加群 的全体自同态构成环
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Z[ x] {bn xn bn1x n1 b1x b0 | bi Z , n Z , n 0}
叫做整系数多项式环.
例 5 取出数域 F 上的全部 n 阶方阵组成的
集合, M n ( F ) {A (aij ) | aij F ,1 i, j n} 关于矩阵的加法和乘法构成一个环,这个环
下面应该验证 End (G ); , 是一个环.
(1) End (G ); , 是一个加群;事实上, (ⅰ)“+”在 End (G ) 中是封闭的.(由上可知)
(ⅱ)[ ( )]( g ) [( ) ]( g ) ( ) ( ) g G
这一部分主要介绍环与域的定义和初步 性质，以及一些常见的重要的环与域。
第 16 讲
第三章 环与域
(2课时)
§1 环的定义与性质
本讲的教学目的和要求 : 本讲开始在群论的基础上讨论具有两个二元运 算的代数体系—环的基本性质 . 环也是近世代数中 一类重要的、 基本的代数体系. 由于它具有两个二元 运算, 所以不可避免地会涉及到在群论中没有接触 的概念. 在群的讨论中, 无论在思考问题,提出问题
(ⅲ)
令 ( g ) 0, 可知 End(G) g G (设 为 G 的零同态映射) ∴ 是 End(G) 中的单位元(即零元)
(ⅳ)若 End(G). ,那么 的负元为” ”, 其中 ( )(g ) ( g )
(2) End (G ); 为半群(略)
其次，R 关于乘法是一个半群，而且加法与乘法 通过左右分配律相联系，从而 R 还有下列性质. 且 cb (a b)c ac ab 性质7 c(a b) ca
性质8 性质9
0a a 0 0
(a )b a (b) ab
性质10 (a)(b) ab 性质11
∴
( )(a b) ( )(a) ( )(b) End (G )
即上述的”+”是封闭的. 规定 End (G ) 中一个乘法”·”: , End (G ).
( )( g ) [ ( g )].g G, 这容易验证； ( )(a b) ( )(a) ( )(b) End (G )
Z m , , 是一个环.
wenku.baidu.com
证 （1）由第一章知，剩余类的加法是 Z m 的代 数运算. 由第二章知 Z m , 是加群. 下面证明乘法 “·” :
[i ] [ j ] [i j ] 是 Z m 的代数运算.
假设 i [i ], j [ j ]，那么 按照定义，有
M n ( F ), , 叫做 n 阶全矩阵环, 或称为 n 阶矩阵环.
在例 5 中,若用数环替代数域 F 后, 结果仍 成立,譬如用偶数环替换 F ,得到
M n (2Z ) {A (aij ) | aij 2Z ,1 i, j n}
也是一个环.
例 6 在第二章里,我们曾讨论模 m的剩余类加群
a a a (a) (a) a 0, a R; (a ) a, a R;
a b c b a c, a, b, c R;
性质5 (a b) a b, (a b) a b, a, b R; 性质6 m(na) (mn)a, n(a b) na nb, m, n Z , a, b R;
F[ x] {an xn an1x n1 a1x a0 | ai F , n Z , n 0}
关于多项式通常的加法与乘法. 也可构成一个环.
这个环 F [ x ], , 称为关于 x 的多项式 环或一元多项式环.
实际上，在例 4 中，若将数域 F 换成任一个 数环, 那么也能构成多项式环 ,譬如, 取整数 Z , 则
即乘法“·”满足结合律.
(3) [i],[ j ],[k ] Z m . 可知
[i ]([ j ] [k ]) [i][ j k ] [i( j k )] [ij ik ] [ij ] [ik ] [i][ j ] [i][k ]
所以 同理有
[i ]([ j ] [k ]) [i ][ j ] [i][k ]. ([ j ] [k ])[i ] [ j ][i ] [ k ][i]
i 1 j 1
m
n
a1b1 a1b2 a1bn amb1
aib j , ai , b j R;
i 1 j 1
m
n
也就是说
( ai )( b j ) aib j
i 1 j 1 i 1 j 1
m
n
m
n
性质13
性质 14
(na)b a(nb) n(ab)
例1
“+”和 “· ” R, , 中设 Z 为整数集,
为 Z 中通常的整数加法和乘法 . 易知 R, , 是 一个环. ——习惯上称它为整数环，记为 Z .
同理有理数集 Q、实数集 R 对通常的数的 加法和乘法构成环，分别称为有理数环和实 数环， 复数集 C 对通常的复数的加法和乘法 构成环，称为复数环。
a, b, c R
那么称 R, , 是一个环。在不产生混淆的前 提下,可以记这个环为 R .
注意 1 ： 1、乘法的说明 与群的运算类似, 当进行乘法运算对 时, 乘法运算的符号通常省略不写. 即将 记作 .
2、分配律的说明 这两个分配律分别称为左分配律与右分配律.
3、 上定义中说到{R;} 是加法交换群.意味着{R;} 满足群 的四条,其中单位元为 0—零元.a R ，a 的逆元为- a — a 的负元.而 {R;}是乘法半群,意味着 R 对”· ”满足封闭和结 合律.
我们通常把由数集构成的环称为数环.
例2 偶数集 2Z {, 6, 4, 2,0,2,4,6,}， 对于 整数通常的加法和乘法也是一个环.
例3 设 Z [i ] {a bi | a, b Z } , 按 数 的 通 常 的 加法也构成一个环,叫做高斯数环.
例 4 任取定一个数域 F .由 F 上一切一元多项式 组成的集合
Z m , Z m {[0],[1],,[m 1]} . ( 其中 加 群 Z m
中的加法采用“钟表加法”).
为使 Z m 做成为一个环,首先要对 Z m 再定义 乘法“·” :
[i ] [ j ] [i j ]
（1）
显然 , 这里也采用了“钟表计数法” . 试证明
一、环的定义及例子
定义 1 代数体系， 如果它满足 设 R, , 是具有两个代数运算的
(1) R, 是一个加群；
(2) R, 是一个半群；
(3) R 的乘法“· ”对加法“+ ”满足左右 分配律：
a (b c) ab ac
且
(b c)a ba ca.
[i[ [i],[ j] [ j ]
[i] [ j] [i j]
（2）
（1） ， （ 2 ）两式的左端是相等的， 即
[i] [ j] [i ] [ j ].
如果它们的右端不一样，就有
[i] [ j] [i ] [ j ]，
那么，规则“· ”就不是 Z m 的代数运算， 就是说 Z m 中两个元素，按照规则“· ”得到 两个不同的值了.
a(b1 b2 bn ) ab1 ab2 abn , a, bi R; (b1 b2 bn )a b1a b2 a bn a, a, bi R;
性质12
( ai )( b j ) (a1 am )(b1 bn )
或
故
m | (ij ij ), 即 [i j] [i j ]
这就证明了规则“·”是 Z m 的代数运算.
(2) [i],[ j ],[k ] Z m ,
([i ] [ j ]) [k ] [i j ] [k ] [i j k ] 有 [i ] ([ j k ]) [i] ([ j ] [k ]).
我们说这种情形不会发生，
因为
[i[ [i],[ j] [ j ]
就是说 m | (i i ), m | ( j j ) 或 i mq1 i, j mq2 j.
于是
i j mq1 mq2 mq1 j mq2i i j.
i j i j m(mq1q2 q1 j q2i )
的基本想法,还是在分析问题、解决问题的主要
手法方面，对于近世代数来说，都具有普遍的
典型的意义。可以说基本上体现了近世代数研
究问题的格调与模式。这些对于环的讨论会有
重要的启发和借鉴作用。
本讲主要介绍环的概念—环的主要特性 及它与群的联系和区别。在教学还将引出一 批环的类别以及讨论环在两个运算方面所具 有的基本性质。由于是刚刚引入一种新的代 数体系，所以受到内容的限制，这一讲中不 会碰到什么难点。但重点是要弄清楚环这种 代数体系中两种运算的谐调关系。
我们将把 End (G ) 构造成一个环: 规定 End (G ) 中一个加法”+”: , End (G ). 那么 ( )( g ) ( g ) ( g ).g G, 于是有
a, b G.( )(a b) (a b) (a b) [ (a) (b)] [ (a) (b)] [ (a) (a)] [ (a) (b)] ( )(a) ( )(b)
(3) End (G ); , 满足左,右分配律(略)
由 (1),(2) 和 (3) 知{End (G ); , } 为环 , 叫做加群G 的自同态环.
二、环的运算性质
设 R 是一个环.首先 R 关于加法是一个加群，从而 R 具有加群的运算性质.
性质1 性质2 性质3 性质4
0 a a 0 a, a R;
由上(1),(2),(3) 可知 Z m , , 是一个环.
特 别 地 ， m=6 时，
Z 6 ,,
是一个环，右表是 该环的乘法表. 因为环的英文 名为”Ring” ,所 以习惯上用”R” 表示环.
例 7 加群 G 的全体自同态构成环 End (G ); , 。 证明 设{G; }是一个加法群.若 : G G 是G 的一 个自同态映射是指:a, b G. (a b) (a) (b). 令 End (G) { | : G G.为自同态映射}.
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
上课啦！
The class is begin!
第 三 章
环 和 域
群是有一个代数运算的代数系统 但是， 我们在数学特别是在高等代数中，遇到过很 重要的讨论对象，例如，数、多项式、函数 以及矩阵和线性变换等，都有两个代数运算, 这一事实说明，在近世代数中研究有两个代 数运算的代数系统，也具有非常重要的现实 意义。在有两个代数运算的代数系统中，最 基本最重要的就是环与域。
叫做整系数多项式环.
例 5 取出数域 F 上的全部 n 阶方阵组成的
集合, M n ( F ) {A (aij ) | aij F ,1 i, j n} 关于矩阵的加法和乘法构成一个环,这个环
下面应该验证 End (G ); , 是一个环.
(1) End (G ); , 是一个加群;事实上, (ⅰ)“+”在 End (G ) 中是封闭的.(由上可知)
(ⅱ)[ ( )]( g ) [( ) ]( g ) ( ) ( ) g G
这一部分主要介绍环与域的定义和初步 性质，以及一些常见的重要的环与域。
第 16 讲
第三章 环与域
(2课时)
§1 环的定义与性质
本讲的教学目的和要求 : 本讲开始在群论的基础上讨论具有两个二元运 算的代数体系—环的基本性质 . 环也是近世代数中 一类重要的、 基本的代数体系. 由于它具有两个二元 运算, 所以不可避免地会涉及到在群论中没有接触 的概念. 在群的讨论中, 无论在思考问题,提出问题
(ⅲ)
令 ( g ) 0, 可知 End(G) g G (设 为 G 的零同态映射) ∴ 是 End(G) 中的单位元(即零元)
(ⅳ)若 End(G). ,那么 的负元为” ”, 其中 ( )(g ) ( g )
(2) End (G ); 为半群(略)
其次，R 关于乘法是一个半群，而且加法与乘法 通过左右分配律相联系，从而 R 还有下列性质. 且 cb (a b)c ac ab 性质7 c(a b) ca
性质8 性质9
0a a 0 0
(a )b a (b) ab
性质10 (a)(b) ab 性质11
∴
( )(a b) ( )(a) ( )(b) End (G )
即上述的”+”是封闭的. 规定 End (G ) 中一个乘法”·”: , End (G ).
( )( g ) [ ( g )].g G, 这容易验证； ( )(a b) ( )(a) ( )(b) End (G )
Z m , , 是一个环.
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证 （1）由第一章知，剩余类的加法是 Z m 的代 数运算. 由第二章知 Z m , 是加群. 下面证明乘法 “·” :
[i ] [ j ] [i j ] 是 Z m 的代数运算.
假设 i [i ], j [ j ]，那么 按照定义，有
M n ( F ), , 叫做 n 阶全矩阵环, 或称为 n 阶矩阵环.
在例 5 中,若用数环替代数域 F 后, 结果仍 成立,譬如用偶数环替换 F ,得到
M n (2Z ) {A (aij ) | aij 2Z ,1 i, j n}
也是一个环.
例 6 在第二章里,我们曾讨论模 m的剩余类加群
a a a (a) (a) a 0, a R; (a ) a, a R;
a b c b a c, a, b, c R;
性质5 (a b) a b, (a b) a b, a, b R; 性质6 m(na) (mn)a, n(a b) na nb, m, n Z , a, b R;
F[ x] {an xn an1x n1 a1x a0 | ai F , n Z , n 0}
关于多项式通常的加法与乘法. 也可构成一个环.
这个环 F [ x ], , 称为关于 x 的多项式 环或一元多项式环.
实际上，在例 4 中，若将数域 F 换成任一个 数环, 那么也能构成多项式环 ,譬如, 取整数 Z , 则
即乘法“·”满足结合律.
(3) [i],[ j ],[k ] Z m . 可知
[i ]([ j ] [k ]) [i][ j k ] [i( j k )] [ij ik ] [ij ] [ik ] [i][ j ] [i][k ]
所以 同理有
[i ]([ j ] [k ]) [i ][ j ] [i][k ]. ([ j ] [k ])[i ] [ j ][i ] [ k ][i]
i 1 j 1
m
n
a1b1 a1b2 a1bn amb1
aib j , ai , b j R;
i 1 j 1
m
n
也就是说
( ai )( b j ) aib j
i 1 j 1 i 1 j 1
m
n
m
n
性质13
性质 14
(na)b a(nb) n(ab)
例1
“+”和 “· ” R, , 中设 Z 为整数集,
为 Z 中通常的整数加法和乘法 . 易知 R, , 是 一个环. ——习惯上称它为整数环，记为 Z .
同理有理数集 Q、实数集 R 对通常的数的 加法和乘法构成环，分别称为有理数环和实 数环， 复数集 C 对通常的复数的加法和乘法 构成环，称为复数环。
a, b, c R
那么称 R, , 是一个环。在不产生混淆的前 提下,可以记这个环为 R .
注意 1 ： 1、乘法的说明 与群的运算类似, 当进行乘法运算对 时, 乘法运算的符号通常省略不写. 即将 记作 .
2、分配律的说明 这两个分配律分别称为左分配律与右分配律.
3、 上定义中说到{R;} 是加法交换群.意味着{R;} 满足群 的四条,其中单位元为 0—零元.a R ，a 的逆元为- a — a 的负元.而 {R;}是乘法半群,意味着 R 对”· ”满足封闭和结 合律.
我们通常把由数集构成的环称为数环.
例2 偶数集 2Z {, 6, 4, 2,0,2,4,6,}， 对于 整数通常的加法和乘法也是一个环.
例3 设 Z [i ] {a bi | a, b Z } , 按 数 的 通 常 的 加法也构成一个环,叫做高斯数环.
例 4 任取定一个数域 F .由 F 上一切一元多项式 组成的集合
Z m , Z m {[0],[1],,[m 1]} . ( 其中 加 群 Z m
中的加法采用“钟表加法”).
为使 Z m 做成为一个环,首先要对 Z m 再定义 乘法“·” :
[i ] [ j ] [i j ]
（1）
显然 , 这里也采用了“钟表计数法” . 试证明
一、环的定义及例子
定义 1 代数体系， 如果它满足 设 R, , 是具有两个代数运算的
(1) R, 是一个加群；
(2) R, 是一个半群；
(3) R 的乘法“· ”对加法“+ ”满足左右 分配律：
a (b c) ab ac
且
(b c)a ba ca.
[i[ [i],[ j] [ j ]
[i] [ j] [i j]
（2）
（1） ， （ 2 ）两式的左端是相等的， 即
[i] [ j] [i ] [ j ].
如果它们的右端不一样，就有
[i] [ j] [i ] [ j ]，
那么，规则“· ”就不是 Z m 的代数运算， 就是说 Z m 中两个元素，按照规则“· ”得到 两个不同的值了.
a(b1 b2 bn ) ab1 ab2 abn , a, bi R; (b1 b2 bn )a b1a b2 a bn a, a, bi R;
性质12
( ai )( b j ) (a1 am )(b1 bn )
或
故
m | (ij ij ), 即 [i j] [i j ]
这就证明了规则“·”是 Z m 的代数运算.
(2) [i],[ j ],[k ] Z m ,
([i ] [ j ]) [k ] [i j ] [k ] [i j k ] 有 [i ] ([ j k ]) [i] ([ j ] [k ]).
我们说这种情形不会发生，
因为
[i[ [i],[ j] [ j ]
就是说 m | (i i ), m | ( j j ) 或 i mq1 i, j mq2 j.
于是
i j mq1 mq2 mq1 j mq2i i j.
i j i j m(mq1q2 q1 j q2i )
的基本想法,还是在分析问题、解决问题的主要
手法方面，对于近世代数来说，都具有普遍的
典型的意义。可以说基本上体现了近世代数研
究问题的格调与模式。这些对于环的讨论会有
重要的启发和借鉴作用。
本讲主要介绍环的概念—环的主要特性 及它与群的联系和区别。在教学还将引出一 批环的类别以及讨论环在两个运算方面所具 有的基本性质。由于是刚刚引入一种新的代 数体系，所以受到内容的限制，这一讲中不 会碰到什么难点。但重点是要弄清楚环这种 代数体系中两种运算的谐调关系。
我们将把 End (G ) 构造成一个环: 规定 End (G ) 中一个加法”+”: , End (G ). 那么 ( )( g ) ( g ) ( g ).g G, 于是有
a, b G.( )(a b) (a b) (a b) [ (a) (b)] [ (a) (b)] [ (a) (a)] [ (a) (b)] ( )(a) ( )(b)
(3) End (G ); , 满足左,右分配律(略)
由 (1),(2) 和 (3) 知{End (G ); , } 为环 , 叫做加群G 的自同态环.
二、环的运算性质
设 R 是一个环.首先 R 关于加法是一个加群，从而 R 具有加群的运算性质.
性质1 性质2 性质3 性质4
0 a a 0 a, a R;
由上(1),(2),(3) 可知 Z m , , 是一个环.
特 别 地 ， m=6 时，
Z 6 ,,
是一个环，右表是 该环的乘法表. 因为环的英文 名为”Ring” ,所 以习惯上用”R” 表示环.
例 7 加群 G 的全体自同态构成环 End (G ); , 。 证明 设{G; }是一个加法群.若 : G G 是G 的一 个自同态映射是指:a, b G. (a b) (a) (b). 令 End (G) { | : G G.为自同态映射}.
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
上课啦！
The class is begin!
第 三 章
环 和 域
群是有一个代数运算的代数系统 但是， 我们在数学特别是在高等代数中，遇到过很 重要的讨论对象，例如，数、多项式、函数 以及矩阵和线性变换等，都有两个代数运算, 这一事实说明，在近世代数中研究有两个代 数运算的代数系统，也具有非常重要的现实 意义。在有两个代数运算的代数系统中，最 基本最重要的就是环与域。