运城学院应用数学系

运城学院应用数学系

2008—2009学年第二学期期末考试

《数学分析2》 试题(B)标准答案及评分细则

适用范围：数学与应用数学0801\02班 命题人：杨建雅、常敏慧

信息与计算科学0803班 审核人：

一、填空题（10小题，每题2分，共20分）

1、0=ξ

2、()[]C x n n ++++111

1ϕ 3、≤ 4、1q < 5、1 6、充要 7、()1,1- 8、[]b a , 9、< 10、2cos x

二、判断题（10小题，每题2分，共20分）

1、√

2、×

3、√

4、√

5、×

6、×

7、×

8、√

9、× 10、×

三、计算下列积分（4小题，每题5分，共20分）

1、 解：⎰-dx x x x sin cos 2cos =()dx x x ⎰+sin cos …………3分

=C x x +-cos sin . …………5分

2、 解：令1+=

x t ，tdt dx t x 2,12=-= dx x x ⎰++-+1111=tdt t t 211⋅+-⎰ dt t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝

⎛++-=1222 …………3分 C t t t +++-=1ln 442 C x x x +++++-+=11ln

4141 …………5分 3、 解：()dx x ⎰2ln =()dx x

x x x x ⎰⋅⋅-1ln 2ln 2 …………2分 =()dx x x x x ⎰

+-2ln 2ln 2 …………4分 =()C x x x x x ++-2ln 2ln 2

. …………5分 4、 解：⎰-+10x x e e dx = ()()

⎰⎰+=+10210211x x

x x e de e dx e …………4分 =4arctan 01

arctan π

-=e e x …………5分

四、解下列各题（4小题，每题7分，共28分）

1、 解：设()1!

1++=n x n x n e u ，则()∞→→+=+n n x u u n n 021， …………4分 从而正项级数()1!

1+∑+n x x n e 收敛， …………5分 由级数收敛的必要条件知()0!

1lim 1=++∞→n x n x n e …………7分 2、 解：⎪⎭⎫ ⎝

⎛+++++∞→n n n n 212111lim =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n

n n 112111111lim =∑=∞→⋅+n i n n n i 1111lim …………3分 =dx x

⎰+1011 …………5分 ()2ln 0

11ln =+=x . …………7分 3、解：幂级数∑∞

=++01

212n n n x 的收敛域为()1,1-∈x ，则()1,1-∈∀x ， 设() ++++++=+1

2531

253n x x x x x f n ， 逐项求导得()2

242111x x x x x f n -=+++++=' …………4分 ()()x x dt t dt t f x f x

x -+=-='=⎰⎰11ln 2111020. …………7分 4、解：选x 为积分变量，积分区间为[]l a a x +∈,，任取[][]20,0,⊂+dx x x ，

则质点与细杆之间的万有引力的微元为dx l

M x m k

dF 2=， …………5分 从而质点与细杆之间的万有引力为 ()

l a a kmM a l a x l kmM dx x l mM k F l

a a +=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰+112. …………7分 五、证明题（2小题，每题6分，共12分）

（1）证：由已知得，存在[]b a x ,0∈ ，使得()00≠x f ，从而()002>x f . …………3分

根据连续函数的局部保号性，存在0x 的某邻域()δδ+-00,x x （当a x =0或b x =0时取右邻域或左

邻域），当()δδ+-∈00,x x x 时，()()()()02202

>≥x f x f . …………5分

从而有()()()()()()()()dx x f dx x f dx x f dx x f b x x x x a b a ⎰⎰⎰⎰++--++=δδ

δδ00002222 ()()()()02

202000>=≥⎰+-δδ

δx f dx x f x x . …………6分 （2）证：由()x v n

∑在I 上一致收敛知p I x N n N ∀∈∀>∃>∀及,,,,0ε，有()ε<+==∑x v k n p

k k 1， …………3分

从而()()()ε<≤≤+==+==+==∑∑∑x v x u x u k n p

k k k n p k k k

n p k k 111，故()x u n ∑在I 上一致收敛. …………6分