高等数学第二章导数与微分1上课讲义

yf(x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
M N 0, NM 0.T设 M (x 0 ,y 0 )N ,(x ,y ).
割线 MN的斜率为 tan y y0 f(x) f(x0),
x x0
xx0
N 沿 C 曲 M 线 ,x x 0 , 切线 MT的斜率k 为 tan lim f(x)f(x0).
单侧导数
定义３ (1)左导数:
f (x 0 ) x l im x 0 f(x x ) x f0 (x 0 ) lx i m 0 f(x 0 x x ) f(x 0 );
(2) 右导数:
f (x 0 ) x l im x 0 f(x x ) x f0 (x 0 ) lx i m 0 f(x 0 x x ) f(x 0 )，
例5 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
(
x )
1
即(sx )i n co x .2 s(cosx)sinx.
(sixn) x coxsx
2. 2
4
4
例3 求函 f(x) 数 ax(a0 ,a1 )的.导数
解 (ax)lim axhax
h0 h
ax
ah lim
1
h0 h
axlna.
即(ax)axln a . (ex)ex.
例4 求y 函 lo ax ( 数 g a 0 ,a 1 )的.导数
v(t0)s(t0)
实例2 曲线y=f(x)上一点M(x0 , f(x0))处的切
线斜率 tanf(x0)
定义2 如 果 y f(x )在 开 区 间 I 内 的 每 一 点 处 都 可 导 , 就 称 函 数 f(x )在 开 区 间 I 内 可 导 .
由 x 0 I f(x 0)确 定 的 新 函 数 yf(x )叫 做
2．1 导数的概念 2．2 函数的求导法则 2．3 高阶导数 2．4 隐函数及由参数方程
所确定的函数的导数 2．5 导数的简单应用 2．6 函数的微分
2.1 导数的概念
一、导数概念的引入 二、导数的定义 三、单侧导数 四、函数的可导性与连续性的关系
一、导数概念的引入
求函数变化率的两个实例
实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度. 设质点的运动方程为：s =s(t).则
y x x 0 li x m 0 x y li x m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
其它形式
f(x 0) lh i0m f(x 0 h h )f(x 0). f(x0)x l ix0 m f(xx ) x f0 (x0).
实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度:
x x0 xx0
二、导数的定义
定义1 设y f (x)在点x0的某个邻域U(x0)内有定义, 且x0 xU(x0) ,若
lim f (x0 x) f (x0)存在
x0
x
则称y f (x)在点x0处可导, 并称这个极限为y f (x)
在点x0处的导数,记为y
, xx0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
(x0 ),
dy dx
或
左、右导数统称为单侧导数．
定理1 函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 )和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
注意: 如 果 f(x )在 开 区 间 a ,b 内 可 导 ， 且 f (a)及
f (b )都 存 在 ， 就 说 f(x )在 闭 区 间 a ,b 上 可 导 .
由定义求导数步骤:
( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x );
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x );
x
x
(3)求极 y 限 lim y.
x 0 x
例1 求函 f(x ) C 数 (C 为)常 的数 .导数
解 f(x)lim f(xh )f(x)limCC 0.
解
ylilm oa(g xh )loax g lim
log
a
(1
h x
)
h 0
h
h0
h
lim
log a
(1
h) x
1
h0
h
x
1xlhi m0 hxloga(1hx)
x
1xlh im 0loag(1h x)h x
1 xloga
e 1 . xlna
即(loga
x)
1. xlna
(lnx) 1 . x
h 0
h
h0 h
即(C )0.
例2 设函 f(x ) s数 ix ,n 求 (sx ) i及 n (sx ) ix n .
4
解 (sx i)n lis m ix n h ()sixn
h 0
h
2sin hcos(x h)
lim 2
2
h0
h
limcos(x
h)
sinh 2
cx o . s
h0
2h
11
x2
1
.
2
2x
( x 1 )
(1)x11
1 x2
.
( x 3 ) 3x2
例6 讨论f(函 x)x数 在 x0处的.可导
从时刻t0到t0 +t时间段内，质点走过的路程为： Δs=s(t0 +t)-s(t0)
在时间间隔Δt内，质点运动的平均速度为:
vss(t0t)s(t0)
t
t
当t0时，取极限得质点在时刻t0的瞬时速度:
vlims(t0t)s(t0)
t0
t
实例2 切线问题 割线的极限位置——切线位置
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y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
xx0
df (x) dx . xx0
即 y x x 0 li x m 0 x y li x m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
如 果 l i x m 0 f ( x 0 x x ) f ( x 0 ) 不 存 在 ， 则 称 f ( x ) 在 点 x 0 处 不 可 导 .
f(x )的 导 函 数 ， 简 称 导 数 ， 记 作 y,f(x ),d y或 d f(x ).
d x d x
即 ylim f(x x)f(x)
x 0
x
或 f(x ) lif m (x h )f(x ).
h 0
h
注意: f(x0)f(x)xx0. f(x0)[f(x0)]
注意 点导数是因变x0处 量的 在变 点化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度