2015-2016复积场试题A卷

河北科技大学2015——2016学年第一学期

《复变函数、积分变换与场论》考试试卷(A )

学院 班级 姓名 学号

一、选择题（本题共5小题，每小题3分,共15分）

1. 一个向量顺时针旋转3

π

，向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复

数为1-，则原向量对应的复数是 【 】 (A ）2; （B

）; （C

i ; （D

i . 2. 若函数22()2(1)()f z x y i y ax x =-++-在复平面内处处解析，则实常数a 的值等 于 【 】 (A)0； (B)1； (C)2； (D)任意常数. 3.下列级数中，绝对收敛的是 【 】

(A)111n i n n ∞

=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (B)1(1)2n n n i n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑； (C)2ln n n i n ∞=∑； (D)1(1)2n

n n ∞

=-∑.

4. 设有矢量场A ϖ

，下列叙述正确的是 【 】

(A) 若散度处处为零，即0=A div ϖ

，则称此矢量场为管形场；

(B) 若散度处处为零，即0=A div ϖ

，则称此矢量场为调和场；

(C) 如果恒有rot 0ϖϖ=A ，则称此矢量场为无源场；

(D) 若散度处处为零，即0=A div ϖ

，则称此矢量场为有势场.

5.设矢量场(2)(42)(26),A x y i x y z j y z k →

→

→=+++++-r

则下列结论不正确

的是 【 】

(A)A u r 为保守场； (B)A u r 为调和场； (C)A u r 为管形场；(D)A u r

为有源场. 二、填空题(本题共7小题，每小题3分,共21分)

1. Im{ln(34)}i -= .

2．设C 为负向圆周||2,z =则5()z

C e dz z i π=-⎰Ñ . 3．设3

sin 2(),(1)

z

f z z =

+则Re [(),1]s f z -= . 4．方程31+0z i -=的全部根为 . 5． 如果()f z u iv =+是调和函数， 是v 的共轭调和函数.

6．数量场22

3u x z xy z =-+在点(1,1,1)M -处沿{1,2,3}l =-r 的方向导数等于 . 7．函数()sin 5f t t =的Fourier 变换为 . 三、计算下列积分(本题共4小题，每小题5分,共20分)

1.()

33

21

,1C

z z dz z -+-⎰

Ñ，其中C 为正向圆周3||=z .

2.

sin

(1)z

C

z

dz

z e

-

⎰Ñ，其中C为正向圆周1

||

2

z=.

3.

2

4

.

1

x

dx

x

+∞

-∞+

⎰

4.

2

.

t t

e e

dt

t

--

+∞-

⎰

四、(6分)利用卷积定理，证明()-1

222L sin 2+s t at a s a ⎡⎤

⎢

⎥=⎢⎥⎣⎦

. 五、计算题 (6分)求函数

1()()()()()222a a f t t a t a t t δδδδ⎡

⎤=

-++-+++-⎣

⎦

的Fourier 变换.

六、解下列各题 (每小题8分,共32分)

1.利用Laplace 变换求方程222cos t y y y e t '''-+=满足(0)(0)1y y '==的解.

2. 求矢量场222

A yz i zx j xy k =++u v v v v 的散度和旋度.

3. 把函数()()

1

()12=--f z z z 分别在011<-

数.

4.设矢量场cos cos sin ,A y xy i x xy j z k →→→→

=++ (1)证明矢量场→

A 为有势场； (2)求矢量场→

A 的势函数.