《高等数学》无穷小与无穷大、无穷小的比较 ppt课件

1.7 无穷小与无穷大,无穷小的比较
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、无穷小的比较
教学目的和要求：深刻理解无穷小、无穷大的概念以及它们之间的
关系，熟练运用无穷小的运算性质。熟悉无穷小的比较。
知识点：无穷小、无穷大的定义，无穷小的运算，无穷小与无穷大的
关系，无穷小的比较。
重点：无穷小的运算性质，无穷小与无穷大的关系，无穷小的比较。
limx2 .
x
(ii) y x3,
limx3 . (iii), (iv) 自己画
x
画图会更清楚.
(iiiy)lnx, limlnx, limlnx.
x0
x
(ivy)taxn, lim tanx , lim tanx .
x
x
2
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2
例4 当 n 时 , xn(2)n是否为无 ? 穷
解 M0,
要 |x n| |( 2 )n| 2 n M nlo2M g,
难点：等价无穷小的利用
教学方式：多媒体、讲授。
教学思路：通过具体的实例理解无穷小、无穷大的概念，无穷小与无
穷大是函数在变化过程两种比较特别的变化趋势，要加强对“趋势”二 字的解释。
精品资料
• 你怎么称呼老师？
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• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
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1.定义2.7.1:
极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 (或正数X ),使得对于适合不等
式 0 x x0 (或 x X )的一切 x ,对应的函
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例,当 如 x 0时 ,xsi1n ,x2arc1tan
x
x
都是无穷小
例2
证明 lim1sinx 0 x x
证 因为 lim10, (无穷小 ) 量 x x
|sx i| n 1x (, ), (有)界量
故lim 1sinx0. x x
注意：
(i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x(0, 1).
(ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论.
例 ,可 如 x 观 0时 察 ,x x 2 3,x x 3 2,3 x x 2 2, 的.情
二. 无穷大量
1.无穷大量的定义
定义 M 0 ,若 X 0 , 当 |x | X 时 , 有 | f(x)|M
取 Xma X 1,x X2 { }当 , x X时,恒有
, 22
0 (x )
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如 ,n时,1是无穷小， n
但n个1之和1不 为是无.穷小 n
定理 3
有界函数与无穷小的乘积是无穷 小.
证 设函u在 数 U(x0,1)内有界，
则 M 0 ,10 ,使0 得 x当 x 01 时 恒u 有 M .
2.给出了函 f(x数 )在x0附近的近似表 f(x)A,误差为 (x).
3.无穷小的运算性质:
定理2
在同一极限过程中,有限个无穷小的代 数和仍是无穷小.
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍 是无穷小.
证 设及是当 x时的两个, 无穷小
0, X 10,X 20,使得
当xX1时恒 有 2; 当xX2时恒 有 2;
成 ,则 立 f(称 x)为 x 时的,无 记穷 为 li f( x m ) 或 f( x ) ( x ) .
x
换成 f (x) M, 则
lim f (x) x
称为正无穷大量.
换成 f (x) M, 则
lim f (x) x
称为负穷大量 .
例3
(i) y x2,
2. 函数的极限与无穷小量的关系
分析
若 x l x 0 i f ( x ) m a ,则 0 ,当 0 |x x 0 | 时 , |f ( x ) a | |( f ( x ) a ) 0 | ,
即x当 x0时 , f(x)a是一个.无穷 令 ( x ) f ( x ) a , 则 ( x ) 0 ( x x 0 ) , 且 f( x ) a ( x )( x x 0 ) .
取 N [2 l M ] , o 则 n g N 时 当 ,有 | (2)n |M
故 n l ix m n n l i( m 2 )n .
数值 f ( x)都满足不等式 f (x) ,
那末 称函数 f (x) 当 x x0 (或 x )时为无
穷小,记作 lim f (x) 0 (或lim f (x) 0).
xx0
x
例1
(1)lim x20,x 0时 , x2是一个无 . 穷小 x 0
(2)lism ixn 0x , 0时 ,sixn 是一个 . 无 x 0
反之亦然.
由以上的分析, 你可得出 什么结论 ?
定理1
limf (x)a f(x) a (x),
xx0 (x)
其 ,( x ) 0 中 ( x x 0 , ( x ) .)
由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则.
意义
1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);
(3)lim 10,x 时 , 1是一个无 . 穷小
x x
x
(4)lim cox s0x , 时 ,cox是 s 一个.无
x 2
2
(5)lim 00,
在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量.
简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限 的量称该极限过程中的一个无穷小量.
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
又 设 是x当 x0时的无 , 穷小
0 , 2 0 ,使 得 当 0 x x 0 2 时 , 恒 有 M .
取 m 1 i, n 2}{ 则 , 0 当 xx 0 时 ,恒有 uu M , M
当 x x0时 ,u为无 . 穷小
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.