直线及平面相对位置

H 投影投
射方向
界
d' f' b' d k
l’
c'
上,可见
判别可见性：
根据空间位置关系判别。
一、特殊位置平面与直线或平面相 利用积聚性投影作图 交 例1 求直线AB 与平面△CDE 的交点。
a' c' x a k’ d'
分析： 作图：
Aຫໍສະໝຸດ Baidu
从属性
b'
e' d e k b o
D
C
K
E
B
c
k
一、特殊位置平面与直线或平面相 利用积聚性投影作图 交 例1 求直线AB 与平面△CDE 的交点。
K B
解题完毕
PH
一、特殊位置平面与直线或平面相 利用积聚性投影作图 交 例3 求两平面△ABC 与△DEF 的交线。
b' a' e' k’ e a b f' l’ d' c' c o
A E K
分析： △DEF 为铅垂面，交线的H
投影已知；根据从属性，求交 线的V 投影。
B F L D
x
C
k
f
( 1’ ) a' 2’ c' x a 1 2 k
2在前
d' k’
可见性判别： k ’b’ 可见，线段描粗； 方法 1： 利用重影点 k’2’ 不可见，画细虚线。
A
D
b'
e' d e b o
C
K
E
B
c
k
方法2
一、特殊位置平面与直线或平面相 利用积聚性投影作图 交 例1 求直线AB 与平面△CDE 的交点。
直线及平面相对位置
内容
1 平行问题
2 相交问题 3 垂直问题 4 综合问题解题示例
按
ESC
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1平行问题
一、直线和平面平行
二、平面与平面平行
几何条件
一、直线和平面平行
如果平面P 外的一条直线AB 与平面内的一条直线平行,那么这条直线 AB 和这个平面P 平行。
L
A
∵ L∈P ； L ∥AB ； ∴ AB ∥ P 。
l
投射方向
一、特殊位置平面与直线或平面相 利用积聚性投影作图 交 例4 求两平面△EFG 和□ABCD 的交线。
d' e' a' x e a f' b' d k b
l
l’
c' g' g o
k’
分析： △EFG 为水平面; 交线的V 投影已知；根据从 属性，求交线的H 投影。
k c
L
f
一、特殊位置平面与直线或平面相 利用积聚性投影作图 交 例4 求两平面△EFG 和□ABCD 的交线。
c2
二、平面与平面平行
特殊位置平面的平行
两投影面垂直面平行，在它们所垂直的投影面上，它们的积聚性投影 相互平行。 q’ p Q p’
X q p
0
P∥Q
p ∥q
2 相交问题
概述 一、特殊位置平面与直线或平面相交 二、一般位置直线和平面相交 三、两一般位置平面相交
直线和平面、平面和平面若不平行就必相交。
l
d
a b
c
k
l
一、特殊位置平面与直线或平面相 利用积聚性投影作图 交 例3 求△ABC 与△DEF 两平面的交线。
判别可见性：
b' a' e' k’ e a
界
f'
l’
根据空间位置关系判别。
d' c' c o a
A
解题完毕
B E K F L D
x
C
k
f l
后，不可见
c k b
d
前，可见
b V 面投影
B 反之，如果直线AB 与平面P 平行，那么在平面内一定有一条直线与该 直线AB 平行。
例1 含点Ⅰ（1，1‘）作平面与直线AB（ab，a’b’）平行。
分析： 只要含点Ⅰ作直线与AB 平行 ，则含此直线所作的任意平面均符合题 意。 3' b' 1’ 作图： 1.作1' 3' ∥a'b' ； 13 ∥ab ； 2.任作12 ，1’2’ 。
一、直线和平面平行
2’
a'
X
2 1 b 3 a
O
则平面ⅠⅡⅢ平行于直线 AB 。
例2 判断直线AB 与平面△ⅠⅡⅢ是否平行。
一、直线和平面平行
作图：
分析：只要判断能否在平面内找到一条与AB 直线平行的直线即可，有则平 行，否则不平行。
2' 1’ X 2 d 1
d'
3' b' O a 3 b
1.在平面内取直线ⅠD ， 使1’d' ∥a'b' ； 2.连接1d ； ∵1d 与ab 不平行， ∴平面ⅠⅡⅢ 与直线AB 不 平行。
a'
k’ x a PX k
PV b' o b
A K B
PH
一、特殊位置平面与直线或平面相 利用积聚性投影作图 交 例2 求直线AB 与平面P (迹线面)的交点。
H 投影投
射方向
a'
上，可见
可见性判别： H 投影需判别可见性， PV 为界。
PV b' b
界
k’ x a PX k
下，不可见。 A
o
a'
二、平面与平面平行 几何条件：
如果一平面内的两相交直线与另一平面内的两相交直线分别对应平行， 则两平面平行。
∵ L1 ∥ L2 ； L3 L1 L4 L3 ∥ L4 ； ∴R∥P 。
L2
举例 含点A1 作平面平行定平面（A2 B2 × A2 C2 ）。
分析： 只要含点A 作相交直线分别与A B 和A C 平行即可。 2 2 2 2 1 作图：
可见性判别：
a' c' x a
后，不可见
d' k’
方法2： 根据空间位置关系
b'
e' d e k b
界
A
o
C
D
K
E
B
c
V 投影投
射方向
前，可见
k
解题完毕
一、特殊位置平面与直线或平面相 利用积聚性投影作图 交 例2 求直线AB 与平面P (迹线面)的交点。
分析：
平面P 为正垂面，交点的 V 投影已知；根据点在线上 的从属性，可求得交点的H 投影。
二、平面与平面平行
c ‘1 a‘
1
c'2 a' 2
1.作a‘1b‘1 ∥a'2 b'2 ； a1b1 ∥a 2 b 2 ； 2.作a‘1c‘1 ∥a'2 c'2 ； a1c1 ∥a2 c2 ；
b ‘1 X b1 a1 c1
b'2 O
b2
a2
则平面(A1B1×A1C1)与平面 （A2B2×A2C2）平行。
概述

基本问题 1.求交点、交线； 2.判别可见性。

性质 共有点；共有线。 求交点——求直线和平面的共有点； 求交线——求出两个共有点，然后连线。

求共有点的方法 1.利用积聚性，确定交点的已知投影直接作图；
2.通过辅助平面作图。
一、特殊位置平面与直线或平面相 举例 交 利用积聚性投影作图
例1 求直线AB 与平面△CDE 的交点。 例2 求直线AB 与平面P (迹线面)的交点。 例3 求两平面△ABC 与△DEF 的交线。 例4 求两平面△EFG 和□ABCD 的交线。 例5 求两平面Q 平面与△ABC 的交线。 例6 求一平面与共边两平面△SAB、△SAC 的交线。