T (A

A)(A )A A (A )I

---===

所以T

1

1T

A A --=T 可逆，且（A ）

（）

4、可逆性的初步判定 1）初等矩阵的可逆性

初等矩阵是可逆的，它们的逆是同类的初等矩阵。

111ij ij i i ij ij 1

P P ,D (k)D (),T (k)T (k)

k

---===-

2）不可逆矩阵的实例

不可逆

011111110,0010nn ⎧⎪⎪

⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎨⎝⎭⎪⎪

⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭⎩ （推广：有一

行（列）为零时）

二、可逆矩阵的判定： 1、基本定理

定理2.4.1 初等变换不改变矩阵的可逆性

证 设A 经过一次初等行变换得到B ，

那么存在一个初等矩阵E ，使得EA=B 。由于初等矩阵可逆，当A 可逆时，EA 也可逆，即B 可逆。另一方面，1

A E

B -=，当B 可逆时，1

E

B

-可逆，即A 可逆。对列变换的情形可类似的证明。

2、几个充要条件 Th.2.4.2 A 可逆⇔A n

I ≅

Th.2.4.3 A 可逆是初等阵i

s

P P P A ,,1

Λ=⇔

证 设A 可逆，则A 的等价标准形为n

I ，

即存在初等矩阵

12s 12t,s 2112t n

P ,P ,,P ,Q ,Q ,,Q P P P AQ Q Q I =L L L L 使得，于是

11111

112s n t 21

A P P P I Q Q Q ------=L L

11111112s t 21

P P P Q Q Q ------=L L

故A 可表示成一些初等矩阵的乘积。

Th.2.4.4 A 可逆n

I A 只经过行初等变换化为⇔

证 因为A 可逆⇔存在初等矩阵

12s 12s P ,P ,,P P P P ⇔L L 使得A =111s 21P P P A I,---==⇔

L A 经过s 次初等

变换化成I 。

Th2.4.5 设A ，B 是两个n 阶矩阵，则|AB|=|A||B|

推论1 设1

2

s

A A A L ，，

，都是n 阶矩阵，则 1

2

s

1

2

s

|A A A ||A ||A ||A |=L L