离散数学第四章二元关系和函数

1 100 0 01 1 0 00 0 01 0 0
2 1
4
3
内容提纲
1. 集合的笛卡尔积与二元关系 2. 关系的运算 3. 关系的性质 4. 关系的闭包 5. 等价关系和偏序关系 6. 函数的定义和性质 7. 函数的复合和反函数
关系的定义域和值域
• 定义4.8:关系R的定义域domR,值域ranR和域 fldR分别是: domR={x|y(<x,y>R)}. ranR={y|x (<x,y>R)}. fldR=domRranR.
– ＜x,y> AxB,则xA,yB,＜x,y>AxB,则x A或y B
笛卡儿积运算具有的性质(1)
• 若A,B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集, 即 xB=Ax=
• 当A≠B且A,B都不是空集时,有 AxB≠BxA 笛卡儿积不适合交换律
• 当A,B,C都不是空集时,有 (AxB)xC≠Ax(BxC) 笛卡儿积不适合结合律
– 本书涉及二元关系，（其它n元关系不在本书之列） ，书中涉及的关系全为二元关系．
A到B的二元关系
• 定义4.6：设A,B为集合，AxB的任何子集所定义的二元关系称作从 A到B的二元关系，特别当A=B时,则叫做A上的二元关系.
• 如果|A|=n,则|AxA|=n2. • AxA的子集有 个,每一个子集代表一个A上的关系.
– 例如:<1,-1,3>,<2, 4.5 , 0>是三元组. – 例如:n维空间中的点的坐标. – 例如:n维向量是n元组．
笛卡儿积
• 定义4.3:设A,B为集合,用A中的元素为第一元素 ,B中元素为第二元素，构成有序对，所有这样的 有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积，记作 AxB,符号化表示为 AxB= {<x,y>|xAΛy B}。
IA={<0,0>,<1,1>,<2,2>}
关系实例
• 设A为实数集R的某个子集,则A上的小于等于关系定义为 LA={<x,y>|x,yA,xy}.
• 例4.4 设A={a,b},R是P(A)上的包含关系, R={<x,y>|x,yP(A),xy}, 则有 P(A)={,{a},{b},A}. R={<, >,<,{a}>,<,{b}>,<,A>, <{a},{a}>,<{a},A>,<{b},{b}>,<{b},A>,<A,A>}.
ab cd R3=R5
例题(关系矩阵运算法)
• 设 A={a,b,c,d},R={<a,b><b,a>,<b,c>,<c,d>},求R0,R1, R2,R3,R4,R5.
• 解:rij=ri1.r1j+ri2.r2j+ri3.r3j+ri4.r4j
– 0+0=0;0+1=1,1+0=1,1+1=1
0100 1010 . 0001 0000
0100
0100
1010 . 1010
0001
0001
0000
0000
1010
ห้องสมุดไป่ตู้
0100
0101
= 0101 . 1010
=
1010
0000
0001
0000
0000
0000
0000
等式(3)
• 定理4.3: 设R为A上的关系,m,n是自然数,则下面的等式 成立.
例题
• 设F,G是N上的关系,其定义为 F={<x,y>|x,yNy=x2}; G={<x,y>| x,yNy=x+1}, 求G-1,FoG,F{1,2},F[{1,2}]
• 解:
– G-1={<1,0>,<2,1>,<3,2>,...,<x+1,x>,...}; – z((z=x+1)y=z2)
自反性
定义
反自反性
对称性
反对称性 传递性
定义
xA,有 <x,x>R
xA,有 <x,x>R
若<x,y>R 则<y,x>R
若<x,y>R, 若<x,y>R 且
且xy,
<y,z>R 则
则<y,x> R <x,z>R
关系矩阵特 点
关系图特点
主对角线的 元素全为1
图中每个节 点都有环
主对角线的 元素全为0
图中每个节 点都没有环
例题
• 例题4.8:下列关系都是整数集Z上的关系,分别求出它们的 定义域和值域.
– R1={<x,y>|x,yZxy}; – R2={<x,y>|x,yZx2+y2=1};
• domR1=ranR1=Z. R={<0,1>,<0,-1>,<1,0>,<-1,0>} domR2=ramR2={0,1,-1}
– <<x,y>,z>(AxB)xC, <x,<y,z>> Ax(BxC), <x,<y,z>> (AxB)xC.
笛卡儿积运算具有的性质(2)
• 笛卡儿积运算对或运算满足分配律, Ax(BC)=(AxB)(AxC) (BC)xA=(BxA)(CxA) Ax(BC)=(AxB)(AxC) (BC)xA=(BxA)(CxA)
– R0={<x,x>|xA}; – Rn=Rn-1oR,n1.
• 由上可知: RoR0=R=R0oR
例题(关系图法)
• 设 A={a,b,c,d},R={<a,b><b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R0,R1, R2,R3,R4,R5.
• 解:
ab c d R0
ab cd R=R1
ab cd R2=R4
– A={1,2,3} R1 = {<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}(自反) R2 = {<2,3>,<3,2>}(反自反) R3 = {<1,1>,<2,2>}(两者都不是)
(Rm)n+1=(Rm)noRm =RmnoRm =Rm(n+1)
内容提纲
1. 集合的笛卡尔积与二元关系 2. 关系的运算 3. 关系的性质 4. 关系的闭包 5. 等价关系和偏序关系 6. 函数的定义和性质 7. 函数的复合和反函数
关系的性质
• 自反性 • 反自反性 • 对称性 • 反对称性 • 传递性
– RmoRn =Rm+n – (Rm)n=Rmn 证明 任意给定m,对n进行归纳. (1)n=0,RmoR0=Rm=Rm+0 假设 RmoRn=Rm+n,则
RmoRn+1=Rmo(RnoR) =(RmoRn)oR =Rm+noR =Rm+n+1
(2)n=0,(Rm)0=R0=Rm.0. 假设(Rm)n=Rmn,则
1 100 0 01 1 0 00 0 01 0 0
关系图
• 设V是顶点的集合,E是有向边的集合,令V={x1, x2,..., xn},如果xiRxj, 则有< xi,xj >E,那么 G=<V,E>就是R的关系图.
例题
• 设A={1,2,3,4},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>} 的关系图和关系矩阵为:
关系矩阵
• 设 A={x1, x2,..., xn},R是A上的关系,令
1 若xiRxj
ri,j =
0 若xiRxj
ri,j =
r11
r12 ... r1n
r21
r22 ... r2n
...
rn1
rn2 ... rnn
ri,j =是关系矩阵
例题
• 设A={1,2,3,4},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>} 的关系图和关系矩阵为:
– 例如:A={a,b},B={0,1,2},则 AxB={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}; BxA={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}.
– 如果A中的元素为m个元素，B中的元素为n个元素， 则AxB和BxA中有mn个元素．
– 当A1＝ A2＝… ＝An ＝ A时可记为An – 例题:A={a,b,c},则
A3={<a,a,a>,<a,a,b>,<a,a,c>,<a,b,a>,<a,b,b>,<a,b, c>,<a,c,a>,<a,c,b>,<a,c,c>,…}
二元关系
• 定义4.5: 如果一个集合为空集或者它的元素都是 有序对,则称这个集合是一个二元关系,一般记作 R,对于二元关系R,如果<x,y>R,则记作xRy; <x,y>R,记作xRy.
离散数学第四章二元关 系和函数
2020年4月29日星期三
内容提纲
1. 集合的笛卡尔积与二元关系 2. 关系的运算 3. 关系的性质 4. 关系的闭包 5. 等价关系和偏序关系 6. 函数的定义和性质 7. 函数的复合和反函数
序偶
• 定义4.1:由两个元素x和y（允许x=y）按一定的 顺序排列成的二元组叫作有序对(也称序偶),记作 <x,y>(也可记作(x,y)).其中x是它的第一元素,y是 它的第二元素.
• 判断下列命题的真假
– 若AC且BD,则有AxBCxD;(真) – 若AxBCxD,则有AC且BD.(假)
n阶笛卡儿积
• 定义4.4 设A1, A2,…, An,是集合(n2),它们的n阶 笛卡儿积记作A1x A2x… xAn,其中 A1x A2x… xAn＝{<x1, x2,…, xn>| x1 A1, x2 A2,..., xn An }
• 证明(4) 任取<x,y>, <x,y>(FoG) -1 <y,x>(FoG) z((<y,z> G)(<z,x>F)) z((<z,y> G -1 )(<x,z>F -1 )) <x,y> G -1 O F -1
等式(2)
• 定理4.2 设F,G,H为任意的关系,则有
– Fo(GH)=FoGFoH; – Fo(GH)FoGFoH; – (GH)Of=GoFHoF; – (GH)oF GoFHoF;
其中之一是空集,称做空关系.另外两种就是全域关系EA和恒等关系IA.
• 定义4.7:对任何集合A, EA={<x,y>|xAyA}=AxA. IA={<x,x>| xA}. 例如,A={0,1,2},则 EA ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>, <2,2>}
FoG= {<x,y>| x,yNy=(x+1) 2} – F{1,2}={<1,1>,<2,4>} – F[{1,2}]=ran(F{1,2})={1,4}
等式(1)
• 定理4.1:设F,G,H是任意的关系,则有
– (F-1)-1=F – domF-1=ranF, ranF-1=domF; – (FoG)OH=Fo(GoH); – (FoG) -1=G-1oF-1
矩阵为对称 矩阵
如果两个顶 点之间有边, 一定是一对 方向相反的 边.
如果rij=1, 且xy 则rji =0
如果两个顶 点之间有边, 一定是一条 有向边.
如果xi到xj有 边，xj到xk有 边，则xi到xk 一定有边．
例题（１）
• 设A为非空集合，A上的关系可以是自反的，反 自反的，或则两者都不是．
• 图解方法
1
0
-1
R2
domR2
1 0 -1
ranR2
逆、合成、限制和象
• 定义4.9: 设F,G为任意的关系,A为集合,则
– F的逆记作F-1, F-1={<x,y>|yFx}; – F与G的合成记作FoG={<x,y>|z（xGzzFy）};
– F在A上的限制记作FA= {<x,y>|xFyxA}; – A在F下的象F[A]=ran(FA).
• 证明(1) 取<x,y>Fo(GH) z(<x,z>GH<z,y>F) z((<x,z>G<x,z>H)<z,y>F) z((<x,z>G <z,y>F) (<x,z>H <z,y>F) <x,y> FoG FoH <x,y> FoG FoH
n次幂
• 定义4.10 设R为A上的关系,n为自然数,则R的n 次幂规定如下:
– 例如平面直角的坐标:<1,-1>,<2,0>,<1,1>,他的特性 是: 当x≠y时,<x,y>≠<y,x> <x,y>=<u,v>等充分必要条件是x=u,y=v.
– 序偶与集合的关系, <x,y>≠<y,x>,但{x,y}={y,x}
有序n元组
• 定义4.2 :一个有序n元组(3≤n)是一个有序对,其 中第一个元素是一个有序n-1元组，一个有序n元 组记作＜x1, x2,…, xn,>,即 ＜x1, x2,…, xn,>=<< x1, x2,…, xn-1,>, xn >
• 证明: 对任意的<x,y> <x,y>Ax(BC) xAΛy(BC) xAΛ(yByC) (xAyB)(xAyC) <x,y>(AxB)<x,y>(AxC) <x,y>(AxB)(AxC) 所以：Ax(BC)=(AxB)(AxC)成立.
例题(1)
• 设A={1,2},求P(A)xA P(A)xA= {,{1},{2},{1,2}} x{1,2} ={<,1>,<,2>,<{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>,<{1,2},1>,<{1,2},2>}