断裂力学的起源和展望

断裂力学的起源和展望
摘要：断裂力学是50年代开始发展起来的固体力学的新分支。

主要按断裂力学发展的成熟度，着重介绍线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、断裂动力学这三种经典断裂力学的基本理论与断裂准则，简要谈及建立在奇异性基础上经典断裂力学断裂理论所存在的主要问题与矛盾，并说明断裂力学在一些工程上的应用以及对新材料断裂理论的探索与对未来断裂力学的展望。

关键词：断裂力学；基本理论；断裂准则
0引言
断裂力学是近几十年才发展起来的一支新兴学科，它从宏观的连续介质力学角度出发，研究含缺陷或裂纹的物体在外界条件（荷载、温度、介质腐蚀、中子辐射等）作用下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传播和止裂规律[1]。

断裂力学应用力学成就研究含缺陷材料和结构的破坏问题，由于它与材料或结构的安全问题直接相关，因此它虽然起步晚，但实验与理论均发展迅速，并在工程上得到了广泛应用。

例如，断裂力学技术已被应用于估算各种条件下的疲劳裂纹增长率、环境问题和应力腐蚀问题、动态断裂以及确定试验中高温和低温的影响，并且由于有了这些进展，在设计有断裂危险性的结构时，利用断裂力学对设计结果有较大把握。

断裂力学研究的方法是：从线弹性力学方程或弹塑性力学方程出发，把裂纹作为一种边界条件，考察裂纹顶端的应力场、应变场和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量的关系和裂纹简短附近的局部断裂条件。

1断裂力学的产生和发展
传统强度设计的危机
传统强度设计是以材料力学为基础的。

假定材料均匀、连续、各向同性、没有裂纹和缺陷，设计时只要满足下式
[]s b k k
σσσσ⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪⎩ 塑性材料（如中低强钢、合金钢） 脆性材料（如铸铁） 结构就安全，否则就不安全。

式中：σ——工作应力；[]σ ——许用应力；s σ——材料屈服强度；b σ——材料抗拉强度；k ——安全系数。

一般取k =1.3~2.0。

实际结构中可能有的缺陷和其他想不到的或难以控制的因素（如计算方法的不准确、载荷估计的难以准确等），系数k 中都考虑的到了。

传统的强度设计方法，在工程中已经成功地应用了100多年。

事实证明，在一般情况下（如对于中低强钢制的中小型构件或零件），传统设计是可行的。

虽然材料破坏条件的研究不断发展以及结构的应力计算方法不断进步，但基本设计思想一直没有变。

原因在于：直到30年代以前，广泛应用的低强合金钢，韧性较好，破坏往往是强度不够，韧性有余。

实际上，破坏以塑性失效为主，故传统的强度设计是合理的。

以后的研究也证明，对中低强钢的中小型构件或零件，传统设计也是适用的。

30年代（二次世界大战以前），欧洲一些焊接空腹架桥，投入使用不久，在低温下突然脆断，在小载荷下，脆断从焊缝处开始。

可惜，当时工程界未认识到是脆断。

40年代以来，，对于中低强钢构件，广泛采用焊接技术，当时焊接技术水平低，焊接缺陷多。

中强钢又有低温脆性，故发生一系列的焊接轮、焊接容器、锅炉气包、桥梁等的低应力脆断事故。

例如美国，有9个T-2贮罐突然断成两段；在二次大战中，造了5000艘
全焊接轮，1946年，发现其中1000多艘有明显裂纹，进而破坏。

在1942~1952年间，200艘严重破坏，其中7艘在风平浪静的港湾中突然断裂，经检查材料常规机械性能完全合格。

50年代以来，高强钢广泛应用，破坏往往是韧性不足而强度有余。

结构破坏以脆断为主，以传统设计理论无法解释。

例如，美国1950年的北极星到段发动机壳体爆炸事件（壳体用D6GC 高强钢，s σ=1373.4~1569.6MPa ），传统检验合格，水压试验时爆炸，破坏应力为c σ=68607MPa ，1951年，一艘全新的全焊接轮突然裂成两段；1953年，一个横向焊接贮罐裂成两段；1954年，一个总峡谷内焊接贮罐裂成两段，这个贮罐的母材及焊接质量均属上乘，且结构设计先进。

50年代中期，美国两架彗星号飞机在高空中，机身舱门处铆钉也产生疲劳裂纹，突然扩展，造成灾难性破坏；此外，F-111飞机零件原始裂纹扩展，亦发生脆断；以后，又多次发生气轮机转子脆断事故。

60年代，1960~1965年，发生脆断10次。

甚至，70年代以后，脆断事故仍时有发生。

上述断裂，材料经Charrpy ()k v V a ⎡⎤⎣⎦试验有足够的冲击韧性，遂逐步引起工程界重视。

原传统的强度设计不灵了，出现了危机。

断裂力学的产生和研究现状
飞机的机翼大梁在飞行中突然断裂，火箭发动机壳体在水压试验时爆炸飞裂，大型发电机转子，汽轮机叶轮在高速运转时突然脆断等，这些灾难性的工程断裂事故近几十年来在世界各国相继发生，而且遍布在工业、交通、军事等要害部门，这就引起了人们的广泛重视，只有查明这类灾难性事故发生的原因，找出起规律才能预防类似事故的相继发生，近几十年来，很多科学工作者在这方面进行了大量的工作，无论在理论上，还是在实践上都获得了很大的成功，与此同时，也开创了断裂力学这门新兴的学科。

工程构件为什么会突然断裂？如何才能防止断裂？人们对这类问题的认识有一个较长的发展过程。

正是在上述条件下，于60年代初产生线弹性断裂力学基本概念；60年代中期提出弹塑性断裂力学，上述问题才得到初步解决。

低应力脆断特征
经分析检查，发现以上的破坏事故有如下共同点：
1） 破坏时的应力大大低于材料的屈服应力，甚至往往低于许用应力，即c s σσ或
[]c σσ<；
2） 破坏时，构件内部都存在或大或小的宏观裂纹；
3） 低温、厚截面、高速变形时易发生脆断；
4） 断裂前无或仅有局部塑性变形。

低温脆断时，往往裂纹扩展速度极快，可达每秒百
米。

这些，是传统强度理论无法解释的。

（一）所谓断裂力学，就是从材料或构件中存在宏观裂纹这一点出发，应用弹性
力学和塑性力学理论，研究材料或结构中裂纹产生和扩展的条件及规律的学科。

或者，简言之，断裂力学就是研究含裂纹材料或结构的强度及裂纹扩展规律的一门学科。

故亦可称之为“裂纹体力学”或“裂纹力学”。

断裂力学集中研究裂纹顶端的应力应变场，找出带裂纹构件的承载能力（P ，σ）
和材料抗脆断性能（断裂韧性1,c c K δ）间的定量关系：
1c c c K f a σδ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
从而可对含裂纹构件的最大承载能力（P 或σ），裂纹容限（c a ）及寿命（f N ）进行计算。

断裂力学包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、钢塑性断裂力学、粘弹性断裂力学、断裂动力学、复合材料断裂力学、概率断裂力学和微观断裂力学等分支。

断裂力学的发展主要是线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、断裂动力学这三种经典断裂力学的发展。

（二）断裂力学研究的出发点
低应力脆断、疲劳和应力腐蚀是工程断裂事故的三种主要形式。

几乎所有的工业和交通部门都曾发生过这类重大的工程断裂事故。

分析其原因都是由于裂纹的扩展而引起的。

由于构件在制造、加工、安装和使用过程中不可避免的会产生宏观裂纹，因此，只有承认裂纹的存在，从而去研究裂纹扩展的条件和规律，才能有效的防止断裂事故。

由断裂力学的定义中可知，材料或构件中存在宏观裂纹。

这些裂纹可能由下述原因造成：
1） 冶金中产生。

例如，冶炼中不慎掉入或混入大块非金属氧化物或夹杂；烧铸时
混入脏物；大截面铸钢件冷却时产生的气孔、疏松、偏析、夹杂物等；锻造和
轧钢中产生的折叠、夹层和过烧等可能引起的晶间开裂。

2） 制造中产生。

例如，焊接可能产生的裂纹、夹杂、未喊头、气孔；热处理可能
产生的白点；机加工可能产生的划伤、刀痕；运输中可能产生的划痕；
3） 使用中产生。

例如，腐蚀介质（大气、海水等）易产生应力腐蚀裂纹；交变荷
载下可能产生疲劳裂纹。

因此，一般说来，可以认为：
1） 厚截面材料及构件（如大型气轮机转子、厚壁压力容器、超厚板等），使用前就有
裂纹。

2） 大型焊接结构（如大型压力容器、管道、桥梁、大型吊塔、焊接的宇航器等），焊
缝中存在焊接裂纹。

3） 在应力加高参数（高温、高压、高速）及腐蚀介质中工作的部件（如各种蒸汽机、
内燃机曲轴、曲拐，工业用燃气轮机的涡轮盘及叶片，炮管，石油化工用压力容
器、管道、反应塔等），在使用中易产生裂纹。

上述裂纹，在结构使用过程中会逐渐长大，当大到超过临界裂纹尺寸时，就会产生低应力脆断。

（三）断裂力学是一门新兴学科，是固体力学与工程实际紧密结合的产物，从提出至今30年来，发展很快，研究工作十分活跃，国内外举行过多次断裂学术会议。

在有关专业学术会议（如失效分析、化工机械、压力容器、焊接、热处理等）上，也发表了大批断裂理想业研究论文，我国开始这方面的研究已近20年，取得了很大的成绩，当前，尽管断裂力学在理论上、测试技术上，计算方法上还存在不少有争论和不成熟之处，但并未阻止它的工程应用的日益广泛和深入。

断裂力学从五十年代起就显示了它的巨大作用，从而获得了迅速的发展。

近几年来，在国内，断裂力学得到了广泛的重视，很多单位应用了断裂力学方法，对火箭发动机壳体、飞机结构、压力容器、电站设备、机车和桥梁等工程结构进行了事故分析，寿命估算和合理的选材，并收到了很好的效果，在断裂力学的理论研究和实验方法上也取得了可喜的成果，并
已初步形成了一支研究和应用断裂力学的专门队伍。

线弹性断裂力学
早在1920年，Griffith 应用热力学第一定律及第二定律,从能量角度出发,用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题，他推测这可能是由起内部缺陷或微小裂纹引起的应力集中而造成的，从而提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则。

建立了断裂应力（f σ）、裂纹尺寸（C ）与材料性质（A ）之间的关系：
f A C
σ= 可认为这是现代断裂力学的前驱。

30年代以后，发生的一系列低应力脆断事故，传统强度设计理论无法解释，促使人们想到Griffith.。

1950年,Orowan[2]和Irwin[3]研究了材料的塑性对裂纹扩展的影响，修正了Griffith 理论。

7年后，Irwin[4]提出了应力强度因子（Stress Intensity Factor ）概念。

1964年，美国材料试验学会（ASTM ）和美国国家宇航局（NASA ）出版了第一本系统的断裂力学文集。

1970年提出关于平面应变断裂韧性K 测试试行标准（ASTM 39970E -）。

经过几年试行，1972年公布正式标准（ASTM 39972E -），标志线弹性断裂力学形成。

我国于1978年制定《金属材料平面应变断裂韧性1c K 试验方法（94778YB -）》。

线弹性断裂力学发展最早，是断裂力学的基础，于本世纪60年代提出，70年代初成熟。

这是断裂力学中最成熟的部分。

主要是从能量和应力强度两个角度来研究裂纹顶端的应力应变场，从而得出断裂判据。

即视材料为理想弹性体，并假定应力与应变间呈线性关系（ E σε=），应用弹性力学来分析材料或构件在低应力下裂纹的扩展及脆断问题。

断裂力学研究初期，由于高强低韧性材料构件（如火箭外壳等），发生低应力脆断事故多，故研究重点也在于此。

这种钢材在线弹性范围内断裂，断口无明显塑性变形，故可用线弹性理论进行研究。

许多计算表明，由于材料存在着裂纹或缺陷，材料的实际强度一般仅为其理论强度的1/10-1/100，材料就产生低应力脆断现象。

根据裂纹受力情况与裂纹面的位移方式，可将裂纹分为三种基本类型，即：I 型或张开型（拉裂型）；II 型或滑移型（面内剪切型）；III 型或撕裂型（面外剪切型）。

在这三种裂纹型式中，I 型裂纹是最危险的，容易引起低应力脆断。

单位面积上的力叫做应力。

因为力是有方向的，故应力也有方向性。

张开型裂纹（I 型）
外加正应力和裂纹面垂直，在应力作用下裂纹尖端张开，且扩展方向和应力垂直，这种裂纹称为张开型裂纹，也称I 型裂纹。

如旋转的叶轮，当存在一个径向裂纹时，在旋转体力产生的径向力作用下，裂纹张开，沿径向扩展，故是张开型裂纹。

火箭发动机壳体当存在有纵向裂纹时，在环向正应力作用下也是张开型裂纹。

滑开型裂纹（II 型）
在平行裂纹面的剪应力作用下，裂纹滑开扩展，称滑开型裂纹。

如两块厚板用大螺栓连接，当板受拉力P 时，在接触面上作用有一对剪力，如螺栓内部AB 面上有裂纹，则在剪力作用
下属于II 型裂纹。

撕开型裂纹（III 型）
在剪应力作用下裂纹面上下错开，裂纹沿原来的方向向前扩展，如用剪刀开口，然后撕布就是一个III 型裂纹扩展问题，又如一转动轴工作时受扭转力矩作用，即存在一对剪刀，当轴上有一环向裂纹时，它就属于III 型。

如果体内裂纹同时受到正应力和剪应力的作用，或裂纹面和正应力成一角度，这时就同时存在I 型和II 型（或I 型和III 型），称为复合型裂纹。

在工程构件内部，张开型裂纹（I 型）是最危险的，容易引起低应力脆断，实际裂纹即使是个复合型裂纹，也往往把它作为张开型来处理，这样更安全，因此我们重点研究I 型裂纹。

弹塑性断裂力学
弹塑性断裂力学或称非线性断裂力学，或屈服后断裂力学，于本世纪60年代提出，即应用塑性力学理论研究裂纹扩展的规律及脆断问题。

对于大量的中低强钢，断裂前在裂纹顶端附近已产生大范围的屈服，用线弹性理论已无法描述，即LEFM 已不适用，故发展了EPFM 。

这是目前断裂力学中最引人注目的部分，还很不成熟。

由于线弹性断裂力学是把材料作为理想线弹性体，运用线弹性理论研究裂纹失稳和扩展规律，从而提出裂纹失稳的准则和扩展规律。

但事实上由于裂纹尖端应力高度集中，在裂纹尖端附近必然首先屈服形成塑性区域。

若塑性区与裂纹尺寸相比很小，则可以认为塑性区对绝大部分的弹性应力分布影响不大，应力强度因子可近似地表示弹性变形区的应力场。

适当修正应力强度因子，线弹性断裂力学的分析方法和结论仍能应用。

但对中、低强度钢的中小型构件，薄壁结构，焊接结构的拐角和压力容器的接管处，在裂纹尖端附近，发生大范围屈服或全面屈服，即塑性区尺寸与裂纹长度相比，不可忽略断裂发生在接近屈服应力的时刻。

这时线弹性断裂力学的结论不再适用。

由此研究大范围屈服断裂已成为发展弹塑性断裂力学的迫切任务。

弹塑性断裂与脆性断裂不同，在裂纹开裂以后出现明显的亚临界裂纹扩展（稳态扩展），达到一定的长度后才发生失稳扩展而破坏。

而脆性断裂无明显的临界裂纹扩展，裂纹开裂与扩展几乎同时发生。

弹塑性断裂准则分为两类，第一类准则以裂纹开裂为根据，如COD 准则，J 积分准则；第二类准则以裂纹失效为根据，如R 阻力曲线法，非线性断裂韧度G 法。

断裂动力学
断裂动力学问题可分为两大类，其一是裂纹稳定而外力随时间迅速变化，其二是外力恒定而裂纹处于快速运动状态。

在这种情况下，必须考虑材料的惯性效应。

70年代初，Sih 与Loeber （洛依伯）导出了外载随时间变化而裂纹是稳定的情况的渐近应力场与位移场，Rice 等多人先后导出了裂纹以等速传播情况的渐近应力场与位移场，并提出了裂纹稳定而外载随时间迅速变化情况下的裂纹开裂准则：
()(),,I Id K a t K σσ=
Id K 是表征材料动态断裂性能的常数，称为裂纹动态起始扩展问题的断裂韧性，它与加载速率.
σ有关。

动态应力强度因子I K 显然与裂纹长度a ，外加应力σ 及时间有关。

由于左端 ()s I I K t K >，右端Id Ic K K < ，显然动态加载情形下，裂纹较静态情况容易起始扩展。

裂纹发生运动时，材料对断裂的抗力用动态断裂韧性ID K 或动态能量释放率临界值ID G 表示。

ID K 与ID G 与材料性质有关，与裂纹速度也有关。

运动裂纹传播与止裂的准则：
().,,I ID K a t K a σ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
式中.a 是裂纹运动速率。

等式表示传播条件，不等式表示止裂条件。

粘弹性断裂力学
线弹性或弹塑性断裂力学，均无法处理延迟失稳、裂纹扩展速度及寿命等时间相依问题。

对于很多工程材料，如聚合物、复合材料、混凝土等新型粘弹性材料，在常温下明显表现出时间相依性，这些材料的裂纹体可抽象为粘弹性体，与此相应的理论就是粘弹性断裂力学。

根据它可以求出瞬时及延迟失稳临界载荷（或裂纹尺寸）。

在粘弹性体情况下，K 准则和G 准则不再等价。

由于K 准则不能反映粘弹性体的时间相依性，它不能预测常载荷下粘弹性体的裂纹延迟失稳，因而它对粘弹性体不适用。

G 准则才反映问题的本质。

对于缓慢亚临界裂纹扩展很明显的工程实际问题，必须考虑裂纹尖端塑性区或微裂区，按考虑裂尖衰坏区非线性效应的粘弹性断裂力学计算。

对粘弹性裂纹扩展速度或裂纹体寿命计算大体采用两类判据，即COD 准则和能量平衡判据。

而能量平衡判据又可分为以整体能量平衡和以裂纹尖端局部能量平衡两种判据。

对应力和位移场的求解，可采用弹性—粘弹性对应原理和Volterra 原理两类。

裂纹模型，大多采用Dugdale –Barenblatt 模型及其推广。

2存在的主要矛盾
此前所述经典断裂力学源于Griffith 的断裂理论，是建立在奇异性基础上的，即均基于裂纹顶端应力与应变为无限大的模式展开的。

Inglis 数学尖裂纹模型的弹性力学解是断裂理论的基础。

这种数学尖裂纹上、下表面间距为零，裂纹顶端曲率半径也为零，因而由弹性力学求出的应力分量，在裂纹顶端处为无限大，这种无限大称为奇异性。

奇异性理论一直延续至今。

但是奇异性断裂力学在物理上存在本质的缺陷，这主要表现在两方面：其一，在实际中发现的裂纹，其上、下表面间距，以及裂纹顶端曲率半径，都是有限值，不等于零；其二，实际裂纹，即使在裂纹顶端，应力与应变均为有限值，不存在所谓应力与应变的奇异性。

这样，基于数学尖裂纹和应力奇异性的物理量缺乏坚实的物理基础。

为了完善理论，呈现非奇异性，可采用比较符合真实情形的半圆形顶端的钝裂纹（或切口）模型，但钝裂纹的曲率半径的测量需要用金相的方法来测出，这需要金相断裂力学的发展。

3新结构材料断裂探索
随着新材料的大量涌现，如准晶材料、多孔材料已引起人们的广泛关注。

多孔材料是复杂的多相材料，从细观角度上看，它具有非连续性材料的不均匀和各向异性，若逐个追踪孔洞的形状、大小和分布进行描述，所得表达式极其复杂，难以进行定量求解。

然而从工程角度上考虑，材料的力学性能仍可以用连续介质力学来描述，其不连续性则通过相对密度， */,s ρρρ=或()()
**/,/s s E E v v ρρρρ== 间接地表现出来。

由于多孔材料塑性具有可压缩性，可采用表征塑性可压缩性的新的材料参数，如Possion 比，并用内聚力模型求解多孔材料中的非线性裂纹问题，预先假定裂纹顶端塑性区的形状，其中的应力分布可以由屈服判据推断，则原来的非线性问题得到线性化，较易求解材料在平面应力（应变）情形下的裂纹解。

在平面应变条件下，多孔材料裂纹尖端的渐近场具有HRR 奇异，J 积分守恒。

场的分布和断裂韧性依赖常数a ，它描述在变形中体积变形与形状变形比[9]。

对多孔材料平面应力裂纹扩展问题在著作[10]中有提及。

4断裂力学在工程中的应用和未来的发展趋势
随着近代工业的发展，结构的低应力脆断（构件在工作应力低于设计应力时的破坏）事故日益增多。

而这种现象是传统强度理论无法解释的。

因此，分析断裂事故，研究裂纹体强
度及裂纹发生、扩展的规律，并根据这一规律设计安全的工程结构、制定合理的质量验收标准及工艺制度、研制新材料等等，就成为十分迫切的问题。

这些问题正是断裂力学要解决的。

断裂力学就是从构件中存在宏观裂纹这一点出发，利用线弹性力学和弹塑性力学的分析方法，对构件中裂纹问题进行理论分析和实验研究的一门学科，通过断裂力学的分析，能把构件内部的裂纹大小和构件工作应力以及材料抵抗断裂的能力（即断裂韧性）定量的联系起来，从而可对含裂纹构件的安全性和寿命给出定量或半定量的够酸，这就为工程构件的安全设计制定合理的检收标准和选材原则提供了新的理论基础。

断裂力学的强大生命力在很大程度上在于它在工程结构中的广泛应用。

归纳起来主要有下述几点：
1）根据断裂韧性选材及指导工艺（如热处理、焊接等工艺）；
2）抗断设计计算及强度校核，即对裂纹构件进行断裂强度的校核及设计（主要用K 判据及COD 判据）；
3）估算构件的疲劳寿命（主要用K 判据）；
4）计算裂纹容限，定出缺陷评定标准；
5）分析断裂事故；
6）其他应用，如应力腐蚀及腐蚀疲劳、动态断裂及止裂等。

近10余年来，断裂力学在焊接结构中获得日益广泛的应用。

例如，在压力容器强度设计和裂纹容限计算方面，在大型焊接结构中裂纹高速扩展和止裂方面都取得了很大进展。

由于焊接结构中存在严重的残余应力（往往r s σσ=）和应力集中（角变形、错口等焊接缺陷引起），裂纹顶端区域将形成大范围屈服或全面屈服，再加上其他一些因素（如焊接工艺等）的影响，使得问题的分析更为复杂。

正因为如此，在这个领域内，有些工作取得进展，有些工作则刚开始，而大部分问题还没有人研究。

另外，我们目前的研究工作仅仅停留在大型工程应用中，也就是研究方向仅限于固体断裂方面；在动物肢体断裂方面的研究（如骨断裂等）还很欠缺，缺少这方面的专家和研究人员，这将是未来断裂力学发展的又一重要研究方向。

5结束语
由于断裂力学能对材料和结构的安全性进行预测与估算，因而愈来愈受到重视。

本文围绕四个断裂准则大致介绍了线弹性、弹塑性与粘弹性断裂力学的一些基本理论和发展情况，以及断裂动力学两类问题中裂纹开裂与止裂准则。

提及了建立在奇异性理论基础上的经典断裂力学的根本缺陷和方法论上的矛盾，以及随着大量新材料的出现，新材料断裂力学的出现。

断裂力学是20世纪50年代开始发展起来的固体力学的新分支。

线弹性断裂、弹塑性断裂和断裂动力学三者几乎是同时开始研究的。

目前线弹性断裂力学发展较为成熟，在生产中已经得到应用。

弹塑性断裂力学虽然取得了一些进展，但仍有许多尚待深入研究的问题，它是当前断裂力学的主要研究方向之一。

断裂动力学，对于线性材料还有待完善；对于非线性材料，尚处于研究初期，是断裂力学的又一主要研究方向。

随着对断裂问题的深入研究及数学工具的方便使用，断裂力学理论会日益成熟，断裂力学应用会日渐广泛。

参考文献
1．Irwin G R. Analysis of stress and strains near the end of a crack traversing a plate[J]. Appl. Mech.,1957,24:361-364.
2．Wells A A. Applications of fracture mechanics at/and beyond general yielding[J].British Welding Journal,1963,10:563-570.
3．Hutchinson J W. Singular behavior at the end of a tensile crack in a hardening material[J].Mech.Phys. Solids,1968, 16:13-31.。