多重分形及其在地形特征分析中的应用

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北 京 航 空 航 天 大 学 学 报 2004 年
来描述相关集的分布特性 , 由于考虑了空间的相 关性和变化性 , 这种多重分形计算算法不仅充分 利用了邻域空间分布的结构信息 , 分层次地刻画 了图像相关空间内部的精细结构 , 而且更突出了 异常局部变化特征 . 采用 上 述 方 法 , 对 Brodatz 标 准 纹 理 图 像 D25. J PG( 图 1) 和 D26. J PG( 图 2 ) 的试验结果如图
q = 1时 ,对式 ( 4) 稍加变换可得 D1 = lim
L→ 0
分形集上有关物理量所形成的子集大小 ; 其增量 Δ α描述了多重分形集上有关物理量形成的子集 ) 描述了多重分形及有关 分布的不均匀程度 ; f (α 物理 量 形 成 的 子 集 中 元 素 个 数 的 变 化 趋 势 ; Δf (α ) 描述了有关物理量所形成的子集中元素个 数随分割长度减小时的变化幅度 . ) 的物理意义是研究对象粗糙程度、 f (α 复杂 程度 、 不规则程度 、 不均匀程度的度量 .
) N (δ
) = M ( q ,δ
i =1
∑uδ
q i
d
)δ = N ( q ,δ
d
( 8)
) 就等于 N 由式 ( 8) 可见 ,当 q = 0 时 , N ( q ,δ (δ ) ,此时的分形维数就退化为分形的盒维数 .
因此 q 次信息维也被定义为 ) 1 log N ( q ,δ lim q ≠1 q - 1 δ→0 logδ D ( q) = ∑ui log ui lim q = 1 δ→ 0 logδ
1. 2 多重分形谱的计算
∑P log P
i
i
log L
( 5)
多重分形谱的计算一般采用基于相关测度的 计算方法 . 基于相关函数空间的多重分形方法 ,是 把一个相关函数空间分成许多具有不同奇异程度 的区域来进行研究 . 并采用多重相关函数及运算
它就是信息维的公式 . 而当 q = 2 时 , 定义的 D2 与相关维数 ( 关联维数) 是等价的 . 因此广义维数 Dq 实际上包含了分形理论所涉及的全部维数 .
( 9)
多重分形一般用广义维数谱曲线 Dq2q 来描 述 ,不难理解 ,广义维数谱比简单的分形维数包含 有更多的特征信息 . α. α 描述多重分形的另外一组参量是 f (α) 2 表示分形体小区域的分维 , 其值由 P 确定 , P 是 该小区域生长几率的大小 . 由于小区域数目很大 , 于是可得到一个由不同 α 所组成的无穷序列构 ) 表示之 . f (α ) 又被称为奇异谱 . 成的谱 ,并用 f (α 通过 q2Dq 对曲线图或α 2f (α) 对曲线图可以
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于飞行器导航的区域和路径 . 实验表明 ,在地理信 息不充分或者缺乏个性的区域 , 基于多重分形奇 异谱的描述方法能获得更好的地形特征信息和实 用效果 .
在经典的盒维数计算方法中 , 设盒子边长为 δ, N (δ ) 为至少包含一个点的盒子数 , 分形维数 的定义是 :
D = lim
δ→ 0
3 所示 . 比较图 3a 、 图 3b , 可以发现相关测度对于
2. 2 DEM 的多重分形谱计算及分析
选取具有相近分形维数的地形区域 ( 如图 4a 、 图 4b 所示) .
较小的边缘比较敏感 ,而对于大的边缘效果不好 . 这是因为相关运算采用较小相关窗口的缘故 , 小 边缘可以得到较好的检测 . 在谱线上会出现一些 较大的波动 ,这可以认为是小边缘的扰动作用 .
曹汉强 朱光喜 李旭涛 夏文芳
(ຫໍສະໝຸດ Baidu华中科技大学 电子与信息工程系 , 武汉 430074)
摘 要 : 采用多重分形谱进行地形特征的分析 ,多重分形谱参数分层次地 刻画了空间内部的精细结构 ,突出了异常局部变化特征 ,因而能够获得准确的地形特 征信息 ,并从复杂的地形数据中选出具有明显个性特征的区域 ,可与分形维数结合进 行地形地貌的区域分类和路径选取 . 实验结果表明 ,多重分形的奇异谱函数比简单的 分形维数能提供更多的信息 ,克服了分形维数相同情况下区域无法区分的困难 ,地形 的提取特征结果更为符合实际情况 ,可被有效地用于导航和航迹规划过程中 . 关 键 词 : 多重分形 ; 分形分维 ; 数字高程图 ; 导航 中图分类号 : TN 91913 文献标识码 : A 文 章 编 号 : 100125965 ( 2004) 1221182204
Pi = L i i i = 1 ,2 , …, N
α
这种方法忽略了点集的空间分布 , 因为它未 区分包含点的盒子中点的个数 . 根据多重分形的 思想 ,需考虑点集的空间分布 ,设 N 是点的总数 ,
N i 是包含在第 i 个盒子内的点数 ,定义概率 ui = N i Π N
( 7)
那么集合 M = { ui , i = 0 ,1 , …, N } 就包含了点集 分布的所有信息 . 定义测度 :
收稿日期 : 2003207203 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (60272099) 作者简介 : 曹汉强 (1953 - ) ,男 ,湖北武汉人 ,教授 , itdnet @mail . hust . edu. cn
第 12 期 曹汉强等 : 多重分形及其在地形特征分析中的应用
Multi2fractal and it s applicatio n in terrain character analysis
Cao Hanqiang Zhu Guangxi Li Xutao Xia Wenfang
(Dept . of Electrics and Information Engineering , Huazhong University of Science and Technology , Wuhan 430074 , China)
N N
X ( q) =
i =1
∑
Pi =
q
i =1
∑( L )
i
αq
i
( 3)
定义 q 次信息维 Dq 为
1 log X ( q) Dq = lim q - 1 L →0 log L ( 4)
由式 ( 4) 可以看到 ,α i 的变化可以通过 q 值的 不同来反映 . 因此 , 具有不同标度指数的子集 , 可 以通过 q 值的选择进行区分 . 当 q = 0 时得到的 D0 ,就是通常意义上的分形维数 ( 容量维数 ) ; 当
在飞行器的导航和制导过程中 , 需要从周围 的地理环境中获取导航信息 ,以便进行精确制导 . 但是由于有些区域的地理信息缺乏个性特征或者 足够的信息而无法使飞行器进行定位 ,因此 ,如何 将一个大区域划分为若干个特性不同的子区域 , 从中选出具有明显个性特征的 、 可以用来进行导 航的区域和路径具有十分重要的意义 . 由于地理环境的复杂性和不规则性 , 用传统 的方法无法对其进行较好的描述 . 分形作为研究 和探索自然界复杂的不规则形体的数学理论 , 已
) 对曲线 描述多重分形的奇异性特征 . 如在 α 2f (α ) 的奇异性参数 α描述了多重 图中 ,多重分形 f (α
( 1)
若线度的大小趋于零 ,式 ( 1) 可写成 : α = lim log P ( 2) L→ 0 log L α是表征分形体某区域的分形维数 , 称为 其中 局部分维 . 对式 ( 2) 两边各自乘 q 次方并取和得
Abstract : The multi2fractal spectrum of natural surfaces was computed and analyzed with the multi2fractal method. The parameters of multi2fractal spectrum were used to describe hierarchically refined structure of terrain and pop out the singularity characters of local area. Thus , the exact characterization of terrain surfaces obtained , the ar2 eas that have distinct thumbprint can be selected from complicated terrain. Combining multi2fractal spectrum param2 eters with the fractal dimension of single fractal , the terrain areas can be classified , and selection of flight path can be done. The results of experiment show that multi2fractal spectrum function is effective and better than single frac2 tal in acquiring terrain character information , the difficulty in classing of terrain when the fractal dimensions are nearly same is solved. Multi2fractal spectrum is more fit for description of complexity and fluctuation of terrain , and can be used effectively in navigation and flight path programming. Key words : multi2fractal ; fractal dimension ; DEM ; navigation
2004 年 12 月 第 30 卷 第 12 期
北京航空航天大学学报 Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics
December 2004 Vol. 30 No112
多重分形及其在地形特征分析中的应用
) log N (δ logδ
( 6)
1 多重分形
多重分形也称作多标度分形 , 是 Mandelbrot 在 1972 年研究湍流时首先提出的 ,多重分形是定 义在分形结构上的由多个标度指数的分形测度组 成的无限集合 . 多重分形主要研究物理量或其它 量在几何支撑上的分布 , 这种分布常常显示出奇 异性 ( 即不规则性) ,因此 ,多重分形是为研究物理 量或其它量的奇异性分布而引入的 . 这里的几何 支撑 ,通常指分形 ,但也包括非分形 ,例如平面 、 球 [1～4 ] 面或体积等 . 对于许多分形集合 , 分形维数只能从整体上 反映集合的不规则性 ,缺乏对局部奇异性的刻画 , 而多重分形着重研究的是参量的几率分布 , 是分 形几何形体在演化过程中不同层次的特征 . 1. 1 多重分形的定义 将所研究的对象分为 N 个小区域 ,设第 i 个 小区域线度大小为 L i , 分形体生长界面在该小区 域的生长几率为 Pi , 不同小区域的生长几率不 同 ,可用不同标度指数 α i 来表征 ,则
经在许多领域得到了广泛的应用 , 并被用于地理 纹理的分析和分类 . 由于分形反映的是地理信息 不同尺度间的自相似性 , 因此将分形用于导航和 航迹规划具有很大的优势 . 但在实际分析中发现 , 当两种纹理存在细微差异时 , 采用简单的分形方 法计算的分形维数基本相同 , 给区域的划分和路 径的选择带来了困难 ,对地形分析造成不利影响 . 本文采用了多重分形奇异谱和分形维数相结 合的方法对地形地貌数字高程图 (DEM) 进行分析 处理 ,获得了更准确的地形分类信息 ,能找出适合