运筹学——.图与网络分析-最短路

(vi , v j )
表示第i年购进的设备一直使用到第j年初（即第j-1
年底）。
59 40 28
19
21
30
15
12
13
v1
v2
20
v3
14
29
v4
15
22
v5
v6
41
边
(vi , v j )
上的数字表示第i年初购进设备，一直使用到第j年
初所需支付的购买费、维修的全部费用（可由表8-2计算得
到）。
引
C
言
A
B
D
图1 b
1.图的基本概念与模型
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之 间的关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的 示意图。 例：公路或铁路交通图、管网图、通讯联络图等 各节点及联系的边。如果用点表示研究的对象，用 边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点 和边的集合 G={V,E} 式中：V—点的集合,E—边的集合 如果给图中的点和边赋以具体的含义和权数， 如距离、费用、容量等这样的图称为网络图。
最短路问题的一般提法是：设
各边
vs ,
vt
(v i , v j )
G (V , E )
vi
为连通图，图中
有权 l ij ( l ij 表示
v ， j 之间没有边）,
vt
为图中任意两点，求一条道路 ，使它是从 v s 到
的所有路中总权最小的路。即：
L( )

l ij
( v i , v j )
①给 ②给
( v 1 , v 3 ) 划成粗线。 v3
标号（6）。
③ 划第3个弧。
v2
4
(4)
5
v4
7
9
v6
1
5 5
4
v1 ( 0 )
①
②
6
v8
1
4
v 3(6 )
③
7
v5
(8 )
6
v7
④
4）接着往下考察，有四条路可走：( v 2 , v 4 ),
可选择的最短路为
( v 3 , v 4 ),
( v 2 , v 5 ). ( v 3 , v 5 ).
最小。
最短路算法中1959年由 Dijkstra
（狄克斯特洛）提出的
算法被公认为是目前最好的方法，我们称之为 Dijkstra 算 法。下面通过例子来说明此法的基本思想。 条件：所有的权数 l ij 0 思路：逐步探寻。
v2
4 4
v4
5
9
v6
1
5 5
7
v1
6
v8
1
4
v3
7
v5
6
v7
v2
4 4
v3
14
29
v4
15
22
v5
v6
41
59 40 28 19
21
30
15
12
13 20
v1 ( 0 )
①
v 2 (12 )
②
v3
14
29
v4
15
22
v5
v6
41
⑴ v 1( 0 ) ⑵ 给 ⑶
min{ k 12 , k 13 , k 14 , k 15 , k 16 } min{ 12 , ,19 , 28 , 40 , 59 } 12
2.2 图的最小部分树

如果G1是G2的部分图，则称G1是G2的部分树（或支撑树）。 树图的各条边称为树枝（假定各边均有权重），一般图 G2含有多个部分树，其中树枝总长最小的部分树，称为 该图的最小部分树（也称最小支撑树）

定理1 图中任一个点i，若j是与i相邻点中距离最近的， 则边[i,j]一定必含在该图的最小部分树内。 推论 把图的所有点分成V和 V 两个集合，则两集合之 间连线的最短边一定含在最小部分树内。
③
7
v5
(8 )
6
v7
④
⑤
5）接着往下考察，有四条路可走：( v 2 , v 4 ),
可选择的最短路为
( v 5 , v 6 ),
( v 3 , v 4 ), ( v 5 , v 7 ).
min{ k 24 , k 34 , k 56 , k 57 } min{ 9 ,10 ,13 ,14 } 9
e1
v2
Hale Waihona Puke Baidu
v1
e2
e8
v3
e5
v4
2.3 避圈法和破圈法
（1）避圈法 从网络图中依次寻找权数较小的边， 寻找过程中，节点不得重复，即不得构 成圈。注意在找较小权数边时不考虑已 选过的边和可能造成圈的边。如此反复 进行，直到得到最短树或证明网络不存 在最短树。 在图中寻找最小部分树的步骤：P153
( v 4 , v 7 ), ( v 5 , v 7 ).
min{ k 46 , k 47 , k 56 , k 57 } min{ 18 ,16 ,13 ,14 } 13
① 给 ( v 5 , v 6 ) 划成粗线。 ②给
v6
标号（13）。
③ 划第6个弧。
v2
4
(4)
5
v 4( 9 )
7
用点和点之间的线所构成的图，反映实 际生产和生活中的某些特定对象之间的特定 关系。一般来说，通常用点表示研究对象用 点与点之间的线表示研究对象之间的特定关 系。由于在一般情况下，图中的相对位置如 何，点与点之间线的长短曲直，对于反映研 究对象之间的关系，显得并不重要，因此， 图论中的图与几何图，工程图等本质上是不 同的。
① 同时给
( v 5 , v 7 ), ( v 6 , v 8 )
v7 , v8
划成粗线。
② 分别给
标号（14）。
v2
4
(4)
5
v 4( 9 )
7
9
v 6 (13 )
1
5 5
4
v1 ( 0 )
6
v8
1
(14 )
4
v 3(6 )
7
v5
(8 )
6
v 7 (14 )
最后，从
v8
逆寻粗线到 v 1 ，得最短路：
v4
5
9
v6
1
5 5
7
v1 ( 0 )
①
6
v8
1
4
v3
7
v5
6
v7
下求 1）从
v1
到
v8
的最短路：
v1
出发，向 v 8 走。首先，从 v 1 到 v 1 的距离为0，给 v 1
v 1 标号，或已走出v 1
标号（0）。画第一个弧。（表明已
2）从
）
v 1 出发，只有两条路可走 ( v 1 , v 2 ), ( v 1 , v 3 )
如图6-1所示：
端点，关联边，相邻 环，多重边，简单图 次，奇点，偶点，孤立点 链，圈，路，回路，连通图 完全图，偶图 子图，部分图
例1
2.树和最小支撑树
树图（简称树，记作T（V,E）） 在各种各样的图中，有一类图是十 分简单又非常具有应用价值的图，这就 是树。
2.1树的性质
性质1 任何树中必存在次为1的点。 性质2 具有n个顶点的树的边数恰好为 （n-1）条。 性质3 任何具有n个点、（n-1）条边的连通 图是树图。
引
言
C B
A
D
图1 a
引
言
当地的居民热衷于这样一个问题，一个漫步者 如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过一次， 最终回到原出发地。尽管试验者很多，但是都没有 成功。 为了寻找答案，1736年欧拉将这个问题抽象成 图1b所示图形的一笔画问题。即能否从某一点开始 不重复地一笔画出这个图形，最终回到原点。欧拉 在他的论文中证明了这是不可能的，因为这个图形 中每一个顶点都与奇数条边相连接，不可能将它一 笔画出，这就是古典图论中的第一个著名问题。
（2）破圈法
① 在网络图中寻找一个圈。若不存 在圈，则已经得到最短树或网络不 存在最短树； ② 去掉该圈中权数最大的边； 反复重复 ① ② 两步，直到最 短树。
练习：用破圈法求出下图的最小部分树
v3
6
5
v5
4
v3
v5
3
v1
5
1
7
3
4
v6
v1
5
1
v6
4
v2
图a
2
v4
v2
图b
2
v4
最短路问题
最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。许多优 化问题都可以使用这个模型，如设备更新、管道的铺设、 线路的安排、厂区的布局等。
，其距离为
l 12 4 ,
l 13 6 .
v2
4
(4)
5
v4
9
v6
1
5 5
4
7
v1 ( 0 )
①
②
6
v8
1
4
v3
7
v5
6
v7
可能最短路为
min{ k 12 , k 13 } min{ l12 , l13 } min{ 4 , 6 } 4
①给
②给
( v 1 , v 2 ) 划成粗线。 v2

练习:写下图的树图
v3
v1 v2
v5
v6
v4
v3 v1
v5
v6
v2
v4
练习

用破圈法求出下图的一个树图。
V2 e1 V1 e2 V3
e3
e4 V4
e7
e8 V5
e5
e6
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去 掉边e3 。在剩下的图中，再取一个圈 （v1,v2,v4,v3,v1），去掉边e4 。再从圈 （v3,v4 v5,v3）中去掉边e6 。再从圈 (v1,v2,v5,v4,v3,v1 ）中去掉边e7， 这样，剩下的图不含圈，于是得到一个 支撑树，如下图所示。
若已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的残值与
维修费，如表2所示.
项目 购买费 维修费 残值
第1年 11 5 4
表2 第2年
12 1-2 6 3
第3年 13 2-3 8 2
第4年 14 3-4 11 1
第5年 14 4-5 18 0
机器役龄 0-1
解：把这个问题化为最短路问题。 用点 v i 表示第i年初购进一台新设备，虚设一个点 v 6 ，表示第 5年底。 边
引
言
随着科学技术的进步，特别是电子计 算机技术的发展，图论的理论获得了更进 一步的发展，应用更加广泛。如果将复杂 的工程系统和管理问题用图的理论加以描 述，可以解决许多工程项目和管理决策的 最优问题。因此，图论越来越受到工程技 术人员和经营管理人员的重视。
引
言
1736年瑞士科学家欧拉发表了 关于图论方面的第一篇科学论文， 解决了著名的哥尼斯堡七座桥问题。 德国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔 河，河中有两个岛屿，河的两岸和 岛屿之间有七座桥相互连接，如图 1a所示。
min{ k 24 , k 25 , k 34 , k 35 } min{ 9 , 8 ,10 ,13 } 8
① 给 ( v 2 , v 5 ) 划成粗线。
② 给 v 5 标号（8）。 ③ 划第4个弧。
v2
4
(4)
5
v 4( 9 )
7
9
v6
1
5 5
4
v1 ( 0 )
①
②
6
v8
1
4
v 3(6 )
标号（4）。
③ 划第二个弧。
v2
4
(4)
5
v4
9
v6
1
5 5
4
7
v1 ( 0 )
①
②
6
v8
1
4
v3
7
v5
6
v7
表明走出 是4 。
v 1 后走向 v 8
的最短路目前看是 ( v 1 , v 2 ) ，最优距离
现已考察完毕第二个圈内的路，或者说，已完成 v 1 , 的标号。
v2
v2
4
(4)
5
v4
9
v6
第6章 图与网络分析
本章内容重点 图的基本概念与基本定理 树和最小支撑树 最短路问题 网络最大流
引
言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它 已经广泛地应用于物理学控制论，信息论， 工程技术，交通运输，经济管理，电子计算 机等各项领域。对于科学研究，市场和社会 生活中的许多问题，可以同图论的理论和方 法来加以解决。例如，各种通信线路的架设， 输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络的 合理布局等问题，都可以应用图论的方法， 简便、快捷地加以解决。
9
v 6 (13 )
1
5 5
4
v1 ( 0 )
6
v8
1
(14 )
4
v 3(6 )
7
v5
(8 )
6
v 7 (14 )
( 7）接着往下考察，有四条路可走：v 4 , v 7 ),
( v 5 , v 7 ),
可选择的最短路为
( v 6 , v 7 ), ( v 6 , v 8 ).
min{ k 47 , k 57 , k 67 , k 68 } min{ 16 ,14 ,18 ,14 } 14
这样设备更新问题就变为：求从
v 1 到 v 6 的最短路问题.
项目 购买费 维修费 残值
第1年 11 5 4
表2 第2年
12 1-2 6 3
第3年 13 2-3 8 2
59
第4年 14 3-4 11 1
第5年 14 4-5 18 0
机器役龄 0-1
40 28 19
21
30 15
12
13
v1
v2
20
① 给 ( v 2 , v 4 ) 划成粗线。 ②给
v4
标号（9）。
③ 划第5个弧。
v2
4
(4)
5
v 4( 9 )
7
9
5
v 6 (13 )
1
4
v1 ( 0 )
5
v8
1
①
②
6
4
v 3(6 )
③
7
v5
(8 )
6
v7
⑥
④
⑤
6）接着往下考察，有四条路可走：( v 4 , v 6 ),
可选择的最短路为
( v 5 , v 6 ),
v1 v 2 v 5 v 6 v 8
长度为14。
最短路问题的两个应用
最短路问题在图论应用中处于很重要的地位，下面举两个实
际应用的例子。
例1设备更新问题 某工厂使用一台设备，每年年初工厂要作出决定：继续使 用，购买新的？如果继续使用旧的，要负维修费；若要购买 一套新的，要负购买费。试确定一个5年计划，使总支出最小
1
5 5
4
7
v1 ( 0 )
①
②
6
v8
1
4
v 3(6 )
③
7
v5
6
v7
3）接着往下考察，有三条路可走：( v 1 , v 3 ),
可选择的最短路为
( v 2 , v 4 ), ( v 2 , v 5 ).
min{ k 13 , k 24 , k 25 } min{ l13 , l12 d 24 , l12 d 25 } min{ 6 , 4 5 , 4 4 } 6