分数阶混沌系统数值解析与电路仿真研究

Abstract ： To analyze a fractional-order chaotic system ，based on an improved version of Adams-Bashforth-Moulton algorithm ， investigated the method of numerical analysis for a new three-dimensional fractional-order chaotic system and achieved chaotic attractors generated from this system with different fractional-order by utilizing MATLAB software platform． Then based on frequency-domain approximation algorithm ，designed a fractional-order unit circuit with an RC serial-parallel circuit and realized the proposed fractional-order chaotic system by using an analogue circuit． These results from circuit simulation and numerical analysis are identical ，which indicate that the proposed two methods are feasible and verify that there is also complex nonlinear physical phenomenon in the fractional-order chaotic system． Key words ： fractional-order ； chaotic system ； numerical analysis ； circuit simulation
1 sq
（ 3）
真所得的结果 。 从图 1 中不难观察到， 两种数值解析结果基 本 一致， 由此说明了基于改 进 的 ABM 算 法 求 解 整 数 阶 混 沌 系 统 是可行的 。
目前， 与常微分方程的数值求解不同， 分数阶微分方程的数 值仿真仍成问题 。 在分 数 阶 混 沌 领 域 的 相 关 文 献 中， 提出了两 种解析分数阶微分方程 近 似 方 法： a ） 改 进 的 ABM 算 法 描述分数阶混沌系统的特性 。 4］中提 出 的 三 维 连 续 自 治 混 沌 系 统 所 对 应 的 分 数 文献［ 阶混沌系统可以用下面分数阶微分方程组表示：
［4 ］ 针对由 Bao 等 人 提 出 的 一 类 代 数 方 程 结 构 较 为 简 单 、
引子以来
［1 ］
［1 ～ 5 ］ ， ， Lü 人们不断发现新的混沌系统 如 Chen 系统 、
Liu 系统 、 系统 、 改 进 型 广 义 Lorenz 系 统 等， 进而对这些系统进 行深入研究， 建立了相应的混沌动力学理论体系 。 近些年来， 由 于混沌在图像数据加 密 、 非 线 性 系 统 辨 识、 计 算 机 图 形 处 理、 通 信和信息处理 、 生物医学等领域得到应用
［9］
、 四涡卷混沌系统
［10］
、 多涡卷
混沌系统
以及 超 混 沌 系 统
［12 ， 13］
等 中， 利用不同的解析分
， 推导出了 实 现 该 分 数 阶 混 沌 系 统 的 数 值 解 析 表 达 式 ，
数阶微分方程方 法， 通 过 数 值 仿 真， 发现当系统的阶数为分 数时仍出现混沌状态， 且更能反映一个实际系统呈现的工程
［9 ～ 13］
混沌吸引子的拓扑结构较为复杂的三阶连续自治混沌系统， 本 文提出了一个新的三 维 分 数 阶 混 沌 系 统 。 针 对 此 分 数 阶 混 沌 系 统，基 于 改 进 的 Adams-Bashforth-Moulton 算 法 （ ABM 算 法）
［9 ］
。在双涡卷混沌系统
［11］
其中： n 为大于分数 q 的最小整数， 即 n － 1 ≤ q ＜ n， Γ（ ·） 为伽 分数阶微分的拉普拉斯变换为 马函数 。 对零初始条件，
L
{
d f（ t） dtq
q
}
= s q L ｛ f（ t） ｝
（ 2）
分数阶积分的拉普拉斯变换为
t L{ ∫ 0 f（ τ ） （ d τ ） －q
}=
作者简介： 徐强（ 1975-） ， 男， 江苏常州人， 讲师， 主要研究方向为混沌与保密通信 、 嵌入式系统设计（ xuqiang@ czu． cn ） ； 包 伯 成 （ 1965-） ， 男， 江 苏常州人， 研究员， 博士， 主要研究方向为非线性电路与系统； 胡文（ 1979 -） ， 男， 江西南昌人， 讲师， 博士， 主要研究方向为混 沌 雷 达 、 信 号 处 理； 杨 晓 云（ 1970-） ， 女， 江苏常州人， 实验师， 主要研究方向为嵌入式系统设计 ．
q
i］
（ 9）
是 Riemann-Liouville 定义的分数阶微分：
1 d q f（ t） dn t = ∫ 0 （ t － τ） q （ n － q ） Γ dt dtn
n －q －1
这样， 基于式（ 5 ） ～ （ 9 ） ， 采 用 MATLAB 数 学 仿 真 软 件 平 台 对
f（ τ ） d τ （ 1）
0
引言
自从 1963 年 Lorenz 在三维 自 治 系 统 中 发 现 第 一 个 混 沌 吸
物理现象， 从而促进了分数阶混沌的研究以及分数阶微积分 理论的发展
［9］
。因 此， 有 必 要 寻 找 到 合 适 的 数 值 解 析 方 法，
通过数值仿真全 面 地 了 解 一 个 分 数 阶 混 沌 系 统 的 动 力 学 特 性， 并获得由此产 生 混 沌 现 象 的 系 统 控 制 参 数 条 件； 同 时 也 有必要采用具体电路进行物理上的分数阶混沌系统实现， 按 照数值解析的结果来设计电路中的元器件参数， 以此获得实 际的分数阶混沌信号输出， 以满足基于混沌的信息工程领域 应用的需求。两 种 分 析 方 法 所 产 生 的 结 果 对 于 混 沌 应 用 有 着实际的指导意义。
第 27 卷第 12 期 2010 年 12 月
计 算 机 应 用 研 究 Application Research of Computers
Vol. 27 No. 12 Dec. 2010
分数阶混沌系统数值解析与电路仿真研究
徐
1 2 强 ，包伯成 ，胡 3 1 文 ，杨晓云
*
（ 1． 常州工学院 计算机信息工程学院，江苏 常州 213002 ； 2． 江苏技术师范学院 电气信息工程学院，江 苏 常 州 213001 ； 3． 南京航空航天大学 信息科学与技术学院，南京 210016 ） 摘 要： 针对如何分析分数阶混沌系统的问题， 基于改进的 Adams-Bashforth-Moulton 算法， 研究了一个新三维分
第 12 期
近似法
［9 ， 12 ， 13 ］
徐
强， 等： 分数阶混沌系统数值解析与电路仿真研究
α i， j， n +1 = nqi + 1 － （ n － qi ） （ n + 1）
q +1 i q i
· 4613·
， 设计了 分 数 阶 单 元 电 路， 利用一个模拟电路实
现了所提出的分 数 阶 混 沌 系 统， 借 助 PSpice 电 路 仿 真 平 台 给 出了相应的仿真结果 。
数阶混沌系统的数值解析方法， 采用 MATLAB 软件平台， 获得了 该系 统 在不 同分 数阶时生成的混沌吸引子 。 基 于频域近似法， 采用 RC 串并联电路设计了分数阶单元电路， 由一个 模拟 电路实 现了 所提出的分数阶混沌系统 。 电路仿真与数值解析结果一致， 表明了所提出的两种分析方法是可行 的， 并证实了该分数阶混沌系统也有着复 杂的非线性物理现象 。 关键词： 分数阶； 混沌系统； 数值解析； 电路仿真 中图分类号： TP391. 9 文献标志码： A 文章编号： 1001-3695 （ 2010 ） 12-4612-03 doi ： 12． 3969 / j． issn． 1001-3695． 2010． 12． 063
收稿 日wenku.baidu.com期： 2010 -06-08 ； 修 回 日 期： 2010 -07-28 （ 2009ZC52038 ）
通过 MATLAB 软件平 台 编 程， 借助计算机仿真手段获得了此 系统在不同分数阶时生成的奇异混沌吸引子 。 同时， 基于频域
基 金 项 目： 江 苏 省 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ BK2009105 ） ； 航 空 基 金 资 助 项 目
q2 分数阶混沌系 统 （ 4 ） 进 行 数 值 仿 真， 可 得 到 对 应 于 不 同 q1 、 和 q 3 值的仿真结果 。 当 q 1 = q 2 = q 3 = 1 时， 系 统 （ 4） 退 化 为 整 数 阶 混 沌 系 统。 b = 3， c = 17 ， 选择 a = 10 ， 系统 （ 4 ） 可 产 生 一 个 双 涡 卷 混 沌 吸 引 其相轨图在 y-z 平面上的投影如图 1 所示 。 需要说明的是， 子， 图 1 （ a ） 是基于本 文 描 述 的 第 一 种 方 法 改 进 的 ABM 算 法 所 得 （ b ） 则 是 采 用 四 阶 Runge-Kutta 法 进 行 数 值 仿 到的仿真结果，
d q1 x = a（ x － y） d t q1 d q2 y = xz － cy d t q2 d 3z = x 2 － bz d t q3
q ［9 ］
， 它是
［12 ， 13 ］ ， 基于预估校正 原 理 提 出 的； b ） 频 域 近 似 法 在频域中近似
（ 4）
当 q 1 = q 2 = 1 和 q 3 = 0. 9 以及 q 1 = q 3 = 0. 9 和 q 2 = 1 时， 分 数阶混沌系统（ 4 ） 根据改进 的 ABM 算 法 所 得 到 的 仿 真 结 果 分 别如图 2 所示 。 图 2 结果说明， 系统（ 4） 在分数阶时也能处于 混沌状态， 所不同的是， 在不同 的 分 数 阶 时， 系统（ 4） 的混沌吸 引子的拓扑结构有所差异 。
1
分数阶混沌系统
关于分数阶微分有多种不同的定义， 但最为简单且常用的
{
j =0 － 2（ n － j + 1）
q +1 i
（ n － j + 2） 1
+ （ n － j）
q +1 i
1 ≤ j≤0 j = n +1
（ 8）
β i， j， n +1 =
h i ［ （ n + 1 － j） qi
q
q
i
－ （ n － j）
［6 ， 7 ］
， 有关混沌的诱发 、 。
控制与反控制的研究得到了越来越多的关注
［1 ， 8 ］
虽 然 分 数 阶 微 分 已 有 300 多 年 的 历 史 ， 但是在物理和工 特 别 是 混 沌 及 其 同 步 方 面 一 直 未 得 到 应 用。因 程应用中， 此， 近年 来 许 多 学 者 开 始 从 事 分 数 阶 混 沌 动 力 系 统 的 研 究
Numerical analysis and circuit simulation of fractional-order chaotic system
XU Qiang 1 ，BAO Bo-cheng 2 ，HU Wen 3 ，YANG Xiao-yun 1
（ 1 ． School of Computer ＆ Information Engineering ，Changzhou Institute of Technology ，Changzhou Jiangsu 213002 ，China ； 2 ． School of Electrical ＆ Information Engineering ，Jiangsu Teachers University of Technology ，Changzhou Jiangsu 213001 ，China ； 3 ． School of Information Science ＆ Technology ，Nanjing University of Aeronautics ＆ Astronautics ，Nanjing 210016 ，China ）