第八章 二次量子化

第八章
二次量子化理论
§8.1 全同粒子体系 一、多体系统 1、多体体系 实际问题中，常须要考虑多粒子的运动。由于量子力学的统计规律的特点和微观粒子的 全同性，量子力学的多粒子体系理论有它特殊的处理方法和特殊的结论，并导出一些十分重 要的结果，所以多粒子体系理论是量子力学的一个重要组成部分。 但是，应该指出，量子力学的多体问题远比单体问题复杂。这不仅因为，当粒子之问具 有相互作用时，多粒子体系的薛定谔方程一般无法求解，通常只能借助各种近似方法，按体 系的各种不同性质以及和实际比较时要求的精确度，求近似解。而且还因为，多粒子体系， 特别是全同粒子体系，还具有新的单粒子体系所没有的特性。而这些特性又要求发展一些断 的处理方法，比方二次量子化方法，等等。 2、多体理论的基本问题 （1） 、多体系统的哈密顿算符 （2） 、多体系统的薛定谔方程 （3） 、注意 本章的内容不同于量子统计物理学。本章只限于讨论温度为零的情况，只讨论真空平均 值或者纯量子态的平均值，不涉及系综平均值，不涉及温度。 二、全同粒子和全同性原理 1、全同粒子 质量、电量、自旋等固有属性完全相同的粒子称为全同粒子。 例如：所有的电子都是全同粒子；所有的质子也都是全同粒子。 在量子力学中，由于不确定性关系，轨道概念不再有任何意义。粒子的状态（包括其位 置）是用波函数来描述。虽然当描写两个粒子的波函数在空间不重叠时这两个粒子可以区分， 但如在运动过程中，两个波函数在空间发生重叠，两粒子便无法区分了。有鉴于此，导致全 同性原理。 2、全同性原理 由于微观粒子具有波动性，系统中的全同粒子因实验表现相同而物理上无法分辨。 换言之，在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互交换不表现出任何可以观察的物理
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效应。说明系统中的全同粒子间存在置换对称性，这种对称性将导致实验中的交换效应。 推论： （1）系统全部可观察量的算符对于粒子编号置换是对称的； （2）系统的总波函数 对于粒子编号置换，要么是全对称的纠缠，要么是全反对称的纠缠。 （3）全同粒子体系波函 数的对称性不随时间变化而变化。 三、全同粒子体系的波函数 泡利不相容原理
1、全同体系的波函数：在相对论性情况下，由整数自旋全同 Boson 组成的系统，总概率幅对 于粒子编号置换必为对称的，遵守 Bose-Einstein 统计，必须按对易规则量子化；由整数自旋 全同 Fermion 组成的系统，遵守 Fermi-Dirac 统计，必须按反对易规则量子化。 只有如此，才能和 Lorentz 变换，以及相对论因果律相容相恰。 2、泡利不相容原理：不能有两个或两个以上费米子处于同一状态(否则系统总波函数为零)。 3、N 个全同粒子体系波函数的一般形式 （1） 无相互作用的全同粒子体系的哈密顿算符的本征函数等于各单粒子哈密顿算符本征函数 之积，本征能量等于各粒子本征能量之和。 如果粒子间相互作用可以略去，则体系的哈密顿算符为
ˆ =H ˆ (q ) + H ˆ (q ) + " + H ˆ (q ) = ∑ H ˆ (q ) . H 0 1 0 2 0 0 N i
i =1
N
ˆ 的本征值和本征函数，则 以 ε i 和 φi 表示 H 0
ˆ (q )φ (q ) = ε φ (q ) , H 0 1 i 1 i i 1 ˆ (q )φ (q ) = ε φ (q ) , H 0 2 j 2 j j 2 """"""""" .
体系的定态薛定谔方程的解是
E = εi + ε j + " + εk ， Φ(q1 , q2 ,", q N ) = φi (q1 )φ j (q2 ) "φk (q N ) .
（2）全同体系波函数一般形式（采用能量表象） a、玻色子体系波函数的形式为
Φ S (q1 , q2 , " , q N ) =
∏n !
i i
N！
∑ Pφ (q )φ (q ) "φ (q
i 1 j 2 k P P
N
).
P 表示 N 个粒子在波函数中的某一排列， ∑ 表示对所有的排列求和, ni 代表单粒子哈密顿 算符第 i 个本征态的粒子数。
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b、费米子体系波函数的形式为
Φ A (q1 , q2 , ", q N ) =
φi (q1 ) φi (q2 ) " φi (q N ) 1 φ j (q1 ) φ j (q2 ) " φ j (q N )
" " " N! " φk (q1 ) φk (q2 ) " φk (q N )
.
若粒子自旋与轨道作用可以忽略，则体系的波函数可以写成坐标函数和自旋函数之积，即
K K K K K K Φ (r1s1 , r2 s2 , ", rN s N ) = φ (r1 , r2 ,", rN ) χ ( s1 , s2 , ", s N ) .
§8.2 二次量子化与薛定谔场 一、经典场论的两类理论框架 1、Lagrange 框架 2、Hamilton 框架——正则框架 二、薛定谔场的“经典场论” 1、物理思想：可以将薛定谔方程中波函数看成“经典”的概率幅“场”，对它建立起“经典” 场论。 2、薛定谔经典场的 Hamilton 框架 （1）与场量ψ (r , t ) 对应的正则共轭动量场为
π (r , t ) =
∂L = i =ψ * (r , t ) (r , t ) ∂ψ
（2）Hamilton 量
Hamilton 密度为
−L= h = πψ =2 ∇ψ * ⋅∇ψ + ∇ψ *ψ 2µ
对上式积分，得场的 Hamilton 量
=2 ∆ + V ψ (r , t ) H = ∫ hdr = ∫ drψ * (r , t ) − 2µ
方括号内正是单粒子量子力学的 Hamilton 量，现在它是未经受量子化的“经典场ψ (r , t ) ”的
Hamilton 量。
（3）场量 Poisson 的括号 利用
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δψ (r , t ) δψ * (r ′, t ) 1 = δ (r − r ′) = δ (r − r ′) ， δψ (r ′, t ) δπ (r , t ) i =
（其它为零）
{ψ (r ,t ), ψ
*
(r ′, t )} =
1 δ (r − r ′) i=
{ψ (r ,t ), ψ (r ′, t )} = {ψ * (r ,t ), ψ * (r ′, t )} = 0
（4）正则运动方程
dψ (r ,t ) = {ψ (r ,t ), H (r , t )} dt
现在ψ , π 是场量，不显含时间，故 ∂ / ∂ t 项为零。关于ψ * 的运动方程不独立，无需考虑。 §8.3 薛定谔场对易规则的二次量子化 一、二次量子化的两条规则 规则一：将普通场量函数替换为非对易的场算符。
ˆ (r , t ) ， π (r , t ) → Π (r , t ) ；另外：ψ * (r , t ) → ψ ˆ + (r , t ) ψ (r , t ) → ψ
量子替换的内容就是规定对易规则： 将经典的 Poisson 括号替换为量子 Poisson 括号 （引入 = ）
{ A, B} ⇒
1 ˆ ˆ A, B i=
因而，对于经典薛定谔场，量子替换为
ˆ (r ,t ), ψ ˆ + (r ′, t ) ψ = δ (r − r ′) ˆ + (r ,t ), ψ ˆ + (r ′, t ) [ψˆ (r ,t ), ψˆ (r ′, t )] = ψ =0
规则二：维持原来经典场方程形式不变，只将其中场量函数替换为场算符。
ˆ (r ,t ) 1 dψ ˆ (r , t ) ˆ (r ,t ), H = ψ dt i=
=2 + ˆ ˆ (r , t ) − ˆ (r , t ) H (r , t ) = ∫ drψ ∆ + V ψ 2µ
这种替换实质上是规定了场算符的时空传播规律。 二、粒子数表象 不同的粒子数表象，一旦选定，粒子数表象中的“粒子”即被赋予相应模式的具体物理 含义。 1、场算符表示
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选择经典薛定谔方程解的完备集
=2 ∆ + V (r ) ψ k ( r ) = E kψ k (r ) ， (ψ k (r ) exp(−iEk t / = ) − 2µ
可以用这组函数族展开场算符。
−i E t / = i E k t/= * ˆ (r , t ) = ∑ a ˆ + (r , t ) = ∑ a ˆ kψ k (r )e k ， Ψ ˆ+ Ψ kψ k ( r )e k k
ˆk ， a ˆ+ a k 是量子系数，体现场算符的非对易代数性质。 ˆ (r , t )ψ * (r ) e ˆ k = ∫ dr Ψ a k
i E k t/=
−i E t / = ˆ+ ˆ+ a ψ k (r ) e k k = ∫ dr Ψ ( r , t )
ˆ+ ˆ 2、产生算符 a k 和湮灭算符 a k 的关系
ˆ j, a ˆ+ ˆ ˆ ˆ+ ˆ+ [a k ] = δ j k ， [ a j, a k ] = [ a j , a k ] = 0
ˆ+ ˆ 3、产生算符 a k 和湮灭算符 a k 表示的 Hamilton 算符与粒子数算符
=2 + ˆ (r , t ) = drψ ˆ ˆ (r , t ) = ∑ E k a ˆ+ ˆ ( , ) H r t kak − 2 µ ∆ + V ψ ∫ k
ˆ =∑a ˆ+ ˆ N kak
k
ˆ =a ˆ+ ˆ 这里 N k k a k 为 k 模态的粒子数算符。
4、粒子数表象的建立 （1）基矢：可以将全同粒子系统看成满足对易规则的全部无相互作用 k 模态准粒子的集合。
ˆ,N ˆ ] = 0 ，[ N ˆ ,N ˆ ] = 0 ，从而 H ˆ, N ˆ 组成一个对易的完备的力学量组，它们有共同 由于 [ H k j k k
{
}
的本征态
n1 , n 2 , " , n k , " =
nk 1 + n1 ˆ1 ˆ+ a "( a "0 ( ) k ) n1 !n 2 !" n k !"
（2）粒子数表象中玻色全同系统的描述 将满足对易规则的薛定谔场进行量子化， 得到的量子场在物理上描述一组总数不变的全 同玻色子集合。这些玻色子尽管受到外场 V (r ) 的作用，但相互之间没有作用，可能处于束缚 态或非束缚态。 玻色量子场的准粒子为ψ (r ) exp(−iE k t / =) ，可以对该准粒子进行产生和湮灭。 这里的“产生”和“湮灭”其实是粒子状态的跃迁或转换。
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三、二次量子化与全同玻色多体量子力学的等价性 对薛定谔场进行量子化得到的量子场的动力学，在物理本质与数学形式上都等价于全同 玻色多体量子力学。 证明： §8.4 薛定谔场反对易规则的二次量子化 一、二次量子化的规则 规则一：将普通场量函数替换为非对易的场算符。
ˆ (r , t ) ， π (r , t ) → Π (r , t ) ；另外：ψ * (r , t ) → ψ ˆ + (r , t ) ψ (r , t ) → ψ
量子替换的内容就是规定对易规则：将经典的 Poisson 括号替换为 Jordan-Wigner 量子化规则
{ψˆ (r,t ), ψˆ
+
(r ′, t )} = δ (r − r ′)
ˆ (r ,t ), ψ ˆ (r ′, t )} = {ψ ˆ + (r ,t ), ψ ˆ + (r ′, t )} = 0 {ψ
规则二：维持原来经典场方程形式不变，只将其中场量函数替换为场算符。
ˆ (r ,t ) 1 dψ ˆ (r , t ) ˆ (r ,t ), H = ψ dt i=
可推得：
i= ˆ (r ,t ) = 2 ˆ dψ = − ∆ + V (r , t ) Ψ (r , t ) dt 2µ
说明： 对于费米子， 在研究场算符的运动时， 必须是用将经典的 Poisson 括号替换为量子 Poisson 括号（引入 = ），不能也用 Jordan-Wigner 量子化规则。这是因为量子化后的 Hamilton 算符是 时间演化算符的生成元。对任意不显含时间的场算符，其时间演化为