第五章 频率域方法 matlab simulink与控制系统仿真 第三版 课件
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复相特性）。
频率特性表达式为
j (j)
(s)|sj (j ) | (j )|e
20
例子 以RC网络为例
• 其传递函数
G(s) 1 Ts1
G(j)G(s)sjTj11
频率特性
G(j
)G(s)
sjTj
1
1
1
ejarctan (T)
(T)2 1
21
三、频率特性的几种表示方法
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
F() 就称为信号 f (t ) 的频谱密度函数。
14
通过以上的分析可知，不论是周期信号还 是非周期信号，均可以看成是由无穷多个正 弦信号的叠加。由于线性定常系统满足叠加 原理，因此，通过对系统在不同角频率正弦 信号作用下响应的研究，所得到的结论是具 有普遍意义的，并非只适用正弦输入的情形。
15
5－2 频率特性
cn
1 T
T/2 T/2
f(t)ejn0tdt
现设
0 n0n
则
T2π/
于是式（5-3）可以表示为
9
f(t)n 2π π π / / f(t)ejn td t ejn t
2 1 πn π π / / f(t)ejn tdt ejn t (5-4)
若
，则
，此时
可用傅里叶级数表
f(t)a 2 0n 1anco n0 stbnsinn0t
(5-1)
其中
0
2π T
an
2 T
2/T 2/T
f(t)cosn
0tdt
bn
2 T
2/T 2/T
f(t)sinn
0tdt
返回子目录
5
式（5ห้องสมุดไป่ตู้1）也可以表示成
f(t)A0 Ansin(0tn) (5-2) n1
(5-9) 13
其中
(n)arctan
a(n) b(n)
上述表达式说明，非周期信号 f (t ) 也可以分解为无穷多个正
弦信号的和，但不同于周期信号的情形，这里正弦信号的角频
率是连续变化的，对于频率为 n的正弦信号，其幅度为
F(n) /π。
为了描述频谱连续分布的情况，这里引入单位频带内的频谱— —频谱密度的概念。
其中
A0 a0 /2
An an2 bn2
narctan(an/bn)
6
可得周期信号
An
的幅度频谱，如图5-1所示。 的相位频谱，如图5-2所示。
n
0 2 0 3 0 4 0 图5-1 幅度频谱
0 2 0 3 0 4 0 图5-2 相位频谱
7
上述周期信号的频谱具有如下特点：
(1)谱线沿频率轴呈离散分布；
一、控制系统在正弦信号作用下的 稳态输出
输入信号： 其拉氏变换式
r(t)Arsint
R(s)
A s2 2
(5-10)
16
返回子目录
输出
C(s)i n1sC isi sBjsD j(5-11)
拉氏逆变换得 c(t) n Ciesit (Dejt Bejt)
i1
（5-12）
ct (t)cs(t)
其中
f(t)2 1 π f(t)ejtdt eitd
(5-5)
10
令
F() f(t)ejtdt
(5-6)
则
f(t)1 F()ejtd (5-7)
2π
式（5-6）和式（5-7）构成了非周期信号 f (t) 的Fourier变换
和Fourier逆变换。
f (t) 的Fourier变换可以表示为
Acsint()
（5－17）
18
• 式中
Ac (j)Ar
( j )
从式（5－17）看出，线性定常系统， 在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输 入同频率的正弦信号。
19
二、频率特性的定义
线性定常系统，在正弦信号作用下，输 出的稳态分量与输入的复数比，称为系统
的频率特性（即为幅相频率特性，简称
(2)各谱线之间呈等距分布，两相邻谱线之间的距离等于 基波频率，任两条相邻谱线之间不可能再出现其他的频 率分量。 对于非周期信号，可以认为是周期信号在其周期趋于无穷 大时的极限情况。
下面先将周期信号的Fourier级数展开式表示成如下指数 形式，即：
8
f (t) cnejn0t n
(5-3)
其中
D
(s)
Ar s2 2
(s
j)
sj
(j) Ar
2j
(j)
j[ (j)π]
2
2 Are
17
同理
B
(j)
j[ (j)π]
2
2 Are
将B、D代入式（5－12）则
(j)
j[ t (j) π] j[t (j) π]
2
2
cs(t) 2 A r(e
(j)Ar cos(t
e
(j)π)
2
(j)Arsin[t (j)]
第五章
频率域方法
1
主要内容
5－1 从傅里叶级数到傅里叶变换 5－2 频率特性 5－3 典型环节的频率特性 5－4 系统的开环频率特性 5－5 频率稳定判据 5－6 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系 5－7 开环频率特性与系统阶跃响应的关系
返回主目录
2
5-1 从傅里叶级数到傅里叶变换
周期为 的函数 示为
G(j)G(j) G(j)
= A()ej()
:0 ，
A()~为系统的幅频特性。
() ~ 为系统的相频特性。
22
图5－4
RC网络的幅频特
性和相频特性
23
图5－5 RC网络
的幅相特性曲线
24
2. 对数频率特性
• 对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包 括对数幅频和对数相频两条曲线
对数幅频特性：
L ( ) 2 0 lgA ( )~ (lg )
对数相频特性:
()~(lg)
25
图5－6 对数坐标刻度图
26
注意
–纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。
–在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程的长度都是相等的。
= l im 0 2 1 π F (0 ) πn 1 a (n )c o sn t b (n )s in n t
l im 0 2 1 π F ( 0 ) πn 1 F ( n )s in ( n t( n ) )
11
F () f(t)c o std t j f( t)s intd t
a()jb()
(5-8)
显然
，所以式（5-7）可以表示为
f(t)lim1
F(n)ejnt
02πn
12
l im 021πF(0)21πn n 0 F(n)ejnt
l im 0 2 1 πF (0 ) πn 1R e F (n )ejn t
频率特性表达式为
j (j)
(s)|sj (j ) | (j )|e
20
例子 以RC网络为例
• 其传递函数
G(s) 1 Ts1
G(j)G(s)sjTj11
频率特性
G(j
)G(s)
sjTj
1
1
1
ejarctan (T)
(T)2 1
21
三、频率特性的几种表示方法
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
F() 就称为信号 f (t ) 的频谱密度函数。
14
通过以上的分析可知，不论是周期信号还 是非周期信号，均可以看成是由无穷多个正 弦信号的叠加。由于线性定常系统满足叠加 原理，因此，通过对系统在不同角频率正弦 信号作用下响应的研究，所得到的结论是具 有普遍意义的，并非只适用正弦输入的情形。
15
5－2 频率特性
cn
1 T
T/2 T/2
f(t)ejn0tdt
现设
0 n0n
则
T2π/
于是式（5-3）可以表示为
9
f(t)n 2π π π / / f(t)ejn td t ejn t
2 1 πn π π / / f(t)ejn tdt ejn t (5-4)
若
，则
，此时
可用傅里叶级数表
f(t)a 2 0n 1anco n0 stbnsinn0t
(5-1)
其中
0
2π T
an
2 T
2/T 2/T
f(t)cosn
0tdt
bn
2 T
2/T 2/T
f(t)sinn
0tdt
返回子目录
5
式（5ห้องสมุดไป่ตู้1）也可以表示成
f(t)A0 Ansin(0tn) (5-2) n1
(5-9) 13
其中
(n)arctan
a(n) b(n)
上述表达式说明，非周期信号 f (t ) 也可以分解为无穷多个正
弦信号的和，但不同于周期信号的情形，这里正弦信号的角频
率是连续变化的，对于频率为 n的正弦信号，其幅度为
F(n) /π。
为了描述频谱连续分布的情况，这里引入单位频带内的频谱— —频谱密度的概念。
其中
A0 a0 /2
An an2 bn2
narctan(an/bn)
6
可得周期信号
An
的幅度频谱，如图5-1所示。 的相位频谱，如图5-2所示。
n
0 2 0 3 0 4 0 图5-1 幅度频谱
0 2 0 3 0 4 0 图5-2 相位频谱
7
上述周期信号的频谱具有如下特点：
(1)谱线沿频率轴呈离散分布；
一、控制系统在正弦信号作用下的 稳态输出
输入信号： 其拉氏变换式
r(t)Arsint
R(s)
A s2 2
(5-10)
16
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输出
C(s)i n1sC isi sBjsD j(5-11)
拉氏逆变换得 c(t) n Ciesit (Dejt Bejt)
i1
（5-12）
ct (t)cs(t)
其中
f(t)2 1 π f(t)ejtdt eitd
(5-5)
10
令
F() f(t)ejtdt
(5-6)
则
f(t)1 F()ejtd (5-7)
2π
式（5-6）和式（5-7）构成了非周期信号 f (t) 的Fourier变换
和Fourier逆变换。
f (t) 的Fourier变换可以表示为
Acsint()
（5－17）
18
• 式中
Ac (j)Ar
( j )
从式（5－17）看出，线性定常系统， 在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输 入同频率的正弦信号。
19
二、频率特性的定义
线性定常系统，在正弦信号作用下，输 出的稳态分量与输入的复数比，称为系统
的频率特性（即为幅相频率特性，简称
(2)各谱线之间呈等距分布，两相邻谱线之间的距离等于 基波频率，任两条相邻谱线之间不可能再出现其他的频 率分量。 对于非周期信号，可以认为是周期信号在其周期趋于无穷 大时的极限情况。
下面先将周期信号的Fourier级数展开式表示成如下指数 形式，即：
8
f (t) cnejn0t n
(5-3)
其中
D
(s)
Ar s2 2
(s
j)
sj
(j) Ar
2j
(j)
j[ (j)π]
2
2 Are
17
同理
B
(j)
j[ (j)π]
2
2 Are
将B、D代入式（5－12）则
(j)
j[ t (j) π] j[t (j) π]
2
2
cs(t) 2 A r(e
(j)Ar cos(t
e
(j)π)
2
(j)Arsin[t (j)]
第五章
频率域方法
1
主要内容
5－1 从傅里叶级数到傅里叶变换 5－2 频率特性 5－3 典型环节的频率特性 5－4 系统的开环频率特性 5－5 频率稳定判据 5－6 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系 5－7 开环频率特性与系统阶跃响应的关系
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2
5-1 从傅里叶级数到傅里叶变换
周期为 的函数 示为
G(j)G(j) G(j)
= A()ej()
:0 ，
A()~为系统的幅频特性。
() ~ 为系统的相频特性。
22
图5－4
RC网络的幅频特
性和相频特性
23
图5－5 RC网络
的幅相特性曲线
24
2. 对数频率特性
• 对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包 括对数幅频和对数相频两条曲线
对数幅频特性：
L ( ) 2 0 lgA ( )~ (lg )
对数相频特性:
()~(lg)
25
图5－6 对数坐标刻度图
26
注意
–纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。
–在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程的长度都是相等的。
= l im 0 2 1 π F (0 ) πn 1 a (n )c o sn t b (n )s in n t
l im 0 2 1 π F ( 0 ) πn 1 F ( n )s in ( n t( n ) )
11
F () f(t)c o std t j f( t)s intd t
a()jb()
(5-8)
显然
，所以式（5-7）可以表示为
f(t)lim1
F(n)ejnt
02πn
12
l im 021πF(0)21πn n 0 F(n)ejnt
l im 0 2 1 πF (0 ) πn 1R e F (n )ejn t