2020版高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数学案新人教A版必修16

1.2.1 任意角的三角函数

1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会判断三角函数值的符号.(重点)

2.掌握诱导公式及其应用.(重点)

3.了解三角函数线的意义，会利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.(难点)

[基础·初探]

教材整理1 任意角的三角函数

阅读教材P 11～P 12例1以上内容，完成下列问题.

1.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.

2.定义：

图1­2­1

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y

x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x

(x ≠0).

对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.

3.正弦函数sin α的定义域是R ；余弦函数cos α的定义域是R ；正切函数tan α的

定义域是⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ∈R ，且x ≠k π＋

π2，k ∈Z .

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)由sin α＝y

r

，故角α终边上的点P (x ，y )满足y 越大，sin α的值越大.( )

(2)终边相同的角，其三角函数值也相等.( )

(3)三角函数是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.( )

【解析】 (1)当y 越大时，y r

比值不变，故sin α不变. (2)由正弦定义知正确. (3)由三角函数定义知正确. 【答案】 (1)× (2)√ (3)√

教材整理2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 阅读教材P 13“探究”内容，完成下列问题.

图1­2­2

口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

已知α是第三象限角，则sin α________0，cos α________0，tan α________0.(填“>”或“<”)

【答案】 < < > 教材整理3 诱导公式一

阅读教材P 14“例4”以上内容，完成下列问题.

cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－

11π6等于________. 【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝cos π6＝32.

【答案】

3

2

教材整理4 三角函数线

阅读教材P 15倒数第四行至P 17“练习”以上部分，完成下列问题.

1.(1)把规定了正方向的直线称为有向直线.

(2)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.

2.三角函数线的定义：如图1­2­3，①设任意角α的顶点在原点O (O 亦为单位圆圆心)，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P (x ，y )，②过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A (1,0)作单位圆的切线，③设它与角α的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (由于过切点的半径垂直于圆的切线，所以AT 平行于y 轴).

图1­2­3

于是sin α＝y ＝MP ，cos α＝x ＝OM ，tan α＝y x ＝

MP OM ＝AT

OA

＝AT . 我们规定与坐标轴同向时，方向为正向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段MP ，

OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.

3.轴线角的三角函数线：当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的正切值不存在.

如图1­2­4，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )

图1­2­4

A.正弦线PM ，正切线A ′T ′

B.正弦线MP ，正切线A ′T ′

C.正弦线MP ，正切线AT

D.正弦线PM ，正切线AT

【解析】 α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ，C 正确. 【答案】 C

[小组合作型]

任意角三角函数的定义及应用

(1)若sin α＝35，cos α＝－4

5，则在角α终边上的点有( )

A.(－4,3)

B.(3，－4)

C.(4，－3)

D.(－3,4)

(2)若α＝－π

3，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.

(3)已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝________. 【精彩点拨】 准确理解任意角三角函数的定义是解题的关键.

【自主解答】 (1)由sin α，cos α的定义知x ＝－4，y ＝3，r ＝5时，满足题意，故选A.

(2)因为角－π3的终边与单位圆交于P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2

，－32，

所以sin α＝－32，cos α＝1

2

，tan α＝－ 3. (3)因为r ＝

－3a 2

＋4a

2

＝5|a |，

①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，

sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－3

5

，

所以2sin α＋cos α＝85－3

5

＝1.

②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝3

5，

所以2sin α＋cos α＝－85＋3

5＝－1.

【答案】 (1)A (2)－

32 1

2

－ 3 (3)1或－1